Оцисик М.Н. - Сложный теплообмен (1074339), страница 61
Текст из файла (страница 61)
О О О , И О О О Оаи агс сгм',асс О Си Есо3айОО а ООйсос с соя3ай»иО О со 3 Г О с Ф О со О О М С,а со СС О СС О О О О О О О И О м ми сомФ с'3 О со,а и ',а ',а и и и ООООО ',а м с О О а О С 3 С С м с О м со м О со со С м с м м с г с 3ас ~ма о-м М 'а 3 со 3 й О С'3 О со а О М ММ)„и3агО О 33 О С ф О с и м С г с и м м м а м со О О з Со 3 М ФЗЗ О" О О" С'3 О а О О ОООО О Засоса О 3 3 3 33 О О О 33 а Г со О Г а а а со ОООООО М, ОООООО 30 с со и О О 2 С 3 00 Я С'3 со Г й со оо с со О М м О а с 3 3' са 30 30 с и и и ООООООО СС" Г з О СС 3' М с О О Г О со м м м а м О ОС Ма м ',а и со м~ с со йР С С.
С О ОООО С ф м и 'а О о сс 30 со а со сосо ОООО м а 3' и а И 3 а и О з м м С С м О а со 'а со с гсо й С О О а О О'а со со с Я О а со а 3 а м ООсосс ОЯОО М ОО,О8О.ОО, с'3 м 'а с'3 ',а ',а и с с О С а г И С3И со с с'3 м ',а с'3 а 'а с'3 СО Г С'3 И й Д й а с и а с и м ,а а,а,а,а и 3 и 3 и ОО ОООО ОООО Ии а 3-иа ммйоим й с г со а»а с'3 33,0 м и Я со со сООсо с',аОсо ссоФймФС О,ам ,а со Ф со М со ',а ',а О О О О „.
м м с „г„а со„м О й ',а м С С М 3' и м г- с", О О й Ф,а с О с'3 со а О О а и О 3 г- и и $ ,ам гм м 'а ',а с'3 м 3 со а и со а а со со со с ОООООО О з г м 3' а а,а с'3 С 3 СО О со 3 с а С О М с С'3 С'3 О О И ,а с г О 0 м с с со м 3 3 а со м,а с'3 со и а с ,а,а,а и 3 и и и и ООООООООО О 1! з с с',ам ОиОФФм амм г Фм8со ~,аф а...
О .г О - О,- а,с. а а,а й г,а а м ',асогг со ог ОООмммс ай О О со м и г ',а со и м О О ',ос м О 3' С м с С'3 М С О 11 а мо со О с О О ',а О с и м со 00 со с О О О й й оо О О амОсгсосасмОим ааи О'а'ОмигФм с а и а,а г м м ОО. О ОО„О О8 О О О О О О О О О с и и м О 'а 00 й ',а 3' м м~ г м,а гм исог $ 30 а ма О с г 303 м м с- м О со а О ос,а И и мОФФм-8Фа с с 30 со 30 30 30 и 3 и и и и ОООО ООООООООО ~~уз О О з О а (Р ИйГО О а а а, О О О О О ИОСОИОИОИОИОИОИОИОИО ОО мм 3 0 3. С,и303аг" с" сосоа а О ОООООООО ОООО ОООООООО ИОИОИОИОИОИОИОИОИОИО О О „ с'3 03 0 '3 3 г и и ',а 'а с" с" Ф Ф й й Я О О О О О О О О О О О О О О О О О 0 О О а а й а а а 2 С'3 О И М СО С'3 а со а с с О я а О О й г г с И й О й О с м Им М СС'3 О О 3 О О а а О О О 33 СС ',а а а С а со О О ,а,а ф а 'а а С'3 И М ,а м й со 00 с с ОООО м 30 со О с а ',а м со Ф О О й со й со ',а а с г О О м 'а О Ом~м' г й а с а йагсс ',а ',а а 30 ООООО И И й г а с ,а со О со ',а и О О а а а а а а 3 а 30 з оо Р з со е р о и Яйй Оййй ООО м $ с'3 О О й 3' со со м с'3 О с'3 О Решение уравнения аереноеа иэлуеения л!етодом Кейса 899 Глава !0 898 и д(со, р) для случая изотропиого рассеяния в диапазоне изме- нения и от 0 до 1,0 (с шагом 0,05) для нескольких различных значений оэ.
