Оцисик М.Н. - Сложный теплообмен (1074339), страница 42
Текст из файла (страница 42)
НеаГ Тгалз)ег, 82С, 369 — 374 11960) 20. Висй!еу Н, Оп 1Ье Кайапоп !гоги йе 1пзЫе о1 а С1гси1аг Суппг!ег, Р1 1, Рйг!. Мал., 6, 447 — 457 1!928). ГЛАВА 8. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ТЕПЛООБМЕНА ИЗЛУЧЕНИЕМ В ИЗЛУЧАЮЩИХ, ПОГЛОЩАЮЩИХ И РАССЕИВАЮЩИХ СРЕДАХ Данная глава посвящена теплообмену излучением в непрозрачной среде, т. е. среде, которая поглощает, испускает и рассеивает излучение. Выведено уравнение переноса излучения, проведено формальное интегрирование этого уравнения, получены формальные решения относительно плотности потока результирующего излучения, ее градиента и пространственной плотности падающего излучения в плоскопараллельном случае. Описаны модели для учета несерости среды, а также рассматривается преобразование азнмутально несимметричных задач к азимутально симметричным, 8.1.
УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ Угловое распределение интенсивносги излучения 1,[г, П) удовлетворяет уравнению переноса излучения. При выводе этого уравнения могут быть использованы различные подходы Сампсон [1] получил его непосредственно из уравнения Больцмана, рассматривая перенос излучения как перенос фотонов; Чандрасекар [2], Курганов [3], Соболев [4] и Висканта [5, 6] вывелн это уравнение, используя переменные Эйлера н записывая уравнение баланса энергии для некоторого элементарного объема на пути распросгранения пучка.
Вайнберг и Вигнер [7], а также )Ь)эррэй [8] получили эквивалентное уравнение в теории переноса неитронов. Рассмотрим излучающую, поглощающую н рассеивающую среду, характеризуемую спектральным коэффициентом поглощения и, и спектральным коэффициентом рассеяния о,. Пучок монохроматического излучения интенсивностью 1,[з, Й, 1) распространяется в этой среде в направлении П вдоль пути в. Уравнение переноса излучения удобно вывести в переменных Эйлера. [ ~ Выберем элементарный объем в виде цилиндра с поперечным сечением НА, длиной г23, расположенного в окрестности координаты з, причем ось цилиндра совпадает с на1!равлением [фиг, 8.1), Пусть 1, [в, П, 1) — интенсивность излучения в точке в, а 1,[э, П, 1) + г21„ — интенсивность излучения в точке з + гХз.
270 Глава 8 Фиг. 8.1. Координатьь используемые при выводе уравнения переноса излучения. (8.4в) (8.5а) нлн 1 дгч дго — — + — = му,. с д1 дз (8.56) в среде, то (8.66) (8.2) (8.8) (8.4а) 18 1)1ч дгч — = — — ' + си ° Ч/ч.
1)1 дг где аг/ч — увеличение спектральной интенсивности на пути с/я. Величина с/1,(я, й, 1) с/А с/вас/заЖ (8.1а) представляет собой разность энергий излучения, которое пересекает поверхности с/А в точках я -(- с/я н я за интервал времени Ж в окрестности 1, в интервале частот с/т в окрестности т, н распространяется в пределах единичного телесного угла с/ьа относительно направления й. Обозначим через (ТУ, увеличение энергии излучения пучка в этом объеме, отнесенное к единице объема, времени (в окрестности 1), частоты (в окрестности т) н телесного угла (относительно направления й). Тогда величина ЯГ, с/А с(я с/ьа с/ча с/1 (8.16) представляет собой увеличение энергии излучения пучка, заключенного в элементарном цилиндрическом объеме с(Ас/я и распространяющегося в пределах телесного угла с/ьа относительно направления й за промежуток времени с/1 в интервале частот с(н.
