Оцисик М.Н. - Сложный теплообмен (1074339), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Затем для каждого й, из уравнения (9.109б) определяется совокупность значений д (й,) (т = О, 1, 2,, Н), после чего решение полученной из (9 107) системы однородных уравнений для изотропиого рассеяния можно записать в виде Че" (т)= Х Ага,„(йг)е ", пг=О, 1, ..., йг. (9.111) ! г Чтобы система однородных алгебраических уравнений (9.109) имела нетривиальное решение, определитель, составленный из коэффициентов уравнений, должен равняться нулю. В случае изотронного рассеяния это условие дает Прпдлаясенные мегодвг регасная уравнения переноса пелученпя 307 где частное решение Чег зависит от интенсивности излучения абсолютно черного тела lв[Т(т)].
Неизвестные коэффициенты Аь входящие в (9.111), находятся из граничных условий задачи. После того как определены функции Че (т), по формуле (9.100) находится распределение интенсивности излучения. Дэвисои [27] рассмотрел иной способ представления решения (9.111), а именно через вспомогательные функции Н (й,): Ч' (т) = Х А,Нп ()гг) еег', (9.113) г=о где Ае — коэффициенты разложения, а вспомогательные функ- ции Н„(й,) определяются выражением Нп(Я)=( 1) (~ п((, ) — (, [Яю( —,) — ()„( —,)~~. (9.114) Здесь Р„и г)„— полиномы Лежандра и функции Лежандра второго рода соответственно.
Таблицы допустимых значений й, и соответствующих значений Н„((г,) (и = О, 1, ..., Н) для различных значений со и й( приведены в работе [27]. РгНРИБЛИЖЕИИЕ В качестве частного случая ниже будет рассмотрено Ркприближеиие для изотропного рассеяния. Это приближение получается из (9.107), если принять Н = 1, [„, = бо и пренебречь членом с(Чег(т)/с(т, т. е. Че[ (т) + (1 — со) Чео (т) = 4ег (1 — со) 7в(Т), (9.115а) Чео (т) + ЗЧ'г (т) = 0 (9.115б) Физический смысл функций Чев(т) и Чег(т) становится ясным, если вернуться к разложению интенсивности в ряд, как это было сделано в (9.100), 7(~ )г) = ~ ~ Р ()г) Чепе(~).
(9.116) ы=е Используя свойство ортогоиальности полиномов Лежандра в соответствии с выражением (9.102), можно показать с помощью (9.116), что функция Чеы(т) связана с интенсивностью соотно- шением (9. 117) (9.112) Полное решение равно Ч" (т)=Чек(т) +Че~, Ч'„(т) = 2я ~ Р,„(Р')/(т, )л') с([г'. 666 Глава у ОПТИЧЕСКИ ТОЛСТАЯ СРЕДА Тогда + Зч)' [т) = О, [9.119б) где и'дТ4 (т) ьь [9.120) [9.127) Рнч., [р) = О, или Ч', [т) = 2л ~ 1 [т, )ь) е[)ь = — 0 [т) = -1 =пространственная плотность падающего излучения, [9.118а) ! Ч', [т) = 2ьт ~ )ь1(т, )ь) ч1)ь = — д' [т) = -1 = плотность потока результирующего излучения. [9.1186) Заменяя в [9.115) Ч',[т) и Ч', (т) на Ст[т) и ч)'[т) соответственно, получаем + (1 — и) О [т) = 4п [1 — ьа) 1ь [Т) (9.119а) Из [9.119) можно получить для Ст [т) или д'[т) обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка: дтб !т) = 3 [1 — и) [~ [т) — 4п1ь [Т)], д'у'!т) Г аТЬ !Т) Ч вЂ” = [1 — ьа) [Зч)'[т) + 4п ' ].
