Оцисик М.Н. - Сложный теплообмен (1074339), страница 33
Текст из файла (страница 33)
В силу симметрии )7,(хг) = )72(хз) прн х, = хг В этом случае достаточно решить только одно нз уравнении: (541) нли (5.42); запишем уравнение, для которого отыскивается решение, опустив индекс при плотности потока эффективного излучения: тл2 )7(х,) =вдТ'+ (1 — и) ~ )7(хг) с)Рал, ало (5,43) -Ыт Диффузный угловой коэффициент между двумя Раллельиымн полосами шнРиной с[хг и с[хи Равен г)Разг-алг — — с[ (ьчп Е), 1 Следовательно, 1 йг 2 [[кг — кг)г + йг! Н Подставляя (5 46) в (5 43), пол)чаем уравнение для плотности потока эффективного излучения ьм йг Я(хг) =вдТ4 + — (1 — е) [ ", )7(хг) с[х„(5.47) 2 1 [ р которое можно записать в безразмерном виде Гласа б 208 где А х= —, ч— = —, е'е'е (5.
49 а) (5.53) Х вЂ” = (1 — е) —, "г' 2 1 (( „)г 1 тг)чг вд воТ' (5.49б) (5.49в) нлн (5.57) (5.58) нли Чг Чг Чг Чг Чг -Чг Следует заметить, что ядро К(х, ч) — симметричное. После решения интегрального уравнения (5.48) и определения неизвестной функции Ч)(х) можно определить плотность потока результирующего излучения на поверхности пластины [см. (5.10б)]: д (х) = — [дТ< — !с (х)], е чь 1, (5.50а) [1 — е<р (х)], е чь 1.
(5.50б) Полное количество тепла 1;), отводимое в единицу времени с единицы ширины пластины в окружающее пространство, равно ыг ыг г<*)е* — [бгб — ] Е<*)е*] <бб) ) -ь)г -ь)г ыг — [) — ] г<*)е*], ). <бб)б) — <.)г РЕШЕНИЕ ВАРИАЦИОННЫМ МЕТОДОМ Функционал, соответствующий уравнению (5.48), имеет внд [см. (5.27)] 1=А ~ ~ К(х, Ч)р(х)р(Ч)с!х<ТЧ+ + 2 ~ <р(х)с!х — ~ [<р(х)]ге!х.
(5.52) Выражения для Х и К(х, Ч) уже приводились ранее. Представим Ч)(х) в виде полинома по степеням х, исключив в силу сим- Тенлообмен излувением е замкнутой системс Обобщенный метод 200 метрии члены с нечетными степенями. Ограничимся первыми двумя членами разложения Ч) (х) ) <р (х) = с, + сгх', где с, и сг — постоянные, которые необходимо определить. Подставляя (5.53) в (5.52) и производя интегрирование, получаем 1 = (1 — е) (сг)а< + с,с,а, + сггаг) — с',— 1 1 сг — — с с — — с'+ 2с + — ", (5.54) 6)г80г)6 где аь аг, аг — известные постоянные, зависящие от у, которые приведены в работе [4] Дифференцируя (5.54) по с) и сг и при- равнивая производные нулю, получаем систему уравнений 2с, [а, (1 — е) — 1] + с, [аг (1 — е) — — 1 = — 2, (5.55) 11 6] с, [а, (1 — е) — — 1]+ 2с,[аз(1 е) 801 6.
(5.56) 1 1 1 Решение этой системы позволяет определи)ь постоянные с, И сь зная которые можно с помощью выражений (5.50б) и (5.5!б) найти распределение плотности потока результирующего излучения и суммарное количество тепла, отводимое в единицу времени с единицы ширины пластины: у (л) Л [ 1 — е (с, + с,х')], ТОЧНОСТЬ ВАРИАЦИОННОГО РЕШЕНИЯ Точность вариацнонного решения можно повысить, если со хранить в разложении функции <р(х) члены более высоких порядков, Однако точность нельзя оценить, не проводя сравнения получаемого результата с точным решением, Табл.
5.1 позволяет сравнить значения функции <р(х), полученные вариационным методом с использованием полинот)ов второй и четвертой степени, с точным решением, полученным численным интегрированием, Видно, что вариацнонное решение при представлении функции в виде полннома четвертой степени дает достаточную для большинства приложений точность. На фнг.
5.2 показано влияние расстояния между пластинами и степени черноты их поверхностей на локальную плотность теплового потока д(х)]вдТ4. С уменьшением расстояния между пластинами возрастает неравномерность в распределении локальной плотности теплового потока, Теалообмеи излучением о замкнутой системс Обобщенный нетод 211 Глаза 5 210 Таблица 5.2 Сравнеаие значений безразмерного полного теплового 4 потока между параллельными пластинами [[!314) пТ 1, полученных с 41 с помощью обобщенного и упрощенного зональных методов [!0[ у,о 0,9 4=о,й е=9,5 4=О,1 0,9 0,7 упрощенный метод обобщеннла метал унрощонштй обобщенный метал метал обоб ценно й метод упрощенным метод 0,6 С,б позволяет достичь хорошей точности прн й!4'.
