Оцисик М.Н. - Сложный теплообмен (1074339), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Процессы переноса тепла теплопроводностью и излучением, описываемые уравнениями (!2.41) и (12.44), связаны между собой соотиошением (!2.43) и должны рассматриваться совместно Радиационная часть задачи, описываемая уравнеинем (!2.44), может быть решеиа формально методом, описаииым в гл. 8, и 904 Глава Г2 Теплопроеодность и излунение в непрозраннмк средак для 0*(т) получается следующее соотношение '1: 1 б'( ) = — р' (0) Е, (т) + Г (т ) Е ( — ) + то з-1!а — ~з(зз- е'(.')1ео —.'г)з.'), излз) о где ф4(0) и ф (то) — безразмерные интенсивности излучения на границах Для диффузно отражающих и диффузно излучающих границ формальное решение для зр+(0) и ф (тз) получается непосредственно из (8.! 08) 1 — З З (!2.47) () з+ (!2.48) где 1 (( ~) (т )+ ~б (т )) Ез(т')с(т', (12.49 ) о А'='8 +2(1 — ))((1 — )8'(')+ а*(,))Е,(т т)„,, (12.496) 2 (1 е~ ) Ез ('то) (12.49в) д = — 2 (1 — в,) Ез (тз) (12.49г) Таким образом, уравнения (!2.4!), (12.46), (!2.47) и (1248) представляют собой четыре независимых соотношения относительно четырех неизвестных функций 0(т), !к*(т), ф+(0) и ф — (то).
Для их решения можно использовать прямой метод итераций. Если проинтегрировать дифференциальное уравнение (12.4!) с учетом граничных условий (12.42а) и (12.426), то получим нелинейное интегральное уравнение относительно 0(т). Затем это интегральное уравнение и уравнения относительно б*(т), зрь(0) и зр †(тс) решаются методом итераций. После того как найдены все эти четыре функции, можно определить безразмерную плотность потока результирующего излучения Я'(т) в любой точке среды зй д'(т) 1 4п оТ~ ! ~ [(1,) 84 (, с) +,сз*(, с)] Е (,, ~),( с о — (п —.)з'н)-~ е'('не,н — оз.).
оззз) т а плотность результирующего теплового потока вычислить с помощью соотношения д с!9 (т) 1 ЗРТ, т Л = — — + — Я (т). Вискаита (3), используя аиалогичный подход, получил распределение температуры, плотность потока результирующего излучения и плотиость полного теплового потока в среде при совместиом переиосе тепла теплопроводностью и излучением.
МЕТОД 2 Уравиеиие сохраиения энергии при совместном переиосе тепла теплопроводностью и излучением в предположении постояниого значения коэффициента теплопроводности и отсутствия внутренних источников энергии записывается в виде — — = 0 при 0 (т (то (!2 52) лтз У дт при следующих граиичных условиях: 8(т)=! при т=О, (12.53а) Е(т)=Е, при т=,. (! 2.
536) Безразмерная плотность потока результирующего излучения Я'(т) связаиа с интенсивностью излучеиия 7(т, р) соотношением 1 2п ~ 1(т, и'1 и Лр' Я'(т) = о, — з, = ~ ф(т, 1з') 1з'д1з', (12.54а) 4п-'дТ, 4п дТ~ а безразмерная интенсивиость излучения ф(т, р) определяется следующим образом. Т(т, !з) (12.546) и дТ,'~п Функция зр(т, р) удовлетворяет уравнению переноса излучения 1 1з Чд +ф( р)=(1 )О()+ 2 1зр(~и)Ф ( .
5) — 1 при следующих граничных условиях: 1 зр(0) = а~ + 2(1 — е ) ~ ф(0, — р') р'с(р', р ) О, (!2.56а) о ф(т) О'+2(1 — а,) ~ф(т„, ц')р' (р', р(0. (12.556) 507 50а Глава )2 Теплопроводносгь и изличенив в непрозрвчнмх средах Процессы переноса тепла теплопроводностью, описываемые уравнениями (12.52) и (12.53), и излучением, описываемые уравнениями (12.55) и (12.56), связаны между собой соотиой)еиием (12.54) и потому должны рассматриваться совместно. Для решения радиационной части задачи применим метод разложения по собственным функциям Общее решение уравнения переноса излучения (12.55) равно сумме решений соответствующего однородного уравнения и частного решения 4[) '(т 14) ) ф ( с, 14) — А (4!о) Вр (4!о 14) е ч)ч + А ( — 41,) Вр ( — т! ь 14) ельч В+ ) ) + ~ А(т1) Вр (тн 14) е ™с(41 + ~ А ( — 4!) Вр( — т1, 14) еч)ос(41 + 4[)р (т, 14), о о (12.57) где дискретные собственные функции 4р(~)!о, 14) и непрерывные собственные функции 4р(~ть 1х) определяются следующим образом [см.