[9.121) Следует отметить, что уравнение [9.121) совпадает с приближением Эддиигтона [см. [9.73а)]. После нахождения из решения уравнения [9.120) функции О[т), удовлетворяющей соответствующим граничным условиям, интенсивность излучения 1[т, р) определяется из [9.116): 1[т )ь) = 4п [Рь [р) Ч'ь [т) + ЗР, [р) Ч', (т)] [9.122) 1 1 [т, )ь) 4, [О [т) + 3)ьч [т)] = 4 [О [т) — р д ~, [9.123) так как д'[т) связана с ч10[т)/ч1т уравнением (9.119б). Приближенные методы решения уравнения веренева излучения 369 В случае оптически толстой среды [т, е. при т » 1) левой частью уравнения (9.121) можно пренебречь, и тогда получаем выражение 4и д!ь[Т) [)= — 3 [9.124) совпадающее с приближением Росселанда [9.22), ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ Р -ПРИБЛИЖЕНИЯ Марк [30] и Маршак [31] предложили два различных способа приближенного предсгавления граничных условий в методе сферических гармоник применительно к теории перекоса нейтронов.
Помимо этих работ, граничные условия Марка и Маршака рассматриваются в [27]. Ниже дано краткое описание этих двух типов граничных условий. Граничные условия Марка. Рассмотрим слой с оптической толщиной то и граничными условиями вида 1[0, )ь) =1, [)ь) при )ь > О, [9. 125) 1[т„р) = 1,[)ь) при р < О, [9. 126) где 1[)ь) — некоторая известная функция. Марк предположил, что для Рн-приближения могут использоваться эти граничные условия, записанные для определенных значений рь в качестве которых берутся корни уравнения где Рнч1[р) — полипом Лежандра. Тогда граничные условия [9.125) и (9.126) могут быть представлены в виде 1[0, рн) = 1, [рн), р > О, [9.128а) 1[т„р ) =1 [рч), р < О, [9.
128б) где рн — положительные корни уравнения [9.127). Необходимо отметить, что на выбор функций [[)ь), используемых в граничном условии Марка, накладываются определенные ограничения, так как интенсивности на границах 1[0, р) [р) ) 0) и 1[то, р) [р ( 0) записываются в виде рядов [9.116) с конечным числом членов. Если функция [[9) имеет сильные особенности, как, например, дельта-функция, то сходимость ряда очень медленная. Если 1[)ь) — гладкая функция, то вопрос о сходимости не возникает. ЗТО Глава У Тчгриблиасенные методы решения уравнения переноса излучения Зу! Эти граничные условия должны удовлетворяться при значениях )сь являющихся положительными корнями уравнения Р, ()с,) = 3)сог — 1 = О, (9.130а) (9.130б) а именно.
1 )сг = гз ' Интенсивность 1(т, )с) связана с 6(т) соотношением 4л[ () )с дт (9.131) Тогда из (9.129) — (9.131) следует, что граничные условия (9.129) можно представить в виде 1 Г 1 дтг (т) 1 агогв — ~6 (т) — = — ~ 4л ! ог'3 дт "с=о л 1 Г дб (т) 1 ао Т4 — ~ 6 (т) + = ~ = . (9.132б) 4л " зг'3 дт с=с, л (9.132а) Граничные условия Маршака. Маршак [3!] предложил другой способ приближенного представления граничных условий для Рл-приближения. Рассмотрим граничные условия в виде 1(0, )с) =1,()с) при )с > О, (9. 133 а) 1(то, )с) = 1,()с) пРи )с < О, (9.133б) где 1()с) — некоторая известная функция Для использования в Рн-приближении Маршак предложил представить эти граничные условия в следующей форме; 1 1 ']1(0, )с) )с с()с = ~ [,(р) 9~ ' аг)с при )с > 0 (9.134а) о о и о о ~ 1(то, )с))с 'с()с= ~ ~,(р))с" 'аг)с при )с < О, (9.134б) Где ! = 1, 2, 3, '1, (йт [ 1) Для иллюстрации рассмотрим Рпприближеиие со следую-.
