Оцисик М.Н. - Сложный теплообмен (1074339), страница 60
Текст из файла (страница 60)
(10,29г) Рассмотрим вкратце свойства функций Н(г) и Х(г), ФУНКЦИЯ ЧАНДРАСЕКАРА Н(е) Одно из интегральных выражений, которому удовлетворяет функция Н(г), имеет вид (19] ! Н(г) = 1+ гН(г) ~ ~ Н ()») с()2, (10 80а) о где 1()2) — так называемая характеристическая функция, вид которой зависит от рассматриваемой задачи. Можно привести также другое интегральное уравнение, которому удовлетворяет фушкция Н(г) (19]( 1 1' — =~1 — 2])(,)2,] .(.] ""1" н(„)2„. (12.225) о о Характеристическая функция 1'()») для изотропного рассеяния определяется выражением 1(р)= — ",.
(10.31) 390 Глава !О Получаем (10.32а) где дЛ (е) ~ д — 2Чо (10.35в) где (10.33) так как г (Чо) ~л ти о (10.35д) Прн в=! (10.36а) упрощается х'(о) = 3, х (о) = ~/3. (10.366) 1 = ~ у (и) с!р. о (10.37) справедливое прн 0 ( в ( 1. В этом случае уравнения (10.30а) и (10.306) упрощаются и принимают внд 1 Н (г) = 1 + —" г Н (г) ~ — ~ с(р о =(1 в)У + —" ~ ""(") (н. (!0.326) о Для чисто рассеивающей среды в = 1. Уравнения (10.32) могут быть использованы для численного определения функции Н (г). Для дальнейшего изучения свойств функции Н(г) читателю следует обратиться к книгам Чандрасекара (19] и Кургаиова !20]. ФУНКЦИЯ КЕЙСА Х(е) Кейс дал определение функции Х(г) как аналитической, существующей в комплексной плоскости с разрезом от 0 до 1 и ведущей себя иа бесконечности как — 1/г, т, е.
1пп гХ(г) = — 1. Существует несколько математических определений функции Х(г). Одно из иих имеет вид 1 Х(г) = ~ ™ с()г. о Подставляя сюда у(р) из (10.296), получаем 1 х (г) — " 1 с()г, в < 1; (10.34а) ")," (Чо — Н') (Н вЂ” и) Х( — Н) этим выражением можно воспользоваться для численного определенна функции Х(г). При больших значениях г, когда функция Х(г) ведет себя как — 1/г, (10.34а) принимает вид 1 1 — 2(! )...
с(р, в <1. (10.346) При в = 1 можно воспользоваться предельным соотношением 1!ш т!,'(1 — в) = —. ! о~! Э ' Решение уравнения иереноса иэлуиения методом Кейса 39! 3 Г Х (г) = — ] " с(р, со 1. (10,34в) о Х(г) н Х( — г) связаны соотношением Х(г) Х( — г) = ',, в < 1, (10.35а) (1 )(Ч, 'г) ' А (г) = 1 — 2 ~ — с(р = 1 — вг Агс()! †. (10,356) — 1 Произведение Х(г) Х( — г) прн г — иЧ, равно Х (Чо) Х( — Чо) = — 1пп ! — в е+ч. Чо-и' ! в А' (Чо) в (! — в) А'(Чо) = "Чэ ~— т в ! х 2 'о! Чг 1 Чог) (10.35г) Величина Х(0) получается из (10.35а) при подстановке г= О Х'(0) =,, Х(0) = прн в < 1.
(10.36а) Чо (! — в) Чо,7! - в Умножив обе стороны (10.33) иа г н переходя к пределу при г — и оо, получаем соотношение 1 Реииение уравнения нереноса излучения методою Кейса 393 Глава 10 392 СВЯЗЬ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ И(ю) И Х(ю) Функции Н (г) и Х(г) связаны между собой. Для изотропного рассеяния связь между Н(г) и Х(г) имеет вид [5] Н г х (о) (1 + 2/яо) Х ( — е) (10 38а) При со < 1 подстановка Х (0) из (10.3ба) в (10.38а) приводит к выражению Н(а) = ч, оз < 1. (10 386) (1 — оз)М (Чо + з) Х( — г) В случае когда о! = 1, Чо-н оо и Х(0) =.Чт3, в силу чего выражение (10.38а) упрощается и принимает вид ( ) х — з зт'з (10.38 в) При г= Чо из (10 386) следует Н(Чо) =,, со < 1. (10.38г) 1 2Чо (1 оз) ~ Х( т1о) Подставляя Х( — Ч,) из (10.35в) в (10.38г), получаем (1- )'Ь Чо Н(Чо) — — 21Ч Х(Чо) о! < 1, (1О 38д) где А'(Чо) определяется формулой (10.35г).
