Оцисик М.Н. - Сложный теплообмен (1074339), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Границы т = 0 и т = то поддерживаются при температурах Т) и Т2 и имеют степени черноты е) и ее и диффузные отражательные способности р'„' и р", соответственно. На фиг. 11 1 представлена геометрия рассматриваемой задачи и соответствующая система координат. Найдем распределение температуры и плотность потока РезультиРующего излучения в среде. Ой Фиг, 11,1, Плоский слой поглощщощеи и излучающей среды в условиик раа))ацнонного равновесна. Формальное решение этой задачи было рассмотрено в гл. 8; распределение температуры Т(т) характеризуется универсальной функцией 0(т), которая вводится соотношением [см.
(8.131)]: и ог (х) — в1 (хо) п1+ (О) — п1 (се) (11.3) функция 0(т) удовлетворяет следующему интегральному урав- нению [см, (8.132)]: е) )= —,'[е) )ч[ 4) ')а)),—;))4 ']. о)4) о Плотность потока результирующего излучения 41' в среде харак- теризуется величиной [см. (8 134)]: (11.5) п1 (О) — п1 (х,) =Я, Уравнение переноса излучения и граничные условия записываются следующим образом [см (8.126), (8125б) и (8.125в)].
)2 '~ +1(т, р)= „при 0(~т(~то, — 1()л(~1, (11.1) 26 1 7 (0) = е, + 2ра ~ Г (О, — )2'))2'41)2', )2) О, (11.2а) о 2- 1 7 (то] = в, „' + 2р" ,~ 7 (т„, )2'))л'41(л'4 )2 < О. (11.2б) о 429 Глава !! 428 1,О где безразмерная плотность теплового потока (;) связана с функ- цией 0(т) соотношением (;) = 1 — 2 ~ 0(т') Е,(т')е]т'. (1 1.6) о Интегральное уравнение (114) было решено в работе [5] методом последовательных приближений, а также в работе [9] с помощью метода неопределенных множителей. В работе [15] показано, что функция 0(т), характеризующая распределение температуры, и безразтгерная плотность теплового потока 1;) могут быть точно рассчитаны с помощью метода Чаидрасекара [1] и затабулированных им функций Х и У.
На фиг. 11.2 приведена зависимость 0(т) от т)то для нескольких значений оптической толщины слоя то. В табл. 11.1 приведены численные значения (;) при различных оптических толщииах; при то ) 3,0 (,) можно рассчитывать сравнительно точно по асимптотической формуле, приведенной в сноске к таблице. 0,8 О,б б(г) О,и 0,2 Таблица !!. ! численные значения параметра 43 при различных оптических голосинах слоя [15] ') о о О,б 0,8 1,О 02 04 г то Фиг, 11.2, Функцая 0 (т) [15]. (11.9а) а пря т, и 1 0=9 Гт.~.тз), гле т=1,24089. Для нахождения Т(т) и 0г из выражений (11.3) и (11.5) помимо функций 0(т) и Я необходимо знать интенсивности излучения 7ч(0) и ! (тв) иа границах.
Для черных границ эти интенсивности известны: ) ""1 и 7-(т) "'Т (11.10а) (11.10б) (11.7) 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,8 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 0,9157 0,8491 0,7934 0,7458 0,7040 0,6672 0,6046 0,5532 0,4572 0,3900 0,3401 0,3016 Теллообмен излучением в непрозрпннык средак Однако для диффузно отражающих границ величины Тч(0) и У (то) определяются ие столь просто. Ниже будет описан метод их расчега. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 44(0) И ! — (те) Граничные условия (11.2) можно выразить через плотности противоположно направленных потоков с]+ (0) = е,илбТ4 + ['1 — 8,) 0 (0), 0 что) = блп ОТ2 + х1 — вз)47 'хто), где 4]-(0) и 0+ (то) определяются в виде [(см. (8.80)] 1 0 (0)=2П ~ ! (О, — [4')[4'4[[4', и'=о 1 4]ч (т„) = 2зс ~ 7+ (то, [4') [4' 4[[4' и'=о н соответственно 47+(0) и д (то) в виде 0 ' (0) = я!+ (0), 0 ('гп) = и! (то) 431 Тсвлообмен излучением в непрозрачных средах 430 Глава !! Поскольку предпола! алось, что справедлив закон Кирхгофа, от- ражательная способность выражена через степень черноты Плотность потока результирующего излучения на границах можно связать с плотностью противоположно направленных по- токов соотношениями [см (8 70)] с)'(0) =- с)' (0) — с)- (0), (11.1 1а) с) (то) = с) (то) с) (то) (11 116) В условиях радиационного равновесия плотность потока резуль- тирующего излучения с)с всюду постоянна, следовазельно, с)'= с)'(0) = с)'(то) (11.
