Оцисик М.Н. - Сложный теплообмен (1074339), страница 53
Текст из файла (страница 53)
величина, обратная коэффициенту ослабления) мала цо сравиени(о с ее характерным размером. Это приближение, известное также под названием приближения Росселанда или диффузионного приближения, впервые было предложено Росселандом [6). Кроме того, оно выводится также в ряде других работ, например в статье Висканты [1). Главное преимущество этого приближения состоит в том, что оно дает очень простое выражение для плотности потока результирующего излучения.
Ниже будет представлен вывод вы. ражения для плотности монохроматического потока излучения в приближении оптически толстого слоя, Перепишем соотношения (8.82) и (8.122) соответственно для плотности монохроматического потока излучения ()т (т) и спектральной функции источника 5,(т)( 1 „( ) г [[('(в, т) ""ншн.~. [в,( ')е,( — ')е ']— Ьо о 1 то — г) и "н"мнет-|-) в (')е ( ' )ш '] (т (в) Ьо 344 Гласа 9 Гграала«сенные методы решения ураенения переноса аэлуненал 343 'со и то — т )) 1.
(9. 13) Для больших т интегроэкспонеициальная и экспоненциальная функции стремятся к нулю е ' — «О, Е„(т) — «О, т"Е„(т) — «О для т — «ао, п=1, 2, 3,... (9.14) Подставляя разложение (912) в (9.!0) и (9.1!), беря по частям интегралы с переменной интегрирования т' н упрощая полученные выражения с помощью (9.!4), получаем 5«(т) Тнь [Т (т)] (9.!5) 4п ,Ю, (т) 4П 1«Ь [т (т)[ Приведенные формулы справедливы для оптически толстой среды в области, удаленной (оптически) от границ. Выражение (9.16) называется приближением оптически толстого слоя для плотности монохроматического потока результирующего излучения (1", (т). Т еперь можно записать выражения для плотности интегрального потока результирующего излучения в приближении оптически толстого слоя: ус(,) 4п ~ (11но [Т [с)[ я=о (9.!7) или ь[ [у)[ „ я=о (9.18) И г Ья (т) = (! — огн) Т«ь [Т (т)] + — огн ~ Тя (О, [л) е нр аг[ь + 1 о ( -(.
[(. ( , — м '*' " Ф г. [ л.( '( е (( — '((ш '~ (9.((( о т'=о Разложим функцию источника 5,(т') в ряд Тейлора в окрестности т: Е,(т')=5,(т)+(т — т) л~, ~ + Для оптически толстой среды т, то и (то — т) очень велики всюду, за исключением областей вблизи границ. Таким образом, рассматриваются области вдали от границ, где можно считать, что Производная от !„[Т(у)] по у равна й!,ь(Т) иг,ь (Т) с(1ь[Т) ау а1Ь (Т) (гу (9.!9) Подставляя (9.19) в (9!8), получаем а' (у) = — — 1 ' с[тг. 4н игь [Т) Г 1 (11нь[Т) 3 (гу ) ро ЛТЬ (Т) я=о (9.20) Тогда выражение (9.20) примет вид 4п ать (Т) Зр ау (9.22) нли 46 а [и'Тл) (9.23) так как и'а Т' !ь(Т) =— и (9.24) где и — показатель преломления среды. Для постоянного и выражение (9 23) может быть представлено в виде а'(у) = †й,— (гт (9.25а) (гу ' где 13п'а Т' Зр (9.255) Коэффициент й„называют коэффициентом лучистой теплопроводности по аналогии с известным в теории теплопроводности коэффициентом теплопроводности.
Выражение (9.25а) имеет тот же вид, что и соответствующее выражение для плотности теплового потока за счет теплопроводности; отсюда видно, что приближение оптически толстого слоя описывает процесс переноса излучения как диффузионный процесс. Выражения (923) [или (9.25)] называют приближением Росселанда или диффузионным приближением для плотности по.
Определим средний по Россесганду коэффициент ослабления ря как [см. (!.5ба)] С 1 Нг,ь[Т) а 34ь Глава у Приближенные методы решения уравнения переноса излучения 347 тока излучения. Средний по Росселанду коэффициент ослабления 6я, определяемый выражением [9.2!), может быть рас м щью функции излучения второго рода [см. [!.566)].
т ыть рассчи- В случае трехмерного температурного поля решение в диффузионном приближении с помощью разложения в я Т " пол чено в а ия в ряд ейлора у в работе [7]. Трехмсрньш аналог выражения [9.!6) для векзора плотности мопохроматнческого потока результирующего излучения Ч'„имеет вид 4п Ч', = — — 3„ УТ,„[Т), 33ч [9.26) а трехмерный аналог выражения [9.22) для вектора плотности интегрального потока результирующего излучения ц" имеет вид Ч'= —,4' Ч,[Т) [9. 27 а) нли Ч = — — Ч[тс'Тл).