Приравнивая (8.1а) и (8.16), получим дгт(З, Г), 1) ((' т (8.1в) Если с — скорость распространения излучения расстояние с(я равно с/я = сс/1. Тогда (8.1в) можно переписать в виде 1 Шч(з, Г), 1) 711 где Р/Р1 — субстанциальная производная для элемента, движу щегося со скоростью с, которая связана с частнымн пронзвод ными по времени и пространственным координагам соотноше нием Соотношения для теплообмена излученттем в непрозрачных средах 271 Это соотношение можно записать в несколько ином виде: (8.46) где использовано векторное тождество Ч ° (Й1ч)= 1,Ч ° Я+ Й ° Ч1, = й ° Ч1,, Если направление Й выбрано вдоль пути я, то Ч ( Я/т) = д1,/дя и (8.46) можно представить в виде ') 1)гт дгч дгч — = — '+с —, 711 дг дз где д/дя означает дифференцирование по пути я, Используя полученные соотношения для субстанциальной производной, представим уравнение (8.3) в виде „+ (и,) — ~„ Теперь можно получить выражение в явном виде относительно (ТУ,.
Для поглощающей, испускающей н рассеивающей среды величина (ТУ, образована составляющими, обусловленными при. ращениями и потерями энергии излучения: ((Гч = ((Гнзауч (~'потаощ + (~'прнращ. за счет (Т потери за счет ° (8.6а) рассеяпнн рассеянна Первый член в правой части представляет собой приращение энергии излучения вследствие собственного излучения среды, отнесенное к единице времени, объема, телесного угла и частоты. Обозначим его /',(я, 1), тогда (Ттн„„ч = /,'(Я, 1). Второй член представляет собой потери энергии излучения вследствие поглощения излучения средой, отнесенные к единице времени, объема, телесного угла н часготы. Их можно записать в виде [см (1.57)] Яуп„л, =х,(я)1,(я, Й, 1).
(8.6в) Третий член соответствует приращению энергии излучения, обусловленному излучением, падающим на среду со всех направлений сферического пространства, н рассеиваемым средой в направлении й Эта величина, как и предыдущие две, отнесена к единице времени, объема, телесного угла и частоты. При чисто Глава д 27п (8.10в) (8.10г) (О.бд) рассеяния где 7(в, ьа) = — ~ 7,(з.
аа) аттт, ч-о наст Tа ь (8.!! б) (8.! 1в) (8.9) (8.10 а) когерентном рассеянии в изотроппой среде третий член можно представить в виде м [ем, (1.66)] ))тпр~р~ш, вас„,— — 4 о,(в) ~ р(ьь' ' !)) Гч(в !) 1) с(()', (8.6г) рассеяная где аа' Й = соь Оо и Оо — угол между падающим и рассеянным лучами. Последний член соответствует потерям энергии пучка за счет рассеяния излучения средой, в результате которого лучи отклоняются от. направлення !!.
Эти потери также отнесены к единице времени, объема, телесного угла и частоты. Их можно записать в следующем виде [см. (1 60)]; ))' петера за счет О» (В) ач(В, 1~~ 1). Подстановка выражений (8.6) в (8.56) дает уравнение пере носа излучения — ) + '(' ' ) +[зь,(в)+зт,()]7,(~, !), 1)= =!,'(в, 1)+ 4та ~,(в) ~ Р(аа' ° аа)т,(з, ьа', 1)с(ьс'. (8,7) о Еп В большинстве практических приложений членом (1/с) (дт',/д() в этом уравнении можно пренебречь по сравнению с другими членами из-за большой величины скорости распространения. излучения с. В этом случае уравнение (8.7) упрощается и принимает вид +[зь,(з)+ о,(в)](,(в, ьь, 1) =— =/',(в, ()+ — „о,(з) ~ р(Й' Й)Ь»(в, !)', 1) сИ'.
(8,8) Й' ея В этолт уравнении интенсивность излучения зависит ог времени, если член 1,(в, 1) является функциеи времени Следова. тельно, в (88) время рассматривается просто как параметр Если предположить также, что устанавливается локальное термодинамическое равновесие и справедлив закон Кирхгофа, то член 1',(в) связан с функцией Планка следующим соотношением [см.