10.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ РАЗЛОЖЕНИЯ ! + ~ А(Ч)Ч (Ч р)(Ч вЂ” 1 р ~ ( — 1, 1), оэ ( 1, (10.48) где А(т1о), А( — т1о) и А(т1) — коэффициенты РазложениЯ. Для определения дискретного коэффициента А(Ч,) преобразуем обе части равенства (10.48) с помощью оператора ! ~ 1ир(Ч, р) е(р — 1 и воспользуемся условиеч ортогональности (10.23) для полного диапазона, в результате чего получим ~! ° ! ~ РЧ~(Чо, р) 1 (р) 4» = '1(Чо) ~ И~'(Ч! Р) о(р или ! А(Чр) = — ~ р!р(Ч,, р) Г(р) е(р, (10.49а) 1 -! где интеграл нормировки У(Че) в соответствии с (10.41) равен ! У(Че)= — ~ р!р'(Че, р)е(Р = — оэцо(, — —,1, ы (1.
(10.496) 9 !, Чо ! Чо / Дискретный коэффипиент А ( — Ч,) может быть определен, если преобразовать обе части (10.48) с помощью оператора В данном разделе будет проиллюстрировано использование свойствр ортогональиости собственных функций и различных интегралов нормировки для определения коэффициентов разложения достаточно гладкой функции по собственным функциям. Отдельно будут рассмотрены случаи разложения в полном и в половинном диапазонах.
а) Разложение в полном диапазоне. Рассмотрич функцию ((1!), определенную в полном диапазоне р и представленную в виде разложения по собственным функциям (см. (10.21а)]: 1 (р) = 1 (Ч ) Ч'(Ч» р) + А ( — Че) Ч'( — Ч р) + ! р Ч! ( — Чо, р) е!р и использовать условие ортогональности (10.23) -! для полного диапазона: ! А( — Чо)= — У(„) ~ р!р( — Чо р)1(р)е(р, (10.50) -! где интеграл нормировки У(Ч,) имеет внд (10.496).
Для определения непрерывного коэффициента А(Ч) преобразуем обе части равенства (10.48) с помощью оператора ! р!р (Ч', р) а!р и воспользуемся условием ортогоиальности (10.23) -! для полного диапазона, после чего получим ! ! Г!' ] еэ!э', е)1ыле- ( еэ!э', е! [1 л(э!э(„, е)еэ]ле (!031 ° ) -! — ! -! ! р ] еэ !э', е! Г!е! ее = 1 я!э! ( ] еэ !» е)э !э', е) ле)лэ. (!ее~э! — 1 -! — ! Воспользовавшись (10.42), получим ! ~ РЧ (Ч', р) 1 (р) е(р = ~ А (Ч) У (Ч) 6 (Ч вЂ” Ч') е(Ч. (1О 51в) Выполняя интегрирование в правой части и переставляя Ч и т1' в конечном выражении, получаем непрерывный коэффициент А(Ч) в виде 1 А(Ч) = У(„) ~ РЧ (Ч, р) !'(Р) е(р, (10.52а) -! где У(Ч) определяется выражениями (10.43) У(Ч)=Ч[л (Ч)+( ] ), ) (Ч) = 1 — еоЧ Агс(й т1.
(10.526) (10.52в) Порядок интегрированна в правой части (10.51а) существен, поскольку непрерывная собственная функция !р(9, р) имеет особенность. Однако с помощью формулы Пуанкаре — Бертрана было показано [2], что порядок интегрирования может быть изменеи; в этом случае (10,51а) принимает вид Глаза 10 400 нли (10.58) после чего получим б! Разложение в половинном диапазоне.