12) Вместо с)с(0) в (1111а) подставим с)с и исключим с) (О) с по мощью выражения (118а) Аналогично вместо с)" (та) в (11 116) подставим с)" и исключим сть(те) с помощью выражения (11 86). Тогда (11 11а) и (11 116) принимают соответственно внд с) ' (О) = иедТ' — ( — — 1) с)с, 1 (11.1За) д — (» ) — иедТ4 + ( 1) дс ! (11.136) Соогношеиия (1110) н (1113) позволяют определить интен- сивности излучения на границах 7 (та) и [тм(0) — 7 — (та)], входя- щие в (11 3) и (11 5) соответственно В результате получим иГ (те) = и'дТ2+ [ — — 1) с)', (11Д4а) и7+ (0) — иГ (те) = и д(Т4! — Те) — ( — + — — 2) с)'. (11.146) Для расчета по (1114) интенсивностей на границах необходимо знать плотность потока результирующего излучения с)с ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ ч Выразим теперь в явном виде плотность потока результирующего излучения с)с через температуры граничных поверхностей, степени черноты и безразмерную плотность теплового потока О.
Подставляя (11 146) в (11 5) и решая полученное уравнение относительно с)с, находим с)с = и'д (Т4 — Т,"~~, (11.15) где безразмерная плотность теплового потока Я при заданной оптической толщине слоя т, определяется по табл 11 1 Зная дц с помощью (1114) можно рассчитать интенсивности излучения на границах 1 — [те) н 7+(0) ВЫРАЖЕНИЕ ЙЛЯ Т(т) С помощью (11 3) можно получить в явном виде выражение для распределения температуры Т(т) в среде, есчи подставить в (11 3) выражения (1114а) и (115) для интенсивностей и7-(то) и [и! (0) — и!т(тю)] В результате получим и оТ (т) — (и аТ24+ [(1(ее) — 1] Ч~] — 9() или иед [Т'(т) — ТД вЂ” [9 (т) + ( — — 1) О]. (11.18) Подставляя выражение (11 15) для с)сЯ в (1118), найдем распределение температуры в слое в виде т'(т) — т, 'В (т) + [(1722) — 1]() Т! — Т2 1 + [(1/е!) + (1/е2) — 2] О Для черных границ выражение (11 19) упрощается т (т) Те = 0 (т) при е, = е, = 1.
(11,20) (11.19) В соответствии с формулой (1120), 0(т) представляет собой распределение безразмернои температуры в условиях радиационного равновесия в поглощающем н излучающем слое, заключенном че2кду двумя черными граничными поверхностями Обращаясь к фиг 112, заметим, что существует разрыв (т е скачок) между температ)рой стенки и температурон среды в непосредственной близости к стенке при всех значениях та за исключением предельного случая то - оо Причина такого раз рыва температуры рассматривалась в гл 9 Для черных границ выражение (11 15) упрощается.
