Оцисик М.Н. - Сложный теплообмен (1074339), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Х а!р(Т(т„1ь!), р; еп (О, 1), (11.76б) где ь = 1, 2, ..., )"((. Уравнения (11.75) с граничными условиями (1!.76) представля(от собой систему 2Л) обыкновенных дифференциальных уравнений с 2(() неизвестнымн: Т(т, рн) и Т(т, — рц) (! = = 1, 2, ..., )((). После того как эта система решена и определены интенсивности, можно рассчитать плотность потока результирующего излучении д" (т): ! ! ! ч ( ) — е' ] ) (', ч) ч ч ч - е [] ) (, ч) ч еч — ] ((, — ч) ч еч ~= — ! о о =2я~ а!р([Т(т, рт) — Т(т, — р,)], (11.77) Тогда плотность потока результирующего излучения на границе т = 0 равна ()'(0) = 2п ~ а!1ь! [Т(0, р!) — Т(0, — р;)].
(11,78) ! ! ( ! (о) Ть [Т (т)], (11.79 а) 1 ат(т, — „,) +~ ])гТ(т рт)+~ а„Т(т, — р)= / ! 1=! 1 (! (о) Ть[Т (т)], (11.79б) и! Уравнения (!1.79) представляют собой систему 2(() линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с 2)ч( неизвестными: Т(т, р!) и Т(т, — р,) (! — 1, 2,, ())), которая должна быть решена совместно с 2(() граничными условиями (1176). Предположим, что решение однородной системы уравнений, соответству)ошей системе (11.79), можно записать в виде Т(т, р)=а,(н)енх, Т(т, — р)=д',(н)енч, (11,81) где != 1, 2... (ч' После подстановки этих решений в однородные части уравнений (11 79) мы получим систему 2(() линейчых однородных алгебраических уравнений относительно а,(й) и а((й) с й в качестве параметра.
Допустимые значения й находятся вз условия, что детерминант, составленный из коэффициентов й,(й) и й,(н), МЕТОД РЕШЕНИЯ Уравнения (1!.75) можно записать в виде (!1(т, и,) х-, — ~ а((Т(т, р!) — ~~ ]3„7(т, — р ) = ! ! ! ! где р, еп (О, 1), !'= 1, 2, ..., й( и а(! — = — — а,р(р„р,) — — ' "! 1 (о ]о(! = 2 а(Р(!ь! 1(!) ( ! при !'=], б(1 = (. 0 при !'~]. (11,80а) (11.80б) ( П.80в) 454 Глава !! (11.82а) где с, — 2Ае констант интегрирования, которые должны быть найдены с помощью 2Ае граничных условий.
Для изотермической среды частное решение найти достаточно просто, а для неизотермической среды его можно получить, как это описано в работе [11]. 11.6. СЛОЙ ПОГЛОЩАЮЩЕЙ, ИЗЛУЧАЮЩЕЙ И ИЗОТРОПНО РАССЕИВАЮЩЕЙ СРЕДЫ С ЗАДАННЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ТЕМПЕРАТУРЫ. РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ПРИ от ( 1 В настоящем разделе будет рассмотрено применение метода разложения по собственным функциям для решения уравнения переноса излучения и нахождения углового распределения интенсивности излучения и плотности потока результирующего излучения в плоском слое поглощающей, излучающей, изотропно рассеивающей серой среды с заданным распределением температуры Т(т), заключенной между двумя зеркально отражающими, диффузно излучающими, непрозрачными серыми границами.
Граничные поверхности т = 0 и т = т, имеют постоянные температуры Т1 и Тг, степени черноты з1 и ег и отражательные способности р', и р,' соответственно. Геометрия задачи и система координат аналогичны приведенным на фиг. 11,5. Математически рассматриваемая задача описывается уравнением становится равным нулю, если результирующая система алгебраических однородных уравнений имеет нетривиальное решение.
После того как найдены значения )гт, алгебраические уравнения решаются при каждом значении )г! (1==1, 2, ..., 2Ат) и определяются соответствующие значения де (!г ) и де (!г ) (1=1, 2, ..., Ат). Общее решение системы уравнений (11.79) записывается как линейная сумма общих решений однородных уравнений и частного решения 1р.