(159)]; Теперь уравнение (8.8) можно записать в виде + ~» (в ~) ~ч (в)с иГ» (в, Ы) Гоотношення для теплоодмена авлуненаем в ненроврачньы средах 273 где использованы следующие обозначения: 5ч(в) =(! ьзч) тчь (а ) + 4 ьзч ~ р(ае' аа) тч(з, аа ) сььь, (8.!Об) с р,(в) =— зь,(в) + о,(в), ач (в) нч (в) 2(ачз чь( ) =,з,(ех (Ьч(,7) (8.10д) 5»(в) называется спектральной функцией источника; [зч(з)— спектральным коэффициентом ослабления; ьзч — спектральным альбедо, которое представляет собой отношение коэффициента рассеяния к коэффициенту ослабления.
Для простоты в приведенных выше соотношениях время опущено. Рассмотрим теперь некоторые частные случаи уравнения (8.! Оа) . а) Серая среда, Если радиационные свойства среды не зависят от частоты, интегрирование уравнения (8.10а) по всему спектру дает — + 7 (з, ьь) = 1 е(Г(в, Ы) я (а) нз 4~ а и — показатель преломления среды б) Только рассеивающая среда, Для среды, которая не поглощает и не испускает излучение, а только рассеивает его, ьз, = 1 (т.
е, кч = 0) и уравнение (8.10а) упрощается; () Н~ ч(' ) 4п 4Я В этом уравнении частота является просто параметром, поскольку для любой заданной частоты получается независимое уравнение в) Только поглощающая и излучающая среда Для среды, которая только поглощает и испускает излучение, но не рассеи- Соотношения для теплоодмена излучением е непрозрачных средах 275 Глаза З 274 вает его, ы, = 0 (т. е, а, = 0). Тогда уравнение (8.10а) принимает вид 1 +1,(з, О) =1„(Т).
хч 00 (8.13) г) Прозрачная (диатермическая) среда. Непоглощающая, неиспускающая и перассеивающая среда называется прозрачной или диатермическои, средой. Для такой среды коэффициенты поглощения и рассеяния равны нулю. Подставляя х,= 0 и а, = 0 в уравнение (8.!Оа), получим — '=0 или Ч ° (Ы,) =О, (8.!4) дз Это уравнение означает, что интенсивность излучения в прозрачной среде всюду остается постоянной. ДИВЕРГЕНЦИЯ ВЕКТОРА ПЛОТНОСТИ ПОТОКА ИЗЛУЧЕНИЯ Ч [О1,(з, Ж1+М.(з, Ж= =Хч1чз(Т) + 4 ~ Р(чл ' чл)1ч(З, ил') 4404'. (8 15) Преобразуем обе части этого уравнения с помощью оператора с)О и полу~им Ч ° ц', = 4хх,1„(Т) — х, ~ 1, (з, О) с(О, (8.!6а) поскольку ц', =- ~%,(з, О) с(О, 4п 4 4я ~ 4104 = 4х.
(8. 166) (8. 16в) (8.!6г) Дивергенция вектора плотности потока результирующего излучения Ч 4)т характеризует изменение в единицу времени энергии излучения, заключенной в единице объема среды, по всему сдектру частот вследствие испускания излучения во все сферическое пространство и поглощения падающего из него излучения. Чтобы вывести соотношенис для Ч.ц" рассмотрим уравнение переноса излучения (8.10) в следующем виде: Интегрируя (8.!6) по всем частотам, получаем искомое соотношение в следующем виде: "=' (""'"'- ("')" ""1' ""' 0 я=о Ь 4я где ц'= ~ д,й.
(8.! 76) ч-0 Первый и второй члены в правой части уравнения (8.17а) выражают соответственно излучение, испускаемое и поглощаемое единицей объема среды в единицу времени. Следовательно, Ч ц" представляет собой испускание или поглощение излучения (единицей объема в единицу времени) в зависимости от того, положительна или отрицательна эта величина. Ииогда уравнение (8.!7а) рассматривают как уравнение сохранения энергии излучения. Замегим, что рассеяние не входит в это уравнение. Для среды, которая содержит распределенные источники энергии с плотностью потока объемного излучения д и в которой энергия переносится только излучением (т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