Рассмотрим функцию 1((А), определениу(о в положительной половине диапазона изменения р и представленную в виде разложения по собственным функциям [см. (10.22а)]: Г(!г) = А(т! ) 0)(т!т !А) + ~ А(т!) 0)(т! !А) с(пе (А ~ (О, 1), со (1, (10.53) о где А(т!о) и А(т!) — неизвестные коэффициенты разложения. Для ' определения дискретного коэффициента А(т!о) преобразуем обе часп! равенства (10.53) с помощью оператора ! Чт(!А)(р(т!), р) о!!А и воспользуемся условием ортогональиости о (10.27) для половины диапазона, после чего получим А(т!о) =, ( ~ Чт((т)(р(т!ь р) !(р) о!!А, (10.54а) о где интеграл нормировки равен (см.
(10.45)] ! )т (т!о) ~ 1(» (1т) Ф (т!з' (А) ст1я ( 2 ) Х(т)з). (10.545) о Для определения непрерывного коэффициента А(т!) преобразуем обе части равенства (10.53) с помощью оператора ! Чт(!А) (!)(т!', р) о!!А, используя условие ортогоиальности (10.27) о для половины диапазона, после чего получим ! ! Г' ()((») ч(»', »)((») А» — ] е(»)ч(»'. »)[] ((»)»(». »)А»]А». о о о (10.55а) Как показано в работе (6], порядок интегрирования в правой части этого равенства можно изменить, после этого (10.55а) можно переписать в виде ! Г' ] е(»)ч(»', »)((»)А» = ] А(»)[( е(»)»(», »)ч(»', »)А»] А».
о о о (!0.555) Решение ураенения переноса излучения методом Кейса 401 Используя выражение (10.46), получаем ! ! ~ Чт(р) 0) (т!', (А) Г(р) о!!А = ~ А(т!) Чт(т!) " 5(т! — т!') о!т!. (10 55в) Выполнив интегрирование в правой части и поменяв местами т! и т!' в окончательном выражении, получаем ! А(т!) =,(, ~ Чт(р) (!)(т1, р) Г(р) Ф (10.56а) о А(т!) = й(аь П ~ йт((т) р(т! !А)1()т) с((т (1О 56б) о где йт(т!), ()г(т!) и й)(со, т!) были определены выше. в) Случай вырождения. Дискретные собственные функции вырождаются при со = 1. Рассмотрим произвольную функцию Г (р), определенную в половине диапазона изменения (А (О (~ (А Я1); ее можно представить в виде ! Г'(!А) А — + ~ А(т!) (р(т1, (А) о!т1, р ~ (О, 1).
(10.57) о Дискретный коэффициент А определяется, если преобразовать ! обе части равенства (10.57) с помощью оператора ~ у(р) о!!А, о ! ! учитывая при этом, что ~ у(р)о!!А =1 и ~ У(14)(р(т! (А)о((4 =0 о о (см. (10.37) и (10.87)]. Получаем ! " —, = ~ у (р) 1(р) (р о Для определения непрерывного коэффициента А(т!) преобра! зуем обе части (10,57) с помощью оператора ~ у(14)(р(т!', (А) о!!А, о ! ! Г! ] Ч(»)»(»', ») ((») А» -'] Ч(»)»(»', ») [] А(»)»(», ») А»] А». о о о (10.59а) Глава !О 402 (10.61а) (10.616) 1 !еЧ~ (Ч !!) Ч~ (~ Чо, р) с!!! = О, — 1 ! 1 И (Ч р)Ч( — Ч, р)(9=0 — ! (10.62а) (10,625) (10,63 а) (10.635) (10.64а) (10.645) (10.65а) 1 РР'(~ЧО, Р)(Р— = ~ У(Ч,), — ! (10.60а) (10.655) где так как ! 3/ н 1 У (Ч ) = — отЧз 2 '1Ч~ — ! Ч") (10.605) Изменение порядка интегрирования дает ! Г! ]т!н!ч!ч, е!!!н!еч — )л(ч![)т!ч!чи', е!ч!ч.
