Оцисик М.Н. - Сложный теплообмен (1074339), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Принимая т = 0 в решении (8.666) и учитывая, что при диффузном отражении интенснвность !, (то, — р) в правой части не зависит от направления, получим 1, (О, — р)=1, (то)е "'"-1- ~ — Я,(т', — р)е ™с1т', р > О. (8.101) Принимая т= то в решении (8.65) и учитывая, что прп диффузном отражении интенсивность /, (О, р) в правой его части не зависит от направления, получим (ч (то р) = гч (0) е + + ~ — Я (т', р)е (ч г')(и(1тт, р > О. 1 (8.102) Формальные решения, полученные в равд. 8.6, содержат интенсивности на граничных поверхностях !,~(0, р) и !, (то, — р) при р ) О, которые известны только для прозрачных и черных границ и не известны в случае отражающих границ. В данном разделе будут выведены уравнения для интенсивностей на граничных поверхностях в случае плоского слоя с отражающими границами и не зависящим от азимутального угла излучением.
Тч (0) = в(Ль(Т() +2р|т[~и (то) Ез('о) + ( г| З ( ( з(', — г) ' 'е 'ег] т г>ь, (г|ьг ) о о Т, (то) = Мчь (Тг) + 2р~ф. (0) Ез (то) + г, + ~ ~ Я,(т', р')е (" ')л" с(т'с(р' при р <О,' (8.1036) о о 1,+ (О) =а(+ Ь)1, (то), 1, (то) = аз+ Ьг!, (0), (8.104а) (8. 10 46) где ! ь(Т ) + 2р| ~ ~ Я (т', — р') е хчи' с(т'с1)ь', о о х| к ! Ь(Т ) + 2р." ~ ~ Я,(т', р') е (" 'Уи'с(т'с(р'г о о Ь( = 2р(чЕз (то) (8.105а) а(=— (8.1056) (8.105в) (8.105г) Решение системы уравнений (8.104) имеет вид Гь (0) а, + Ь)а, 1 — ЬЬ, — аг + Ьга| 1 Ь)Ьг (8.106а) (8.1066) р < О. В системе уравнений (8.106) единственной неизвестной величиной является спектральная функция источника.
Рассмотриы теперь некоторые частные случаи системы уравнений (8.103) . а) Пзотропно рассеивающая среда. В этом случае спекзральная функция источника Я,(т, р) не зависит от р 1сы. (8.42а) представляющие собой систему уравнений относительно интен- сивностей на граничных поверхностях 1, (0) при р .м 0 и 1, (то) при р < 0; в более компактном виде они могут быть записаны следующим образом: Соотношенап длп теплообмена ивлучением в непроврачньп средах 301 Глава д 300 при р= 1], и система уравнений (8.103) упрощается: Ч„'(О) = „Г„(Т ) ( 2р'„[Г, (,)Е (,)р ] Е ( ')Е ( ')Е '], о (8.107а) Г„(,)= ч Ч„,(Т ) 2 2р,',[Г„(0) Е (,) Р ] 2 (Е)Е (,— ')Е '].
о (8.1076) Решение системы этих двух уравнений может быть представ- лено В Виде 0 а,+ьа, 1-Ь,Ь, аг + Ьга, ч то (8.108а) (8.1086) где а) = е„1, (Т()+ 2р",, ~ Я,(т') Е,(т') 01т', о 2, па = еач1 ь(Т ) + 2ргл, ~ Я, (т') Е (то — т') с(т', о Ь, = 2ре Е,(т,), (8.108в) (8.108г) (8.108д) (8.108е) Тогда система уравнений (8 103) упрощается: 1, (0) = е(21чь (Т() + '22 2. гр'„[ Г-(,) Е,(,,)2- ] Ч„(Т ( )) Е,(Е)РЕ], о 1, (то) = е221,ь (Тг) + -( 22 „[Г,"(0)Е ( ) (-] Г (Т( '))Šà — ')Е ']. о (8.110а) (8.1106) б) Нерассенвающая среда. В случае нерассеивающей среды спектральная функция источника Я,(т) может быть записана в виде Я,(т) = 1,ь]Т(т)]. (8.109) Теперь решение системы уравнений (8.110) можно представить в таком же виде, как и (8 108), за исключением того, что в этих уравнениях Я,(т) заменяется функцией Планка 1,ь[Т(т)].