с)с = и'д (Т4 — Т4) О при е, = е, = 1. (11.16) Для прозрачной среды то = О, и = 1, а О = 1 [см (11 6)], тогда (11 15) принимает вид (1!е,) + (1/ее) — 1 ' (11.17) Полученное выражение обычно приводится в книгах по теплообмену как формула для плотности потока результирующего излучения между двумя параллельными бесконечными, днффузно излучающими и диффузно отражающими поверхностями, разде ленными прозрачной средой Глава 11 433 <,г 1,0 о,в В (21 о,б СЕРАЯ СРЕДА 0 о ог 04 Об Ов 10 т 'Ео Фиг. 11.3. Функции О,(<) [15). дб' (т) а (11.21) (11.25) <)' (т) = 224 ~ 7 (т, 14) 14 е(14, — 1 (11.22) д1(т, 14) + дТ' (т) дт и с граничными условиями и от< 2- 4 7(т Р)~х-о= — „, 14) О, (11.24а) (11.24б) 7(т, р)~, „= '„', р<0. 11.2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЪ| И ПЛОТНОСТЪ ПОТОКА ИЗЛУЧЕНИЯ В ПЛОСКОМ СЛОЕ С РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННЪ|МИ ВНУТРЕННИМИ ИСТОЧНИКАМИ ЭНЕРГИИ В настоящем разделе будет рассмотрен перенос излучения в поглощающей и излучающей среде, содержащей равномерно распределенные внутренние источники энергии и заключенной между двумя параллельными черными граничными поверхностями т = 0 и т = то, которые поддерживаются при температурах Т< и Тг соответственно Будет определено распределение температуры и плотность потока результирующего излучения как для серой, так и для несерой среды.
Ниже будут лишь приведены основные уравнения и рассмотрено полученное решение, поскольку постановка этой задачи и ее формальное решение представлены в равд. 8 11. Уравнение сохранения энергии имеет вид [см. (8.18б)] где 4< — плотность потока объемного излучения внутренних источников энергии, которая предполагается постоянной. Плотность потока результиру<ощего излучения <1<(т) связана с интенсивностью излучения 7(т, р) следующим образом: а интенсивность излучения удовлетворяет уравнению переноса излучения при 0<т<т,, — 1<14<1 (11.23) Теплообмен излучением в непрозра<нь<х предал Распределение температуры в среде Т(т) связано с универсальными функциями 0(т) и Об(т) соотношением [см. (8.180)] тп (т) — т,' б< 1 2 и (т< — тг~ где функции 0(т) и Об(т) представляют собой решения сингулярных интегральных уравнений (8 181) и (8.182) соответственно.
На фиг. 11.2 и 113 представлены зависимости 0(т) и Ов(т) от т1то для нескольких значений оптической толщины то. Плотность потока результнру<ощего излучения <)" (т) в среде можно представить в виде [см. (8.184)] 4, — — Я (т) + 2 г 4 44 (~б(т), (11.20) где фУнкции (к(т) и (кл(т) опРеделЯютсЯ выРажениЯми (8 185) и (8.186) соответственно Во многих практических приложениях представляет интерес плотность потока результирующего излучения на границах; для т — 0 выражение (11.20) принимает вид 2- г 4 14 =(„1(0) 4 г — г 4 14 (2б(0), (11.27) Глава !! 434 Теилообмен излучением в ненрозрачнык средак 488 Таблица 7!.2 Численные значении оо, 1/4 Ро и~ + Р! и Ро (~~ + Р~) 1181 Ро(ач + Рч) ит + Ре 1/4Ро ио 'о с/'(т,) = с/'(О) + — т,. (11.30) — (У+;) /3 2/ч/3 2 —— У+'о 2089 2 ч/3 4/3 У + 'о тол) 1 оде у 14 а„(то) — = ~ Х(и то)и" Ф~ о 1 Рл(то) = ~ л 1И то) И Ф о НЕСЕРАЯ СРЕДА Для исследования влияния селективиых свойств среды на перенос тепла излучением в плоском слое с распределенными внутренними источниками Кросби и Висканта [17, 19] использовали модель двух полос и модель узкой полосы.
Ниже будет рассмотрена модель двух полос Для простоты предполагается, что границы слоя т = О и т = т„черные и поддерживаются соответственно при температурах Т, и Те. При равномерно распределенных внутренних источниках и независящем от температуры кч распределение температуры в среде для модели двух полос записывается в виде [см (8.188) ] ' =0(т)+ „( ~ 8 Ое(т) (11.34) где, как уже было определено выше [см. (8 154)], (11.31а) (11.31б) по фор- (11,32а) (11.32б) (11.ЗЗа) (11.ЗЗб) 1(т) — = ~ а,1, [Т ( )] с/ч, (11.35а) ч о — ~ ач/чь(Т!) с/ч, ! = 1 или 2. ч-о (11.35б) где (;)(О) и (;)е(0) получаются из выражений (8,185) и (8,188) соответственно при т = О, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