1(т, р|) = 2 с!де ()г!) е ! + 1р, ! 1 1(т, — р1) = ~ с де()г ) е !'+ 1р, (11.82б) т-1 Теплаодаен излу1еннем в непразраннмт с едал Р 455 с граничными условиями [см. уравнение '8.100' л рой с е ] ро среды] ( . ) для случая сеаТ1 1(0, р) =е, — '+ р',1(0, — р), р > О, (11.84а) дТ4 1(т, р)=з,— +р1(т р) р<0 нли дТ,' ( ' "! зг а + Рг1(то р) р > О. (11.84б) щем виде: Для удобства перепишем уравнения (11,83) и (11.84' в и .
) в следую- дТ|т, и) дт + ('|) ()+2 -1 при О < т ~ (то, — 1 ~ (р ( 1 (11.85) с граничными условиями 1(0, )л) =а, + Ь11(0, — р), р > О, (11.86а) 1(то — р) =аз+ Ьг1(то р) р > 0 (11.86б) где — аТ4 (т) дТ4 л ' Ьт=р| 1'=1 или 2. (11876) (11.88) где дискретные собственные функции опред л е еляются в виде [см. Общее решение уравнения (11.85) можно п е ст суммы общего ешення представить в виде г решения соответствугощего однородного уравнения и частного решения 1 тт, 'см. (1О 186)] 1(г, р) = А (т|о) 1р (т)о р) е '!"'+ А ( — т)о) 1р ( — т|о, р) е'!"'+ 1 + ~ А(т)) 1р(т|, р) е Ич т)т)+ ~ А( — т|)1р( — т|, р)еттч т)т)+ 1р(т, р), о (11.83) 1 д (~,П) [ 1(, ) (1 от) а + — ~1(т, )л') ттр — 1 ири 0<т(то. 1(р ~~1 4'(~Ъ |') о Ъ 456 Глава // а ненрерывныс собственные функции в виде [см.
(10.18г) и (10.18д) ! |р(Ч, 1г) = — "Ч вЂ” + (1 — вЧ Агс1(г Ч) 6 (Ч вЂ” 14), Ч ее ( — 1, 1). ч — р (11. 896) Здесь Р означает, что интегрирование 17'(Ч вЂ” 14) по Ч или 1г должно производиться в смысле главного значения Коши, а дискретные собственные значения ~чо представляют собой два корня уравнения А (Чо) — = 1 о|Чч агс()т 1 (11.89в) чп Уравнение (11.88) содержит четыре неизвестных коэффициента разложения А(чо), А( — чо), А(ч) и А( — ч), которые должны находиться, исходя из требования, чтобы общее решение (11.88) удовлетворяло граничным условиям (11.86). После того как найдено частное решение Гр(т, 1г) уравнения (11.85) и определены коэффициенты разложения, можно рассчитать угловое распределение интенсивности излучения 7(т, 14) с помощью выражения (11.88), а также пространственную плотность падающего излучения йл(т) и плотность потока результирующего излучения |7" (т) в среде с помощью выражений ! 6(т) = 2п ~ 7(т, 1г) г[1г = — ! ! =2 [л(п ! '~ -|.л( — п | '~'и-[л(п) '<" еп-|- о ! ! <-[л( — и| «е,|- [|,!., и|пи], (||ею| о — ! |7' ( ) = 2п ~ 1г1 (т, р) гй1| = — ! = 2п(1 — в) [А (Ч,) Чое4 цч — А ( — Ч|) Чое""' + ! ! ! и.[и|и|и нгеп — [л( — пипи"епи-~ [|( и|п и].
о о — ! (11. 91) Мы предполагаем, что частное решение уравнения (11 85) для рассматриваемого свободного члена з(т) можно найти (см. табл. 10.6) и, следовательно, Гр(т, 1г) — известная функция, Перейдем теперь к определению коэффициентов разложения. ~еплообмен нзлученаем в непрозрачнь|л орел 457 11.86 Решении (11.88) в граничные условия (11.86а) [ +Ы(0 — )-Г(0 )!+[ЬА(ч)-А( ч)[т( ч р)+ + $ [Ь|А(Ч) — А( — Ч)[ир( — Ч, р) г[Ч = о (11.94а) ( П.946) где — или Ч е= (О, 1). Заметим, что правые части уравнений (11.92) и (11.93 п едв п еделах половины интервала изполноты для половинного инте вала, с о и ли а'.
огласно тео еме менения 1г, аналогичные выражению '10.22 . С Р эти азложе я р . а, сформулированной в гл.10, ти разложения носят достаточно общий ха ак щ редставить произвольную функцию "актер, что"ы с их этих авн ур еиий) определенную в интервале (О 1) 'т. е, левые части щ уравнения коэффициенты разложен ие в эти а 1г е=, .