ПЛОСКИЙ СЛОИ С НЕПРОЗРАЧНЫМИ ДИФФУЗНО ИЗЛУЧАЮЩИМИ И ЗЕРКАЛЬНО ОТРА)КАЮЩИМИ ГРАНИЦАМИ 1ч (О, — р) =!ч (то, — р) е '(а+ Чр + ~ — Яч(т', — р)е гпис1т' при р) О, (8.!11) 1 о 1, (то, р) = 1," (О, р) е "'"+ 'ср + ~ — Яч(т', р) е (ч ')п'01т' при р ) О. (8.112) 1 о Подставляя (8.111) в правую часть (8 100а) и (8.112) в часть (8 1006), получим соответственно уравнения 1," (О, р) = е„1, (Т,) + р'„[1, (т„— р) е "(" + 1 о 1. (то — р) = е 12ь (Тг) + р'„[1,' (О, р) е "" + '(2 <- ] — 2„(,, р) .-ч - » Е"] .р „ > 0.
1 о правую (8. 11За) (8.1136) Рассмотрим плоский слой с оптической толщиной то с непрозрачными диффузно излучающими и зеркально отражающими границами. Пусть Т( и Т,— температуры, е„и е„— спектральные полусферические степени черноты, р,', и р,', — спектральные зеркальные отражательные способности граничных поверхностей т = 0 и т = то соответственно. Граничные условия для рассматриваемой задачи задаются соотношениями (8.100а) и (8.1006). Правые части этих соотношений содержат интенсивности ' 1, (О, — р) и 1,+ (то, р), которые могут быть найдены с помощью формальных решений относительно интенсивностей (8.65) и (8.666) следующим образом. Приняв т=О в (8.666) и т= то в (8.65), получим соответ- ственно Глава 8 302 Сов!ион!енин длл теплообмсна излдченисм в непрозрачно>х средах ЗОЗ представляющие собой систему уравнений относительно ннтенсивностсй на граничных поверхностях 1, (О, р) и 1ч (то, — р) при р ) О.
Эти уравнения можно представить в более компактном виде (8.114а) (8.114б) 1~ (О, р) = а! + Ь!1, (то — р), р ) О, 1, (то, — р) = ао + Ь~1~ (О, р), р ) О, где хр 1 а, = е!,1„(Т!') + р,*, ~ — „8, (т' — р) е "" с1т' о (8,115а) т, е 1 ь (Т ) + р' ~ — 8 (т', 1х) е ! ' '~~и а!т', 1 о — рз е-зрор ы 2 зм (8.115б) [8.115в) (8.115г) Решение системы уравненнй (8.114) имеет внд 1+ (О р) — а! + Ьрар р ) 0 ! 2 (8.116а) (8.116б) где а! и б! (! = 1 или 2) определяются формулами (8.115). Рассмотрим теперь некоторые частные случаи снстемы уравненнй (8.113).
а) Изотропно рассеивающая среда. Для пзотропио рассенвающей среды спектральная функцня источника не зависит ог направления и в уравнениях (8113) 8,(т', р) можно заменить на 8ч(т'). б) Нерассеивающая среда. Для нерассеивающей среды спектральная функция источника Яч(т', р) в уравнениях (8.113) заменяется функцией Планка 1чь [Т(т )]. 8.9. УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ФУНКЦИИ ИСТОЧНИКА Формальные решения, приведенные в равд. 8.6, н уравнения для интенсивности излучения на граничных поверхностях, полученные в равд. 8.8, содержат спектральную функцию источника 5,(т, р), которая в большинстве практических случаев неизвестна В настоящем разделе будет выведено интегральное уравнение о!носителыю спектральной функции источника для плоско!о слоя с излучением, не зависящим от азимугального угла.