т 4д 33 [9. 276) Следует отметить ограничения в использовании дифф ного п иб и ии диффузионр ближения. Оно справедливо внутри среды, ио неприменимо вблизи границ, где не выполняются условия [9.!3). Оно не дает полного описания физического процесса вбли и так как н в лизи границ, е включает в рассмотрение члены, учитываю щие излувнутри оптически толчение от граничных поверхностей. Однако внутри стой области влияние граничных эффектов пренеб ежи поскольк нзл ч р режимо мало, у учение, испускаемое граничными поверхностями, не достигает внутренних слоев.
В приближении оптически толстого слоя влияние погло ения н ассеяния с е ь н р я среды на теплообмен излучением учитываетсч в ияние поглощетолько через коэффициент ослабления 6я. Для только погломеняется на средний по Роеееланду коэффициент поглощения ия. Для только рассеивающей среды температура не оказывает влияния на теплообмен излучением.
При практическом использовании диффузионного приближения следует помнить, что, если среда не явля вляется оптически толстой, или, иначе говоря, толщина слоя не сос я не составляет нескольких длин свободного пробега фотонов [т.е. не вы о. ь . не выполняется условие т,= ~ 6,асу ))1), величина плотности потока резуль ир излучения может быть определена с большои ошибкой. 9.3. МОДИФИЦИРОВАННОЕ ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЛОТНОСТИ ПОТОКА РЕЗУЛЬТИРУЮЩЕГО ИЗЛУЧЕНИЯ В СРЕДЕ, НАХОДЯЩЕИСЯ В СОСТОЯНИИ РАДИАЦИОННОГО РАВНОВЕСИЯ Определение плотности потока результирующего излучения в непрозрачной среде, находящейся в состоянии радиационного равновесия, представляет значительный интерес для практических приложений. Диффузионное приближение дает простое выражение для плотности потока результирующего излучения, однако его применение ограничено средами, толщина которых составляет не менее нескольких длин свободного пробега фотонов.
Шорин [8] ввел понятие скачка температуры на границе, позволившсе получить простое выражение для плотности потока результирующего излучения, которое является достаточно точным для сред как с малой, так и большой оптической толщиной. Однако при больших оптических толщинах его результат отличается от правильного значения, так как в своем анализе Шорин использовал приближение Шустера — Шварцшильда, а ие приближение Росселанда. Дайслер [7] использовал граничное условие со скачком температуры на стенке и применил разложение в ряд Тейлора для распределения функции Планка в среде, что позволило ему использовать диффузионное приближение прн малых значениях оптической толщины для расчета плотности потока результирующего излучения в среде, находящейся в радиационном равновесии.
Прежде чем перейти к рассмотрению анализа Дайслера, остановимся вкратце на граничном условии со скачком температуры на стенках. Пусть плоский слой серой среды конечной оптической толщины то находится в радиационном равновесии между двумя параллельными черными границами т = 0 и т то, поддерживаемыми при температурах Т1 и Та [Та ) Т~) соответственно, Пусть 0[т) — распределение безразмерной температуры в среде, определяемой как 0[т) =[0Т [т) — 0Т~~~(йТз — йТ~). В работах [9, !О] получено распределение температуры в слое в результате точного решения этой задачи.
На фиг. 9.1 результаты этих расчетов приведены в виде функции т/то для различных значений оптической толщины то. Из этого графика следует, что на границах слоя любой конечной оптической толщины температура терпит разрыв [т. е. имеет место скачок температуры). Однако при то- оо температура среды в слое, примыкающем к границе, становится равиой температуре граничной поверхности,ц Физически возникновение скачка температуры на границе можно пояснить следующим образом. Поток результирующего Глава у Приблиъсенныв методы решения уравнения переноса излучения 349 1,0 ПЛОСКИЙ СЛОЙ О,б ь ! 0,4 ч о,г 0 о о,г 0,4 0,6 ОЯ 1,0 Го Фиг. 9.!.
Распределение безразмерной температуры прн различных значениях оптической толщины [10!. излучения, проходящий через плоскость, расположенную в непосредственной близости от граничнои поверхности, складывается из двух потоков: непосредственно испускаемого граничной поверхностью, и испускаемого слоем среды, в среднем отстоящего от граничной поверхности на длину свободного пробега фотона. Поэтому средняя температура среды в рассматриваемой плоскости будет заключена между температурой стенки и температурой среды на расстоянии длины свободного пробега от поверхности, что приведет к появлению скачка температуры на поверхности при конечных длинах свободного пробега фотонов (т. е !/~).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