(10.18в) и (10.18г)]: 4Р( 4! 14) „— „т1оФ( — ) (12.58 а) р(~ч 0)= —," +1И)б(0-)-0) )4 (4!) = 1 — Воч! Агс()4 41, а дискретные собственные значения ~4!о представляют собой два корня дисперсиониого уравнения Л (т1о) = — 1 — Воч! о А ге()4 — = О. 1 (12.58г) ЧВ Р в (12.586) — мнемонический символ, обозначающий, что берется значение соогветству)ощего интеграла в смысле главного значения Коши, а б(х) — б-функция Дирака.
Частное решение 4[)р(т, 14) уравнения переноса излучения (12.55) можно найти, если известна функция 04(т); однако распределение температуры 0(т) неизвестно, пока не решено уравнение энергии (12.52). Поэтому для отыскания частного решения делается предположение, что имеется нулевое приближение для распределения температуры 0'(т) и что функция [О'(т)]4, заданная в интервале значений 0 ( т < то, может быть представлена в виде полинома по степеням т м [О (~)]'= Х амт при 0<т<т,, (!259) т-о Коэффициенты а„находятся с учетом конечного числа членов э)ого разложения. Частное решение уравнения переноса излу- в виде м фр (т, 14) = Е Фр,т(т 14)' ПВ О (!2.60) Зная частное решение фр(т, 14), можно найти коэффициенты разложения А(4:)!о) и А(-+41) при условии, что ре)пение (12.57) удовлетворяет граничным условиям (12.56), используя свойство ортогональности собственных функций, а также различные интегралы нормировки, рассмотренные в гл.
1О и 1 После того как найдено частное решение для нулевого приближения распределения температуры и определены коэффициенты РазложениЯ А(~4!о) и А (-+4!), соответствУющаЯ безРазмериая пл плотность потока результирующего излучения Я" (т) )2.7 в среде определяется по формуле [см. (12.54а) и,1 .5 )] ) Я'(т) = — (1 — Во) т1оА(т1о)е "'ь — т1оА( — т1о)еч)чВ+ ~ т1А(41)е ""с(т!— о 1 1 о 1 — ВЛ) — 4) ' лч -)- В [ 4 ), В)ВВВ]. ))ВЛ)) — 1 Таким образом, в рамках заданного приближения для темпеф( ) рассматривается как известная функция; тогда интегрирование уравнения энергии (12.52), удовлетворяющего граничным условиям (1253), дает В) )-)4 — ')В,— ))4- — [О ) ')4 ' — — ' [О ) ')4 ']. ))4 42) то о о Распределение температуры 0(т) можно рассчитать теперь итерационным методом с помощью (12.62) и (12.61). Для этого берется начальное приближение О'(т) для распределения температуры, температура в четвертой степени [О'(т)]4 представляется в виде полинома по степеням т™, согласно (12.59), а коэффициенты а определяются с учетом конечного числа членов разложения.
Находится частное решение (, ) равнения переноса излучения и коэффициенты разложения А(~4!о) и А(~41). Затем полученное выражение для без- чения со свободным членом вида т )т = ( =, 1,2, ..., можно получить из общего выражения, приведенного в табл. 10.6. Таким образом, если через Фр (т, 14) обозначить частное решение для свободного члена (1 — Во)а т, то частное решение фр(т, 14) для свободного члена (1 — Во) 2 а т записывается ПВ-О 509 508 Глава 12 ьоо 0,8 О,б б(т! ОБСУЖ)ТЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ 0,8 О,б б(т! о,в О,г размерной плотности потока результирующего излучения 1!с(т) подставляется в (12.62), чтобы найти первое приближение для распределения температуры 6'(т), которое в свою очередь используется для отыскания второго приближения и т.
д. Этот процесс продолжается до получения удовлетворигельиой сходи- мости, Ли и Оцисик [15а] применили описанный выше метод разложения по собственным функциям для решения стационарной н нестационарной задач о совместном переносе тепла в плоском слое теплопроводностью и излучением. Независимыми параметрами, влияющими иа стационарное распределение температуры в плоском слое при совместном переносе тепла теплопроводностью и излучением, являются кондуктивно-радиационный параметр ЛГ, альбедо оь оптическая толщина слоя то, степени черноты граничных поверхностей 81 и бг и температура граничной поверхности Вг, На фиг.
12,5 показано влияние альбедо оз на распределение температуры в плоском слое с черными стенками при Л'= 0,05, з,о о Ог 04 Об 08 50 т 7ц Фиг. 12.5. Влияние ы иа распределение температуры !15б). Теплопроводность и излучение в непрозрачных средах о цг ал об об Ьо т то Фиг. 12.6. Влияние степени черноты иа распределеиие температуры [15б]. то — — 1,О, Ог = 0 и 6г = 0,5.
Два предельных случая оз = 0 и оз = 1 характеризуют соответственно только поглощающую и излучающую среду и только рассеивающую среду. Взаимодействие излучения с теплопроводностью максимально прн от = О. Прп оз = 1 излучение ие оказывает никакого влияния на распределение температуры, которое имеет тот же вид, что и в случае одной теплопроводности. На фиг, 12.6 показано влияние степени черноты на распределение температуры в слое с диффузио излучающими и диффузно отражающими непрозрачными стенками при ЛГ = 0,1, оз = 0,5 и то — — 1,О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
