Оцисик М.Н. - Сложный теплообмен (1074339), страница 58
Текст из файла (страница 58)
В настоящей главе приведено упрощенное изложение метода Кейса применительно к решению одномерного уравнения переноса излучения в плоском слое серой изотропио рассеивающей среды, Приведены собственные функции однородного уравнения, рассмотрены свойства ортогональности собственных функций и приведены различные интегралы нормировки; описан способ представления произвольных функций через собственные функции. Подробное изложение теории метода н его приложений, а также обзор литературы даны в работе [2) Более поздние работы, посвященные методу Кейса, рассмотрены в [3]. В работах [4, 5) этот метод был распространен на случай анизотропно рассеивающих сред.
Несколько полезных соотношений ортогональиостн для собственных функций приведены в [6 — 81, Мы не собнраемся приводить многочисленные ссылки на применение метода Кэйса в теории переноса нейтронов, но упомянем несколько работ в области переноса излучения. В работах [9 — 12] этот метод был использован для решения задач теплообмена излучением в плоском слое серой среды. В [13, 14) метод Кэйса был использован для нахождения решения системы А4 интегральных уравнений, получающихся прн рассмотрении задачи о теплообмеие излучением в несерой среде 10.1.
СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ ПРИ ИЗОТРОПНОМ РАССЕЯНИИ Р от им одномерное уравнение переноса излучения в пло ассмотр ойсеы оком слое изотронио рассеивающей серо" р д 1 д1 1«, П) ячд741«) св дт -1 г е 1(т, ) — интенсив ность излучения, оч — альбедо однократ ного рассеяния, п — показате — аза ель преломления, Т[т) — температура, т — оптическая тол т лшина, а 9 — косинус угла между пап авлением переноса а излучения и положительной осью т. Р Полное решение этого уравнения можно представить в виде 1 (т, 14) = 4[4 [т, ~х) + 1р [т, ~х), [10.2) 1 (т, ) — частное решение уравнения (101) [т. е.
решение, удовлетворя4ощее неоднородному ур зательно удовл т етворяющее его граничным условиям, спасо г зависит от типа свободного члена. В к нце о получения которого зави т о о ешения главы удут ра б ссмотрены способы получения частного р авнения [10 1) для различных типов свободных член в, денов, оуравнения пако сейчас примем, что „ т, 9 1 [т, 9) является известной функцией Фу - чр[, ) является решением однородной части уравнеункция т, и я 4 ния (1О.1), т е 4[:[т, 9) удовлетворяет следующему ура м авиенню: дчу (т, П) + вч дт (10.3) После определения со бственных функций и собственных значе- ний этого однородного уравнения полное решение для 4[4(т, 9) с использованием мод л модели «частокола»о Аналогичная задача рассматривалась в раба б тах [15 — 17).
ого авнения Ниже мы рассмотрим лишь решение одномерного ур пе еноса излучения в плоскрм слое р " р о се ой с еды с изотропным перен ассеянием с целью ознакомления с этим новым мощным метор е еплообмена П иложение этого метода к анизотм, к многоме ным заачам или к задачам в непрямоугольных координатах приводит здесь не рассматривается. Читателю, интересующемуся этн и этими вопросами, следует обратиться к ориги- выполнальным ра отам в д б м данной области Прекрасный обзор вы йт оиенных этим методом ра м абот в области теории переноса ней ре 18.
нов, опубликованных до 1972 г., содержится в работе [ Глава !О. 380 (10.9а) / 1 Л (Ч,) = 1 — отЧо А ге()т ( — ) = О 'Х Чо (10.9в) так как ~ ор(Ч, ц') атц'= ! — ! (10.6) ( Ч ) оР(Ч' от) (10.7) (10.11а) (10.116) 'Чо ! чо.+ ч,н, 2 Чоч-тт находится как суперпозиция всех возможных решений. Коэффи. циенты разложения, фигурирующие в решении однородного уравнения, могут быть определены нз требования, чтобы полное решение (10.2) удовлетворяло граничным условиям задачи. Таким образом, первый шаг состоит в определении собственных функций и собственных значений однородного уравнения (10.3). Остановимся теперь на методе определения этих собственных функций и собственных значений, разработанном Кэйсом [1].
Функция тр(т, !т) может быть представлена в виде ф(т, !л) =в-митр(т! !т), где ор(Ч,!т) — собственная функция, а Ч вЂ” собственное значение для однородного уравнения. Подстановка выражения (10.4) в интегральное уравнение (10.3) дает ! ( т!)оР(Ч ")= 2 ~ оР(Ч Ц')атр'. (10.6) -! Отметим, что в силу однородности уравнения (10.5) собственная функция ор(Ч, !т) определяется с точностью до постоянного множителя. Эта неопределенность может быть устранена нормировкой ор(Ч, !л) при условии, что этот интеграл не равен нулю.