щими граничными условиями: и дТ~ 1(0, )с)= ' при )с>0, (9.129а) 1(то, — )с) = при )с < О. (9.129б) В качестве иллюстрации рассмотрим граничные условия Маршака для Рмприближения. Пусть граничные условия заданы в виде дТ4 1(0, )с)=е, „+р1(0, — )с), )с>0, 4 ог 1(т, — )с) =е — + р,1(т, )с), )с > О. (9.135а) (9.135б) Иитеисивиость связана с 6 (т) соотношением 4л [ ( ) 1 дт (9. 136) Граничные условия (9.135) в форме Маршака с учетом (9.136) запишутся в виде 1 и'-Т' 4л ~[6() — 9 „, ~~ 9 (ц=е „' ~9 (9+ о о 1 + 4~ ~ [6 (т) + )с д, ~ )с аг)с~, (9.137а) о 1 4л )[ ( )+1 дт !т=сс~ о 1 =ег ~ )сс()с+ 4л ~ [6(т) — )с д ~ )саг)с (9.137б) После интегрирования получаем (1 — Р,)6(0) — — (1+Р,), ) =4е,пойТвп (1 — р,) 6 (то) + — (1 + р, ) „( ') = 4е и'йТ,', (9.138а) (9.138б) Сравнивая точность этих двух типов граничных условий, Дэвисон [27] пришел к выводу, что для Рл-приближений низкого порядка граничные условия Маршака дают лучшие результаты, в то время как для более высоких порядков Рн-приближения более точными становятся граничные условия Марка.
Однако последние численные расчеты [32 и 33] показали, что для Рм. приближения любого порядка предпочтительнее использовать граничные условия Маршака, Другой тип граничных условий был получен независимо Федеригн [34] в общем случае Рн-приближения для плоских, сферических и цилиндрических слоев н Помраниигом [35] для Р; 312 ' Глава 9 Л и»»лизхенные методы решения уравнения нереноса излучения 373 ри 9.6.
МЕТОД МОМЕНТОВ Метод моментов, описанный Круком [22], и метод дискретных ординат, рассмотренный Чапдрасекаром [2] и Кургановым [3], позволяют получить приближенные решения уравнения переноса излучения более высокого порядка. При этом, как было показано Круком [22], метод моментов, метод дискретных ординат и метод сферических гармоник совершенно эквивалентны.
Ниже будет рассмотрен метод моментов низшего порядка и проведено его сравнение с Р»-приближением, для того чтобы показать эквивалентность получаемых результатов Рассмотрим уравнение переноса излучения в виде + 91(з, оо) = к1о(Т) + 4 ~ 1(в, ье') д(3, (9.139) лл где в — длина пути, измеряемая вдоль направления распростра- нения излучения Рц Производная по направлению д»дв в прямо- утольной системе координат связана с частными производными по х, у и г соотношением д д д — =1 — +т — +и —, дя дх ду дх ' (9.140) где 1, т и и — направляющие косинусы вектора О, равные 1 = яп 0 соз»р, т = яп 0 яп ц» и и = соз О. (9.141) Здесь 0 — полярный угол, отсчитываемый от положительного направления оси г, а Ч» — азимутальный угол.
Подставив (9.140) и (9.141) в (9,139), получаем (1 д +т д +и ) +р(=к1ь(Т)+ 4 ~!»»ил, (9,142) где 1=1(х, у, г; 1, т, и), приближения. Этим авторам удалось при решении задачи Милна в теории переноса нейтронов добиться лучших результатов, чем те, что были полчче»»ь» с помощью условий Маршака. В работе [36] сопоставляются граничные условия Федериги и Маршака путем решения задачи о критической длине в теории переноса нейтронов и делается вывод, что получить точные значения с помощью условий Маршака трудно из-за медленной сходимости для Рн-приближений высокого порядка, в то время как условия Федериги обеспечивали сходимость к точным значениям для Рн-приближений сравнительно низкого порядка.
П едставим интенсивность излучения в виде Р 1(х, у, г; 1, т, и) = 1о (х, у, г) + а (х, у, г) 1 + + Ь(х, у, г)т+с(х, у, г)п (9.143а) или, в более краткои записи, (9, 143б) 1 = 1, -[- а1+ Ьт + сп, где !о, а, Ь, с — искомые функции одних лишь координат. Подставив (9.143) в (9.142) и проинтегрировав полученное выражение по всем телесным углам (т. е. в пределах 11 = 4п), получаем ') да + дь + д' 3к[1,(Т) 1,]. (9.144) в (9.142) и умножим полученное выражение 1, т и и, а затем для каждого из этих трех интегрирование по телесному углу 4п. В ре- Эти соотношения позволяют связать коэффициенты а, Ь и с с функцией 1о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