10.4. ИНТЕГРАЛЫ НОРМИРОВКИ 1 ряз'(~ Чо, р) с(р— = ~ Н(Ч0) — 1 (10 39) Коэффициенты разложения произвольной фчнкции по собственным функциям х!огут быть определены с помощью свойства ортогональности собственных функций и различных интегралов нормировки В данном разделе рассмотрены интегралы нормировки для дискретных и непрерывных собственных функций и изотропного рассеяния Отдельно будут рассмотрены случаи из менепия р в полном диапазоне ( — 1( р(1) и в половинном диапазоне (О = р ( 1). а) Интегралы нормировки для полного диапазона.
Рассмотрим интеграл нормировки дия дискретных собственных функций в полном диапазоне р вида где дискретные собственные функции были определены выше [см- выражение (10 10)] как !Р(~ Чо Р)= 2 оз < 1. (10 40) Интеграл в (1039) равен') чч (Чо) = — соЧо( з —,1, оз < 1. (10.41) %/ Интеграл нормировки А!(Ч) в полном диапазоне )л для непрерывной собственной функции имеет вид ! ~ р!р(т)', р) ор(Ч, ро) с(р = А!(Ч) 6(т) — т)').
(10.42) — ! или Ч ~'(Ч) = д(„„) где Л (Ч) = 1 — сот) Асс()! т) В затабулированном виде функция д(оз, Ч) приведена в работе [22] Уместно отметить, что опредетеиие интеграла нормировки с помощью (1042) есть просто матехзатическая запись утверждения, что если выразить )о(р) через ор(Ч, р) как ! [ 0') = ~ А (Ч) р (Ч р) с(Ч вЂ” 1 (10 44а) го в этом случае неизвестный коэффициент А(Ч) будет опреде- ляться выражением А(т)) = ~ )л!р(Ч, р)1(р)с(р. (10 446) б) Интегралы нормировки для половинного диапазона.
В работе [6] получены интегралы нормировки для половинного диапазона изменения р как для дискретных, так и для непрерывных собственных функции Интеграл нормировки А!(Чо) для дискретных собственных функций в положительной половине диапазона Кейс получил для А!(Ч) следующую зависимость [1]') (1О 43а) (10.436) (1О 43 в) Г 09 394 ас гс г г с сс о о М" г( 01 ~ 00 О 00 Г ГС 'о 00 СС о л г 00 СР сс м г с=1 О СО сс гс" г( ОСЯ~О 0000 С с с Г Г Г С ГС СО гс о а г- Г СО 00 1. О 00 со г" 00 а гт гс" гс" гс сч( сч' счт сс са (10.45а) О з где (ач )зХ( (10,456) гс я Д г- сч 00 - 00 о 00 ОС 00 00 00 о 00 00 о ас гс 00 ОООМГС СО са а са 'о о Я 00 М 00 ГС Со О О.
О. —. гс ГС о о О о о сс О 3 00 с сс 00 00 С 00 000 а г г„г„ ОмгСО Я 00 о г- м о я а о з о о о о О О о с о О С СО 00 СО Г гс о л л о м о г о а сс соса счг 1 сг СО О СО Г 'О Г 00 00 ОГСОООСССС СЧ СЧ СЧ СЧ Я 00 а гс 1 'о со о оо гсгсгс г а о о сч сч О" 11 з м М О О 00 О 00 'О О 'О а са гсососс о о о ГС Г Г 00 о м сг о Я'О'О'О ГС Г 00 СО СР 00 Г а г сг Оса о О СО 00 О ГС Г 00 О з г О" 11 з 000 00$ — 00 Г- СО О гс О со гс гс сс сс 3 00 о г ас ог- г га о СО СО 00 ГС О О О осс 00 а ос О О О О О О О„ г- О гс СС О г с $ о СО 00 О" з л о СО С СО сг сг о о о о о СО 00 о о ООСС ГО СС 'О 00 О Я О вЂ”,-,.Г О Г- СО ао'огггггг О О О О„О О„О О О Я СО Я о а О ~0100 сс О О О О Ос со го» о о ор о о о о о о з изменения р (т.
е. 0 < р < 1) имеет внд 1 ~ ()'(11)Ф'(ЧС, р)( — = А((Ча) 0 Приведенный выше результат может быть доказан непосредственной подстановкой явных выражений для ()т(р) н ф(Ч0, р): !" (Р) =(Ч0 Р) У(Р) " Ч'(Чзс Р) = с использованием определения функции Х(г), данного в (1033). Интеграл нормировки для непрерывной собственной функции в положительной половине диапазона изменения р имеет вид 1 ) Ас(Ч) б о 0~(Ч, Ч ~(1, 01(1, (10,46а) где члены в правой части выражения определяются следующим образом (6]')1 ()т(Ч) = (Ч, — Ч) У (Ч), (10.466) = Л (Ч) + ( " ) = , (10.46в) Л (Ч) = 1 — 01Ч Агс()1 Ч, (10.46г) а функция у(Ч) определяется нз (10.29а) или (10.296).
При 00 = 1 Ч,— О. В этом случае, разделив обе части (10.46а) на Ч0 и переходя к пределу при Ч0- О, получаем 1 1 у(Ч)Ч1(Ч', р)Ч1(Ч р) 0(„=у(Ч) ~Ю 6(Ч вЂ” Ч'), о 0((Ч, Ч'((1, 01=1, (10.47а) И [Лз(Ч) + ( Ч )'~ (10 476) Л (Ч) = 1 — Ч Агс(й Ч, (10.47в) а у(Ч) определяется выражениями (10.29в) или (10.29г).
ЧИСЛЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ И(Р), л ( — )с) И Е (00, )с) функции Н(р), Х( — р) и я(01, р) для изотропного рассеяния были затабулироваиы соответственно в работах [2, 19, 22]; таблицы этих функций даны также в работах (23, 24] В табл 10 2— 10.4, взятых из (23], приведены значения функций Н(р), Х( — р) О со 00 г О О а г г,а О 00 со гс 00 г О Ос г--г г- ~00а сс гс00 г ~оомсогс а — а огс гс г сасаса ~Я 1. С>г а я О С'1 Г 'О 00 00 'О 00 00 О О С Г О 00 Я га г ~а сс ~00 гг Яссгс О-МСТИМ-.Г.ГЮ СЮ О О ОГ-Г-Г-00С000 со га г-а а 0ссса сссоа г г- с> Г СО Г 'О СО О С Г ~а .0. с ооа ~о с саа сса г ссо оа ояг гоосоогс 1. ~00~ СО 00 СО 00 О Г СГ О ГС О О О гс а г О О гс 00 г О 00 гс г Я оосасаа,а, о осалмоюммз О,са О Г 00 СО О 00 ГС СО О 00 СС ГС 00 М О Г С СГ ЛГ 00ГССГОСООООССГМ,ООМ Ь Г- 00 О О СЧ М М О, С О О О Г- Г- 00 00 ООСОССГ,ОО,О ССССО',0000000'О Я ОГ- 1.
1-0 ООСО00ГСО Оа Г О 1.1- О со со аа ос оа яоа са о, всоссса лгс ~00о 1. ог сОЯ гсм ~00 сосо СО СО СС СС СС сС сС ГС о о. о о о о„о о о„о о о о, о о о о о о„о„о 00 О С О 00 О 00 О НС О 00 О 00 О 00 О 00 О С О Оо, с1с! ~ й00 ~со ог-г сасаа а о О О О О О О О о о О О О О О О О О О О О -ОйМООФ Г-И $ Осййг3аи йм 3 О 3 а йоай СО 3 Г ГИ М со 3 М О Г 3 й со с г г ° г" а 30 30 30 и ООО ОООО ООО 'а и й а и чо с и 3 'а 00 О оо а оо с'3 и О й О м ~ 'а "а 3 ~ О м й МййОООй- О 3. С ГИММ О,амОС',ам,ос.сйиО СО 3 И Г М О С С' С СО С 3 3 3 й й С С И 3 О ОООО ООООООООО ОООО 'а с с м со 3' ,а О 3 О й й 00 ООО О й С'3 со О О й 3 М ммсом 33 со со со м с'3 со м с"3 м с 3 'а 3 г и м со ',а со г О 'а м оо и г Ой сйаОсойссасомсойй я Са Дс оо,аа г с с сосо йг оогйс аОссм с О Фмии мО с 3 а й й а 00 со с,а и 3 м с г О и а О а а йййа а а а а а а сососос" 3аа ~.О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О СО 33й ,о...г мсо СО О О а а со со со О ОООО Г 3 С'3 ',а с м г м 'а с 3' О ф И м О а О з ОООССООиим'ам с аис'3аиО Я и й и,а м м й,а й с'3 с'3 и а с О м О~''аФйгОСИО'ОО 8808оО.ООООООа а а а а а а а сог,~оО ОООООООООООО со гоОммО а'сОО а 3',аи а с со И г с м й с с со а О со и а со с с с с',а',а',а',аис ОООО ОООООО О 11 з 2 с О а м О а м а со и со со с м со О И Й со а О О О О а О со со О О О О Ф 3 г г г а г и м а с и Ф со г м Я~ с ОСсисом'а ойдо смсй',асс йм,айс'3г',а'а с смс'асса О с $ г 3 О со с,а,а 3 с г а и со О с'3 г и,а с со со со,а с О ОО ОО ОСОС О О О О О О О О О О О О О О О Ф О ,аОО,аО ГС'СМ 3ас с а 3аиИ'Г с со Г ',а со ',а со О СОооссоам м а с г м О 00 с с с а,а ~О,а,а и и О О О О ООООО О О ',а с со а О С С И а с'3 чо И г м И а, С со с'3 О И С О О а а г с с со г а а со со ОООО с г а О О„ ф С О О О- ГМФФй Я со м со а О 3' 3 О 'а О С'3 СС-М Ой О О О М С'3 О О О О О О„О ОО со й $ со м с а а с О з О м а а с'3 г О М ИО О С- ~О Ц ',а м О со и м ',а 'а ',а О О О ОООО О а м 40 м а И О О 00 со со м м с со со О О м И М О гама 'а со м а и м с а м ',а а и со с м с С ф г с С О м с О м О О з ',а м ,а м а Ф со с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