ч!е„]ее. о о о (10.595) Интеграл в скобках определяется выражением (10.47а), после чего получаем ! ! ~ у(!!)Ч!(Ч' !!)1(!!) с( = ] А(Ч) у(Ч) — „б(Ч вЂ” Ч')с!Ч (10.59в) о о Выполнив интегрирование в правой части и поменяв в результирующем выражении местами Ч и Ч', получаем непрерывный коэффициент в виде А(Ч) Ч ~ у (!е) !р(т1, !!) ((!!) с(!е, (10.59г) о где У(Ч) определяется выражением (1047б).
10.6. СВОДКА ИНТЕГРАЛОВ, СОДЕРЖАЩИХ СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ При решении задач теплообмена излучением с помощью метода разложения по собственным функциям приходится интегрировать в полном и половинном диапазонах изменения р различные функции нормальных мод Ниже приведены различные интегралы нормировки, соотношения ортогоиальности и некоторые полезные интегралы, содержащие собственные функции для случая изотропного рассеяния. Выводы приведенных выражений и более полные таблицы можно найти в оригинальных публикациях (1, 2, 6, 25] а) Полный диапазон изменения р ( — 1((!4(1). Интегралы нормировки для дискретных собственных функций имеют вид Ре!иение уравнения переноса излучения методол! Кейса 403 а для непрерывных собственных функций $ р!Р(Ч, !!)~Р(Ч', р)с(!4= У(Ч)й(Ч вЂ” Ч'), -! где У(Ч)=Ч](! — отЧАгсйЧ)'+( 2 ) ]=,(, Ч), от~! Соотношения ортогональиосги имеют вид К числу других полезных интегралов при со (1 следует отнести (25] ') 1 Ф Чо, р)с( = ЧО(1 — со), — ! ! ~ !!'~ (~ Ч,, р) с(!! = Ч, '(1 — со) — 1 ! ~ И (Ч, р) (р = Ч (1 — ы), — ! ! ~ р'Ч!(Ч, !!)с( =Ч'(1 — со) — ! При оз =! соотношения (10 63) упрощаются: ! 1 р (9=0, — ! ! 2 3' — ! ! .
! 1!и! Ч ч~ Чо !ет 2 и !!!и Ч (1 со) 3 и.+1 и+! 404 Глава !О Решение уравнения переноса излучения методом Кейса 405 (! 0.66а) (10.66б) где Лг(ЧО) — ( ) Х(Ч,), 03 (1, 3У (!3) =(Чо — 9)У(13), в ( 1, а для непрерывных собственных функций 1 ~ ис (!3)43(Ч !3)43(Ч 1с) сс!3= ис (1с) б(Ч Ч) о Ч Ое Ч Че 1 (10.68а) (! О. 68б) (! 0.69а) где — — =(1 — вЧАгс!13Ч)'+(~"ч ) = ' в(! П 2 l у(со Ч)' Ниже приводятся другие полезные соотношения для когда в (1 н 0<Ч, Ч'<11 1 ~ Ю' (!3) 1р (Чо !3) 1р (Ч !3) с!9 = О, о 1 1 ис (9) 43( Ч3 !3)43 (Ч !3) с!13 =вЧЧ3Х( Чо) 43( Ч1 Ч) о 1 1 й!' (!3) ч (Ф ч, !3) ср (ч,, 13) с!13 = ( ",ч' ) Х (~ чо), 1 ш (13)03( Ч 13)43(Ч» 13) сс!3 = 4 ' ЧЧЗХ( Ч) 1 о 1 2 ! (13+ о (10.69б) случая, (10.70) (10.7! ) (10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
