Оцисик М.Н. - Сложный теплообмен (1074339), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Теперь мы имеем четыре уравнения (11.96), (11.97), (11.99) и (11.100) для определения четырех неизвестных коэффициентов разложения А(Чо), А( — т1о), А(Ч) и А( — Ч). Заметим, что два из них (11 99) и (11.100) представляют собой взаимосвязанные интегральные уравнения Фредгольма относительно непрерывных коэффициентов А(ч) и А( — ч), но два других уравнения не являются интегральными.
Эти четыре уравнения можно записать более компактно в матричном виде м А (ч ) = тл (ч ) + ~ В (ч) А (ч) А; (ч) нч', о м(ч) А(ч) = ~(ч)+ В(чо) А(чо) А,(ч)+ 1 + ~В(Ч')А(Ч')А(Ч' Ч)а!Ч' Чеи(0. 1), (11.102) о 461 Теплообмен излучением в непрозрачнргл вредил Глава И 1е различные матрицы определяются следующии образом: А (Ч) = — А (Ч) — = (11.
103а) Ь е — оечч, е — зеуч. (11. 103б) Ь(Ь,— Š— ' ИЧ)Е-чнч (Ь,Š— Зеиа 1)Евно, Е' ° ) Ь, — 11 е-ччч Ь ечячз ~ ' Ч) ~ е-~ич Ь еч)ч ] ' (11.103г) (ППОзд) (11 104 ) 1 1(чо) — = [ — „,), ~ [а1+ Ь/р(0, — и) Тр(0, р)] Х о Х )р 1)е) р(ЧО )е) ер)г а (т) )= [ ) ~ [аз + Ьл1р (то1 )г) ~р (тв )г)] Х озчо о Х (Р ()г) оР (Чо, )г) е()г, (11.104б) Ч(ч)='(" "' ~[а,+Ь,Т,(0, — Р) — Т,(0, Р)])Р'(ц) Р(Ч, Р)др о (11.104в) 1 т (Ч) = — — [-'- — ~ [аз+ ЬзТр(то, )г) лр(то )е)1](' ()Р) Чз(ч )г)е()г )Р (Ч) о (11.104г) (11. 105 а) Зело, Х ( Чз) Х (Чр) 1 ~~1о ~ д(оз, Ч) [е 1 -]- ~~, ) Агс!)т (Р Р" ) а1)г.
(11.105б) о Здесь ао — экстраполированная конечная точка в задаче Милна, которую можно рассчитать по формуле [21] Коэффициенты в уравнениях (11.101) н (11.102) определяются по формулам ЧХ( Ч) Чок (Ча) К1(ч) = а;-( ) ыЧЧеХ( Чо) 4з( Чо Ч) = я (оз Ч) )Р (Ч) (! — ) Чозй" (оз, Ч) Х( — Ч) Х [ — Чо), (11.1066) К(Ч Ч) у'( ) а (Чо+Ч) ( Ч)чз( Ч Ч') — д(оз, Ч) Х( — Ч) Х( — т)'), (11.106в) Функция д(оз, Ч) описывается следующим уравнением [см. (10.69)]: (1 — озЧ Лгс()т Ч)'+ [ — "), (11.107) а функция Кейса Х( — Ч) связана с функцией Чандрасекара [см.
(10.38б)] соотношением х( — ч)— 1 оз ( 1. (11.108) (1 оз) Н (Чз + Ч) еу (Ч) После того как получено частное решение Тр(т, )е) уравнения (11.85) прн заданном з(т), реша|отся уравнения (11.101) н (11.102) н определяются четыре коэффициента разложения. Зная коэффициенты разложения, с помощью (11.88), (11.90) и (11.91) можно найти интенсивность излучения Т(т, )г), пространственную плотность падающего излучения 0(т) н плотность потсча результирующего излучения д" (т) в любой точке среды. СУПЕРПОЗИЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ РЕШЕНИЙ Описываемая уравнениями (11,83) н (11 84) задача в общем виде содержит много параметров н поэтому вкл|очает много частных случаев. Линейность исходных уравнений иозвбляет получить общее решение путем суперпознцнн элементарных решений.