Было доказано [2], что интеграл (10.6) не равен нулю, в силу чего приведенная нормировка справедлива. Используя это условие нормировки, получаем из (10.5) Здесь принято, что величина ы лежит в диапазоне от 0 до 1, который покрывает все случаи, представляющие интерес в теплообмепе излучением'), !т принимает значения от — 1 до 1. Чтобы решить уравнение (10.7) относительно ор(Ч, !л), рассмотрим отдельно следующие два случая: а) Ч лежит вне интервала ( — 1, 1) н б) Ч лежит между — 1 н 1.
Причина такого разделения состоит в том, что последний случай содержит особенность прн Ч = !т, в силу чего его решение требует особого подхода. а) Ч лежит вие интервала ( — 1, 1). Для того случая, когда Ч лежит вне интервала ( — 1, 1) будем использовать обозначение Ч = Чо. Решение уравнения (10.7) дает дискретные собствей- Реп!ение уравнения переноса излучения мет д К о ом Кейса 381 ньое функции тр(Чо, !л) однородного уравнения (10.3) в виде дисперснонное соотношение, с помощью кото- Получим теперь рого можно определить ел ть дискретные собственные значения Чо. И (10.8) по !л в пределах от — 1 до 1 и используя ус. нтегрируя ловие нормировки (10.6), получаем ! ! Л(Ч,)— = ! — — ","' ~ др=О. — 1 Выполняя интегрирование, получаем соотношение Л )=1 — — "'1п ( "')1=0, (10,96) которое можно переписать в виде 2 Атс()тх = !п ( ! — ) пфи [х] ( 1.
л1+х т, (10.9) ставляет собой искомое дисперсионное соотношение пред для определения д лепиЯ дискРетных собственных значений Чо. К [, 0 м(1, 2] показал, что р ] - л, что и и заданном значении м, когда 0 ( м ( льнь х, авных, этому ур авнению удовлетворяет пара действительных, равны, епротивоположных о х по знаку корней ~Чо. В этом случае соотв тствующие дискретные собственные функции тр(~-Чо, !т) равны (~Ч !л)= о итзь1о отче ! 10.10 'Р Чо — 2 т!от!о' ( ) 10.3) п на два дискретных решения однородного уравнения ( . ) рнимают вид т]о! (т, !т) =в т!иоор(т1, !т) ит чь 1, фи(т, !т)=вм" оР( — Чы !т), из~1.
Прн ит = 1 дискретные собственные значения ~Чо становятся равнымн бесконечности, а обе дискретные собственные функции ор( !-т!о, !л) вырожда!отся в одну 382 Глава !О Кейса 383 Решение уравнения переноса излучения методом Таблица 70Н Дискретные собствсиныс значений Чо для случая изотропного рассеяния 2 ' ! ! 2 ( (10.13а) (10.13б) '7о г7о или откуда — = 1 — 2в-т7., «1. 1 Чо (10.14в) б) т1 лежит в интервале ( — 1, 1). Когда т1 лежит в интервале ( — 1, 1), уравнение (10.7) имеет особенность при 71 = 94 в этом случае в самом общем виде решение уравнения (!0.7) имеет вид [1, 2) ~(Ч р)= —," — „„, +А())б(Ч вЂ” 9) т1ен ( — 1, !), (1О.!6) В работах [2 и 3) было показано, что два дискретных решения уравнения (!0.3) при от = 1 имеют вид ДлЯ заданного со днскРетные собственные значениЯ 7!о опРеделяются из дисперсионного соотношения (10.9) В случаях когда со «1 и со — к-1, нз (10.9) можно получить простые выражения в явном виде для приближенной оценки 7!о.
Когда со стремится к нулю, 7!о стремится к единице, поэтому для малых со уравнение (10.9б) можно упростить 1 — — !п~ [=О, со << 1, (10.14а) 1п ~ — ~1 — — Ц = — —, «7 << 1, (10.14б) Выражение (!0.14в) представляет собой искомое соотношение для приближенного определения 7!о при малых оз. При оз, стремящемся к 1, 7!о становится велико, а 1/7!о — мало. Поэтому, раскладывая Агс!)7 (!/7!о) в ряд по степеням 1/7!о и ограничиваясь первыми двумя членами разложения, уравнение (10.9в) можно упростить и получить 1 — озт10~ — о+ 3 ( — И=О, оз-и1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
