Оцисик М.Н. - Сложный теплообмен (1074339), страница 63
Текст из файла (страница 63)
а) Полубескоиечиое пространство, иа которое извне падает изотропиое излучение. Рассмотрим случай, когда на полубесконечную среду, находяшуюся при постоянной температуре То, через прозрачную границу т = 0 извне падает изотропное излучение интенсивностью !о. Математическая постановка задачи имеет внд Глава (О 4(4 Решение уравнения переноса излучения методом Кенси 415 Непрерывный коэффициент А())) с учетом формулы (!0.78) принимает вид ! А( )= "'"""' Н(ю)ю(Ч .)А.= — "" — "'-'-"» (чч ччо) )) = 2)ТА (ч) о Зная коэффициенты разложения, с помощью соотношений (! 0.1!6), (10.99) и (! 0.100) можно определить интенсивность излучения 1(т, »»), пространственную плотность падающего излучения 6(т, »») и плотность потока результирующего излучения ()ч(т) в среде. Например, плотность потока результирующего излучения равна ! в чу(в ) (1'(т)=2я(1 — в)1(0) — е чгч + — "( " '" е ™с(т) вХ (Чю) 2 Э У' (Ч) о (!0.120) Угловое распределение интенсивности выходящего излучения на границе можно определить из выражений (!О.!О!) или (10.1!Об); здесь приводится результат, полученный из последнего выражения, как более простой ! ) ! (ю, А) = ч(ю, А) — (',", [„„1 ч (А) Аю А 1-ч (" » Ач~ .
о о (10. 121а) Воспользовавшись соотношениями (10.37) и (1О 33), получаем !А(0, 1») =!р(0, (») — Х +~(0), 1» < О, (10.!2!б) или ьт4 ~ 1,(О, п)=1,— (ч,— п)ХО») 'х и 1' \,1о 1 (» < О, (!О.!21в) б) Полубесконечное пространство, на которое извне падает пучок параллельных лучей. Рассмотрим теплообмен излучением в полупространстве с постоянной температурой То и прозрачной границей т = О. Среда облучается потоком параллельных лучей, наклонно пада(ощнх на границу т = 0 под углом О = Агссоз ро к положительному направлению оси т. Математическая запись задачи имеет внд д((т, П) ЬТА в дт + ('() ( ) + 2 — ! при Оя" т < оо, — ! ((»~1, в <! (10.!22) с граничными условиями !(О, »») =!об(»» (»о)»» ) 0 (!0.123) При т-)-оо решение стремится к частному решению 1р(т, »») уравнения переноса излучения.
Полное решение задачи запишется как ьт! 1(т, (») = А())о)р())о (») е Рь+ ~ А()))(р()), (») е-"чс(т)+ — '. о (10. 124) Коэффициенты разложения А())о) и А())) легко определяются по формулам (10.97) и (10.98) соответственно с учетом того, что оТ ~(0, »») = — !об((» (»о) —, (» ) О. (1О!25) Получаем ! 4(Чо) = — ( — „„,) х(„) ~ (Р'((»)(р(Чо, )»)[!об((» — (»о) — — ~4» = о 2 ь".1 1оу (»»о) + и д(,ч) ! Г ьт,'1 А ())) = (к („) ~ (Р'((») (р (ть (») [!об ( — (»о) — — ~ с( о а(в ч) вч ьт",1 (Р'(9 ) Ч (ть р ) 1 — — „. =-;„[ (10.127) Зная коэффициенты разложения, по формулам (10.!24), (!0.99) и (10.100) можно определить интенсивность излучения !(т, )»), пространственную плотность пада)още(о излучения 6(т) и плотность потока результирующего излучения ()ч(т): ! оТо 1('с (»)=А(Ъ)(р(Ч (»)е ""+ ~А(Ч)(р(ть (»)е ™с(т)+ — „', о (10.128) ! 2дто 1 в()=2 [А(ъ) 'ч .(-1А(ч) ' Ач (- — „), (чю)юю) о ! А'()=ч" Π— )[А(ъ)че ч А(А(ч)ч ""Ач~.
(!А!ею) о Решение уравнения переноса излучения метода»1 Кейса 4!1 Глава !О 4!6 В частности, точное выражение для интенсивности излучения имеет вид 2 Г дТо 1 7(т, ц)= „,1 — у,у(р)+ —,'1р(оо, ц)е-'"+ 1 Г д14 Т +~ „,1'„, [91(цо)р(тн но)70 — — 2' —,'1'Р(! М' '""ч+ —,. о (!о 13!) Для многих практических приложений представляет интерес угловое распределение интенсивности выходящего излучения на границе.