— р)[1 (то,— р.)е !' ~~+ + 2 и =о + ~ — „',8,(", — р')е са — юЛ~' е)т (8.120) Уравнение (8.120) представляет собой интегральное уравнение относительно спектральной функцни источннк,! 8„(т, р), поскольку имеются соотношения, с помощью которых интенсивности излучения на границах 1~(0, р') н 1, (то, — р') выражаются через эту функцию. Рассмотрим теперь некоторые частные случаи уравнения (8 120).
Согласно (8.42а), спектральная функция источннка определяется следующим образом. ! оч (тр р) = (1 — озч) 1 ь[Т (т)] + 2 со' ~ Р[р' 1! ) 1ч(т, 1! ) !тр'. (8.117) Разделив интенсивность на прямую и обратную составляющие, запишем (8,117) в виде 8ч (т, р) = (1 — в,) 1чь [Т (т)] + о ч- — ° []р(р, р!рс!., р)рр'-~ ] р<р, р!р (, рррр]. о — 1 (8.118) Заменив р' на — р' во втором интеграле, стоящем в правой части уравнения (8.118), получнм 8,(т, р) =(1 — в,) 1,ь[Т(т)]+ г ! ! ч- —, .[]р(р, !')а(, р)рр'4-]р(р, — р)!.
(,— р!рр]. о о (8. 119) Подставим в правую часть (8,119) выражения (8.65) 'н (8.66б) для составляющнх интенсивности 1, (т, р') н 1, (т, — р'). Тогда (8.119) примет внд ! 8,(х, р)=(1 — в,)1,ь [Т(т)]+ — вч ~ р(р, р')[1, (О, р')е 'и + з ч- ] — з.!', р'! "" 'р ']рр'ч- 1 х'=о 304 Глава 8 Соотношенап длл теплообмена нзлкченнем в непрозрачных средах 305 СЕРАЯ СРЕДА (8.23) и (8.24)]: 1 п л ~ ( '11) 12 4п -1 Лот д т — =0 илн — =О, др ат (8.124а) (8.1246) Э нот = 221 ~ 1 (т 11) 11 811л -1 (8.
12 4 в) а) Изотропно рассеивающая среда, Для нзотропно рассеивающей среды р(р, р') = 1 и уравнение (8.120) упрощается: 5, (т) = (1 — оз,) 1,о [Т (т)] + — „[ [ 2118,82. '8888- [ 8„1"18,1.— "18"]-;. о=о 2'=О Г 28 — .[[ 221,— 8) '" '"'8 -8 [ ЗН181' — 18 '~. (8,121) Это уравнение можно записать в более компактном виде 5ч(т) =(1 — озт)1,о[Т(т)] + 1 ! + с оз т] 2318 (О 12) е 8812+ ()18 (то2 Р) в ' 8812 + о о [ 8„8"28,2~.— "1)8;~. 18А221 2'-О б) Изотропио рассеивающая среда; интенсивности излучения на граничных поверхностях не зависят от направления.
В этом случае уравнение (8.122) упрощается: Ь'. (Т) =(! — и.) 1.8[Т(т)]+ + 2 озч] 1ч (0) Ез (т) + 1ч (то) Ее (то — т) + [ з 1'18 2~ — '~28 '~ ° 88.122) 2-О 8.10. РАДИАЦИОННОЕ РАВНОВЕСИЕ В ПЛОСКОМ СЛОЕ; СЕРАЯ И НЕСЕРАЯ СРЕДЫ Приложения теории теплообмена излучением в непрозрачных средах будут рассмотрены в гл. 11, а приложения теории сложного теплообмена при взаимодействии излучения с теплопроводностью и копвекцней в гл. 12 — 14.
В данном н последующем разделах будут приведены простые примеры теплообмена излучением в поглощающих, излучающих н рассеивающих средах, чтобы проиллюстрировать применение некоторых выведенных ранее формальных соотношений, а также некоторых методов анализа переноса излучения в несерых средах, Ниже рассматривается задача теплообмена излучением в условиях радиационного равновесия в плоском слое поглощающей, излучающей и рассеивающей среды толщиной Е; граничные поверхности у = 0 н у = Е поддерживаются прн температурах Т, н Т, соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