Этот принцип суперпознцни будет рассмотрен для случая чюстояиной температуры в среде, т.е. Т (т) = Т, = сопя!, (11.109) В этом случае можно показать, что решение Т(т, р) уравнений (11.83) н (11.84) может быть получено суперпознцней функций ]зе(т, )г) (1 = О, 1, 2): Т(т, )г) = дТЯа(т, )г) + дТ',ф,(т, )г) + дТ4ф (т, )е), (11.ПО) Глава 11 468 (11.111а) (11.1116) (11.11 1в) ф,(0, р) = р,ф,(0, — р), Р > О ] = р,ф,(т, р], р > О 1,0 1,0 1,0 0,0 0,0 0,0 1,0 1,0 1,О 0,0 0,0 0,0 де !24('о) 1,0 1,0 1,0 0,0 1,0 0,5 0,5 1,0 0,0 0,0 0,1097 0,2194 0,0 0,0 0,0 0,0 0,4163 0,8326 0,0 0,4437 0,8704 0,0 0,1644 0,3067 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1е функции ф,(т, р) явля!отса решениями трех простых задач: ! +ф (т, )4)= "+ —" ~фо(т,)4')с((4', 0(т(то, дт — 1 дф, (т р) + (,) " ~ 4)4,(т (4') с()4' 0(т(то, (11.112а) дт 2 — ! ' +рф,(0, р), р>0, (11Н(26) 'о +реф (т р) (4 > О, (11.112в) де ! = 1 или 2, а 6„— символ Кронекера.
Тогда выражение для плотности потока результирующего из!учения в среде записывается в виде 4)~(т) = де(Т«о(ео(т) + Той, (т)+ ТЯ (т)], (11.113а) р (т) 244 ~4(4 (т )4))44()4 4=0, 1, 2. (11.113б) -! В большинстве практических приложений представляет ин..е ес плотность потока результирующего излучения на грани- ' Р 1ах. Например, плотность потока результирующего излучения «а границе т = 0 определяется по форчуле с) (0) д [Т«Яо(0) + Т«4Ц (0) + ТЯ (О)]. (11 114) При тщательном рассмотрении задач, описываемых уравнениями (11.111) и (!1.112), оказывается, что для расчета плот«ости потока результирующего излучения необходимо найти функцию фо(т) и любую из функций ф4(т) и фо(т).
Если предварительно определены функции фо(т) и ф4(т), то формула (11,114) для плотности потока результирующего излучения на стенке может быть записана в виде с)'(0) = д [ТЯо(0) + Т4С1! (0) — ТЯ; (т,)], (11.115) гДе фУнкЦиЯ (44(то) полУчаетсЯ пУтем РешениЯ УРавнениЯ, опРеделяющего функцию 4)4! (т, )4), однако в исходном уравнении, Тенлообмен излрчением в непРозРачных сРедах решением которого является функция ф4(т, р), поверхности 1 и 2 меняются радиационными свойствами н решение берется для т = то.
Таблица 11,4 ФУнкции 47о (О), 47! (О) н 42, (то), используемые прн расчете плотности потока результирующего излучения н слое с постоянной температурой и циффузно отражающими границами 1291 — !2о(О) 0,0 1,0 0,3068 0,1736 0 9519 0,7572 1,0000 0,8535 0,5 0,5 0,2371 0,1316 0,8662 0,6510 1,0000 0,8535 1,0 0,0 0,1674 0,091! 0,7806 0,5591 1,0000 0,8535 !2,(о) 0,0 1,0 0,3068 0,1736 0,9519 0,7572 1,0000 0,8535 0,5 0,5 0,6534 0,5753 0,9759 0,8154 1,0000 0,8535 1,0 0,0 1,0000 0,9616 1,0000 0,8658 1,0000 0,8535 В табл. 11.4 приведены численные значения функций 4!о(0), 4 4! (0) и О; (то), входящих в выражение (11.116), для только диффузно отражающих граничных поверхностей при трех различных оптических толщинах и о« = 0 и О,б. 11.7. СЛОИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ВНУТРЕННИМИ ИСТОЧНИКАМИ ЭНЕРГИИ.
РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ Чтобы продечонстрировать применение метода разложения по собственным функциям для случая о« = 1, рассмотрим тепло- обмен излучением в плоском слое серой среды с распределен- Теплообмен излучением в непрозрачных средах 466 Глава !! 464 где сс(т) — плотность потока объемного излучении внутренних источников энергии (т. е. количество выделяемой энергии, отнесенное к единице объема и единице времени); с — оптическая толщина; с!т = [) с(у. Плотность потока результирующего излучении а" (т) связана с интенсивностью излучении 7(т, )с) соотно- шением с)'(т, )с) = 2п ~ 7(с, )с))се()с, -! (11.117) причем длн серой среды интенсивность излучения 7(т, )с) удо- влетворнет уравнению переноса излучении в виде дт (т, ст) + и'аТ' (т) + + — ~ 7(т, !л')с()с' прн 0(~т~(т„— 1 ()с ~(1.
(11.! 18) — ! Для черных границ граничные условии имеют вид и аТ, 7(0 р)= ' =~!, р>О, (11.119) (11.120) пдТ 7( „р)= „' =Р,, р<О. Теперь, использун уравнение сохранения энергии (!1.!16), преобразуем уравнение переноса излучении (11.1!8) к виду, соответствующему от = 1. Преобразуем обе части уравнения (11.118) ! с помощью оператора 2п ~ с!)с, используя соотношении (1!.1!6) — ! и (1!.!17); в результате получим — + — ~ 7(т, )с') с()с'. (11.121) ными внутренними источниками энергии, заключенном между двуми границами т = 0 и т = то, которые поддерживасотсн при температурах Т! и Та. В настонщей задаче необходимо найти распределение температуры и плотность потока результирующего излучении в среде.
Уравнение сохранения энергии имеет вид [см. (8.186)] ~У (") =д(у) и. ~У ( ) = ~( ), (!!АГ6) Ну стт Подставляя (1!.121) в (! 1.118), исключим член, содержащий температуру: )с ' ~ + 7(т, )с) =, + ~ 7(т, )с') с!)с', (11.122) — ! прн 0(т( со, — 1 ()с(1. Граничные условии нметот вид Т (О, )с) = ) !, )с > О, 7 (т„р) = 1,, и < О. (11. 123а) (11.1236) ! + ~ А( — т!)!р( —.т), )с)е™ест)+Та(с, )с), (11.124) о причем предполагается, что частное решение Тр(т, !с) может быть найдено, и оно зависит от характера свободного члена а(т)/4п[4, а непрерывнан собственнан функции записывается в виде [см. (10.18г) и (10.18д) для от = 1] р (т) )с) 2 + ( 1 т) агсуп Ч) 6 (т) )с) т) оБ ( — 1, 1).
(11.125) 3адача сводится теперь к отысканию неизвестных коэффициентов разложения А, В, А(т)) и Л( — т!); это можно сделать при условии, что решение (1!.124) удовлетворнет граничным условиям (11.123), Уравнение (1!.122) теперь имеет тот же внд, что н уравнение переноса излучения при от = 1 и содержит заранее заданный свободный член, обусловленный наличием внутренних источников. Уравнении (11.122), (11.123) были решены с помощью метода разложении по собственным функцинм в работах [25, 29, 30] при различных граничных условиях. После того, как найдено угловое распределение интенсивности излучения 7(т, )с), по формуле (11.121) можно рассчитать распределение температуры, а по (11.117) — плотность потока результирующего излучении. Представим теперь решение уравнении (11.122) ппи граничных условннх (11.123) методом разложении по собственным функцинм. Решение уравнении (1!.!22) равно сумхте элементарных решений соответствующего однородного уравнении и частного решения [см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