Его можно определить из (!0.131), приняв т = 0 и Г» ( О. Отметим, что в этом случае интеграл в выражении (10.131) несингулярный. 108. ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ ДЛЯ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ИЗОТРОПНО РАССЕИВАЮЩЕИ СРЕДЫ Рассмотрим уравнение переноса излучения для плоскопарал. лельной среды при наличии осевой симметрии, записанное в виде 1 д1(т, Г») в Г» +1(т, Г») = Н (т) + — ~ 1(т, Г»')с(Г»'. (10.132) — ! Практический интерес представляют три частных случая, вытекающих из этого уравнения.
!. Н(т) =(! — в)[лздТ4(т)]я] прн 0 < в < ! — случай погло щаюшей, излучающей и изотропно рассеивающей среды. 2. Н(т) = 0 при в = ! — случай чисто рассеивающей среды или серой среды, находящейся в состоянии радиационного равновесия [см. (8.!36)]. 3. Н(т) = д(т)14яас при в = ! — случай поглошающей и нзлуча!ошей среды с внутренними источниками энергии [см. (8.203а) ]. Решение уравнения (!0.132) часто ищут в виде суммы частного решения Гр(т, р) (т. е. решения, удовлетворяющего исходному неоднородному уравнению, но не обязательно удовлетворяющего его граничным условиям) и решения однородного уравнения ф(т, Г»), т. е.
(( ц)=р(т, ц)+! ( 9), ((о.(зз) -1 Несколько частных решений неоднородного уравнения (1О.!32) было получено в работах [25 — 28]. В табл. 10.6 приведены частные решения уравнения (10.!32) для некоторых видов свободного члена Н(т) при 0 ( в < !. Для иллюстрации метода получения решений, приведенных в табл.
10.6, рассмотрим, как получить частное решение уравнения (!0.132) для свободного члена вида Н(т)=е пч, ~»1~)1 при 0<в< !. (10.!35) Будем искать частное решение в виде 1р (т, Г») = Е (тн Г») е ™, (10.136) где Е(»1, р) — неизвестная функция Подстановка выражении (!0.135) и (1О.!36) в уравнение (!О.!32) дает 1 ûР(»! Г») ( — — ) е яч + Е (!! Г») е — »Гч = е чч 1 — е ч'ч ~ Р (ть Г»') с(Г»к или [ ! — — ') Е(гь ц),=1+ — ", ~ Р(ц, 1, ) (р. — 1 (1О.
137) Это уравнение можно записать в виде Р(»! Г») = " [1 + — К (11)], (1О. !38а) где мы ввели обозначение ! К(»1) — ~ г(»! Г»)с(Г» ° (1О. !38б) — 1 Преобразуя обе части равенства (!0.138а) с помощью опера- 1 тора ~ с(Г», получим — 1 К(ч)=[!+ — ", КМ)]ч 1 — „', (' — 1 При ~ »! ~ ) ! интеграл в правой части можно найти 'о) К (»1) = [! + — К (»1)]»! [ 2 Агс(1» — ) . (!О.!39) (1О. ! 40а) 14 зак, 10б ! где ф(т, Г») — решение однородного уравнения 1 ,,;" +Ф(т, ц) = —, ~ Ф(т, ц') 4»'. (10.134) '!1- ас з Ю '!1- Ьс з С0 э з Ф с о о с Р 0 о 3(! к с 11 э ! + со 1 со + с.
1 з Р о ъ 00 + 00 1 Т з + + с 00 7 с О с о У с Р 1 Ъ о Р О с Р О Р со Р Сс с с с Р Р С С Р Р Р Р Р о с 00 Р О с о Р Р о с с о Р о, РО с к с с со Р с ОР Р Р с с о Р с д Р Я 0 сс о О с с с 0 Р с Р. з з + 3 со 1сс '!!. з з + М Р со 1сс + з !СО + СО !СО сс! 0 з 30 + !СО со )„ + + 1 00! 0 + !о 001сс + Л з ! .с 1 о з )3 1 Р1Г с + о Р + Т Ьс с' з 1 с ! о + Ос э сс ! 3 0 Т )3 о о 0 "о Р с Р ! Й кИ. .(! 11 Глава )0 420 (10.
140б) Р ч 1 (Ч' ) Ч вЂ” р 1 — щи Асс!й(1/Ч) (10.141) (2) ! по[ чо г йр (ъ) = — ~ — 1 1 ().— и — ! ПРИМЕЧАНИЯ вЂ” го чп ~ (х й]а. 4 ) Ч-Р Ч'-Р— ! (2) 07 (]а) (Чс + Р) т (Р). Разрешая последнее выражение относительно К(ч), получаем ОЧ Агс()! (1)Ч) К(ч) =, Подстановка К(Ч) в уравнение (10.138а) дает В свою очередь подстановка (10.141) в (10.136) дает частное решение уравнения (10.132) для свободного члена вида е — Пп г' (т, ]ь) = 1 т! — р 1 — юп Агс1Ь (1!Ч) е "" при 0<о<1, [Ч[)1, (1О. 142) которое приведено в табл.