Входя- лить, используя свойство ортогональн ения можно выдеости со ственных унк ий и описанные ниже различные интегра гралы нормировки. ц ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИСКРЕТНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ А —, п Чтобы определить дискретные коэ ".".ициенты " (Чо и ( — Чо), преобразуем обе части уравнений '11.92' и с помощью оператора ий ( . ) и (1 .93) ! ~ р(ч, р) )р' (р) в|р, о (11.
95 а) = [А (чо) — Ь! А ( — чо)! |р (ч, р) + $ [А (ч) — Ь! А ( — ч)! |р (ч, р) грч, [, + Ьлрр(.о р) — Г,(.в — р))+ 14 > О, (11.921 + [ — е "'"'А(Чо)+ Ьзеч1'А( — Чо)! |р( — Чо, р)+ + $ [ — е-'и'"А (Ч) + Ь,еиигчА( — Ч)! |р( — Ч, 1г) грч = о = [ — Ь,е иигч'А(Чо)+ еиучиА( — Чо)! |р(Чо р) + 1- ~ [ — Ь,е пучА(ч)+е ииг"А( — Ч))|р(Ч, р)грч, р > О. (11.93) Для получения уравнений (11.92) и (11.93) б ыли использованы соотношения взаимности собственнь х ункций: Ф($, — р)=Ф( — $, р), р( — $, — р) = р($, р), 459 Глава 11 458 ~ Ч'(Ч р) )у (11) п11 о (11. 98а) где (11. 98бз 1(т [р) = (Чо 11) т'(112.
е весовая функци )е (р) записывается ви е [см. (10.28)] )Р'(Р) = (Чо Р) У (Р) Тог а уравнения (11.92) и (11.93) примут вид') ~ [а! + Ь17 (О, — и) — 7 (О, и)] !р (Ч„р) )р'(р) а!и+ о 1 чг + [Ь!А(Чо) — А( Чо)1[ 9 вро] Х( т12)+ + ~ [Ь!А(Ч) — А( — Ч)1 4 оо ЧоЧХ( — Ч) с(Ч= 2 = — [А(чо) — Ь,А( — Чо)1 [ 9 вчо ] Х(то), (11.96) 1 ~ [и + Ь27р(то, р) — 7р (т, — р)1!р(Ч, и) )Р'(и) с(р+ о е1 хг +[ — Е-'ИчА(Чо)+ Ьге'Г А( — Чо)1[ —,вЧо) Х( — Чо)+ 1 + ~[ — е- «чА(ч)+Ь~'ичА( — ч)] 4 в'чочХ( — ч)11ч= о 1 = — [ — Ьге "Го'А (Чо) + е™А ( — Чо)] [ — вчо) Х (Чо) (11.97) Теперь с помощью уравнений (11.96) и (11.97) можно найти [А(Ч ) — Ь А( — Чо)] и [ — Ьге ла! чА(Ч,)+е""'А( — Ч,)] соответ- А(Чо) ственно.
ОпРеделение непрерывных кОэФФИпиентОВ Для определения непрерывных коэффициентов преобразуем обе части уравнений (11.92) и (11.93) с помощью оператора Теа.тообмен излучением в ненрозрачнс х средах Используя различные интегралы нормировки 1) и меняя местами Ч и Ч' в результирующих выражениях, получим ~ [а, + Ь!7 (О, — р) — ! (О, р)] !р(Ч, и) Вт (и) а!12 + о + [ ! (Чо) — '1( — Чо)]отЧЧоХ( — Чо)!р( — т1„т1)+ 1 + ~ [Ь!А(Ч') — А( — Ч )1 9 ооЧ(Чо+ Ч ) Х( — Ч')Ч!( — Ч'~ Ч) а!Ч'= о = [А(Ч) — Ь!А ( — Ч)] ™, (11.99) а(я ч) ' 1 ~ [пг+ Ь 7, (т, и) — 7, (т — р)1 р (Ч, и) )р'(и) (и + о +[ — '"А(ч )+Ь' "'"А( — чо)]вчч Х( — чо) р( — ч, ч)+ ! +~[ — - ЧчА(Ч)+Ьге™А( — Ч)1 —,, вЧ(Ч +Ч') Х( — Ч') р( — Ч, Ч) 'Ч'= 1 о =[ — Ь,е — '!чА(Ч) +е''чА( — Ч)] ~(ч) а(в,ч) ' Таким образом, с помощью уравнений (11.99) и (11.100) можно НайтИ [А(Ч) — Ь!А( — Ч)] И [ — Ь2Е-тИЧА(Ч)+ Е™А( — Ч)] СООтВЕтственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