10.6. Правильность частных решений, приведенных в табл. 10.6, может быть проверена прямой их под- становкой в уравнение (10.132). ') Случай ю ) 1 представляет интерес длн некоторых задач теории ядерных реакторов. ') Интеграл от функции [(х) в смысле главного значения Коши в интервале от х = а до х =Ь, внутри которого в некоторой точке х = с функция [(х) обращается в бесконечность, определнетсн следующим образом: а гг-е а [г!(*И*-~ [ [ !(*И*!- [!!*!~*~. а~о а а а+в если только такой предел существует.
Например, в интеграле ~(йх/х) подын- -! тегральнаи функции 1/х обращается в бесконечность прн х = О. В этом случае интеграл в смысле главного значения Коши равен х у-е з [Р— О [ [ —.!.[ ) ~ 2. Следовательно, предел существует. а) Обзор соответствующих достаточно гладких функций дан в приложении 0 работы [2].
') В случае когда рассматривается отрицательная половина диапазона р (т. е. †! < р < 0), весовая функции может быть задана в виде Решение уравнении переноса излученил методом Кейса 421 а) Иглеграл нормировки )У(цз) можао представить в виде ! ! К(па)= ~ рфз(ц,р)й =~ ") ), йр= 2 ) л (Ч,— р)' — ! — 1 =( — )' 1,.', (,.". — )"- — ! Из условия нормировки (106) имеем ! — ! Подставляя (2) в (1), получаем окончательный результат а) Вычисление интеграла в выражении (10.42) требует некоторых пояснений. Непрерывные собственныс функции, фигурирующие в этом уравнении, равны [см уравнение (1О 16)] юй Р ф(йр)= — — +А6)ОЯ вЂ” р) йй и "' и' ( — 1 ') (1) 2 з — р Подстановка этих собственных функций в (10.42) после соответствующих пе. ремножений приводит к появлению четырех членов.
Интегралы, фигурирующие в трех из этих членов, рассчитать легко. Однако четвертый член содержит интеграл вида ! Этот интеграл может быль взят с помощью формулы Пуанкаре — Бертрана, приведенной Мусхелншвили [21]: [[, !!й~, ег „,~„ =')Рйц' ')Р ', йр+пзу(Ч Ч) 1(ч' р) (ч р) !ч — р) ~ Р[(ч ° р) [, „ „ „ ) йр + и 1(ч и) (О) С 422 Глаза 10 где (Чо ср ц) Ф (Ш Чо )с) = ыцо 2 Н„= ~ р"Н (р) йр, о (2б) получаем л+! л+! Чо Чо ц Чо ц где (2) Г ыцо Г йц 2 Чо ц о (4) что совпадает с (10.63а). (4) Подсуановка (3) в (4) дает ц сР( Чо )с) й)с = Чо(1 ") (5) что соцпйдвет с формулой (10.636), Мнемоническая форма записи формулы (3) в!ожет быть представлена следую. шим образом: Р Р 1 г Р Р Ч вЂ” Р Ч'-Р Ч-Ч' 'чЧ'-Р Ч-Цт' После вычисления всех интегралов, входящих в состав выражения (10.42), по.
лучаем правую часть, содержащую множитель Н(Ч), определяемый формулой (10.43) . ') Интеграл в (10.46а) берется с помощью формулы Пуанкаре — Бертрана (21], приведенной в примечании 6. ') Соотношения (10.63) могут быть получены, например, следу!ощим образом. Рассмотрим дискретные собственные функции, записанные в виде ! а) Преобразуя обе части равенства (1) с помощью оператора ~ й)с, -! Чо 1 Ф(ск Чо, )с) АЦ Т 1 Цсо('— .Чо, Ц) АЦ=ВЧО ! С учетом условии нормировки ~ ср(~ Ч,, ц) йц =1 соотношение (2) прини— ! мает вид ! ЦФ(й Чо ]с) с(Ц Й Чо (1 ю) (3) — ! ! б) Преобразуя обе части равенства (1) с помощью оператора ~ цс(]с, — ! получим Чо ~ цф( — Ч,]с)йц~ ~ ц'ф('— 'Ч ц)йц=б.
— ! — ! Решение уравнения переноса излучения методом Кейса 423 ') Определение величины ус"! может быть получено из соотношений (1081) и (10.29а) в виде ! усл! со '1 л.с- сН ( ) йц 2 ч)1 со ц )с Чо Ц (1) Это же выражение можно использовать для расчета усл!. Однако при малых ы могут возникнуть трудности в вычислениях, связанные с тем, что Ч, -!-1 при ы -е О. Для устранения этих трудностей выражение (1) записывается в ином виде (23] л у Чо ч)1 — о! (ЧоНо+Чо 'Н, + ... +Н„'), (2а) а [ц) — функция Чандрасскара для изотропного рассеяния. Для получения Н (2) использовано следующее соотношение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