) 0,5. Прн уменьшении расстояния между пластинами упроШенный зональный метод дает сильно завышенные значения теплового потока. 0,3 ' О О,т 0,2 О,з 04 О,б х~ 4. 5.5, ТЕПЛООБМЕН ИЗЛУЧЕНИЕМ МЕЖДУ ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ КОАКСИАЛЬНЫМИ КРУГЛЫМИ ДИСКАМИ В табл. 5.2 проводится сравнение значений безразмерного полного теплового потока [4)[у'.) [ВТ4, полученных с помошью обобшенного зонального метода н упроптениого зонального метода. Сравнение показывает, что упрощенный зональный метод Таблица 5.1 Сравнение значений функции тр [х), рассчитанных вариационным методом н методом численного интегрирования [4] Рассмотрим два одинаковых параллельных коакснальных круглых диска радиусом а, расположенных на расстоянии й друг от друга [фиг.
5.3). Поверхности дисков непрозрачные, серые, днффузио нзлучаюшие и днффузно отража!ошие, степень х хсб О оп од о,з 9,4 0,5 О2 2=1, р=09 1,642 1.637 1,620 Полинам второй степени Точное решение 1,592 1,554 ~ 1,504 1,590 1,552 1,508 Т =о 1,644 1,638 1,620 у=о!, р=09 Фиг. 5.3. Теплообмен излучением между лвумн круглымн кисками, поддерживаеиыии при постоянных, но различных температурах Т, и Т,. © 7,39 7,22 6,73 5,90 4,74 3,25 7,!0 7,2! 4,88 6,76 6,07 2,95 7,1! 7,22 6,75 4,90 6,07 '2,97 Полипом второй степени Полинам четвер- той степени Точное решение Фпг. 5.2. Влияние расстопния между парзллельныии пластинаии н степени черноты на локальную плотность теплового потока [!0], 1,0 0,5 0,1 0,05 0,09338 0,08576 0,0442 0,0252 0,09340 0,08607 0,05122 0,03388 0,3692 0,2747 0,07964 0,04128 0,3604 0,2764 0,08677 0,04649 0,5500 0,3658 0,09269 0,0475! 0,5500 0,3664 0,09402 0,04848 2!2 Глава о Теллообмен излучением в замкнутой системе.
Обобщеннзгй л~етод 2!3 черноты дисков одинакова и ранца з. Нилашй и верхний диски поддерживаются при постоянных, но различных температурах Т1 н Т, соответственно, а внешняя среда — при температуре, равной нулю (т. е. энергия излучения, попада|ощего в пространство между дисками извне, пренебрежимо мала). Определим распределение плотности потока результирующего излучения по поверхности дисков.
Подобные задачи были рассмотрены в работах (!! и !2). Здесь будут приведены основные уравнения и проанализированы некоторые результаты. Примем за начало отсчета координат г, и гг цегиры дисков 01 и Ог соответственно, Интегральные уравнения для плотностей потоков эффективного излучения 24г(г,) н 24г(гг) для нижнего и верхнего дисков получаю!ся из (5.9) в виде а 2ч! (г!) = аоТ'+ (1 — а) ~ !т (г ) с(Р г — з а Рг хгг) затее + (1 а) 1 й1 (г ) Н (5.59) (5.60) г,=о где с!Гл„, л,,— диффузный угловой коэффициент между элементарным кольцом (с(гь г,) на диске 1 и элементарным кольцом (с!Гг, гг) на диске 2, Диффузный элементарный угловой коэффициент т!Глг, л„можно определить с помощью метода, описанного в равд.
3.6; он равен 2З + 26 г1+ 2Ь гг (Зг! 2, )г 4т21 а с(Рл„, л,, можно получить из соотношения взаимности й~лп „,= — — (~лп ло. лй Йг~ сг гг (5.62) Уравнения (5.59) и (5.60) представляют собой два интегральных уравнения для функций !т1(г!) и !тз(гг), которые необходимо решать совместно. РАЗБИЕНИЕ НА БОЛЕЕ ПРОСТЫЕ ЗАДАЧИ Так как уравнения (5.59) и (5.60) линейны относительно 4 Тг (г = 1 или 2), их решения могут быть получены путем супер- позиции решений более простых задач. Рассматриваему!о задачу можно представить в виде двух более простых задач для случая Тг ~ Т, (фиг. 5.4).
Одна из задач состоит в расчете теплообмена из„чучением между двумя круглыми дисками, имею- !ггл-г,')и + з НгГаг! з яйлу а лрИ т, з л~,,! г, Нг!и! гг з Нйз! Т, фиг. б 4, Разбиение задачи о двух параллельных круглых дисках на две более простые задачи. щимн ту же геометри!о и радиационные свойства, как на фнг.5.3, но одинаковые температуры Т, (при нулевой температуре окружающей среды). В этом случае рас|гределение плотности потока эффективного излучения 2т'(г,) или !4(гг) по поверхпос|и дисков удовлетворяет следующему интегральному уравнепи!о; и Д (Г, ) = и дТ, '+ (1 — а) ~ Д (Г,) с!Р о в !г, (г,) =(1 — з) ~ !4г(гз)ЙРл„, л,р (5.64а) о а р'(д = ай (Тл — Тлл! + (1 — в) ~ р", (т,) с(Р„„,„„С (5.646) о Плотности потоков эффективного излучения Р,(г!) и !чг(гг) для исходной задачи [уравнения (5.59) и (5.60)) получаются супер- позицией решений двух приведенных выше простых задач, г.
с. !4! (Г,) = !4 (г!) + !4! (г!), (5.65а) 24г ('з) = 24 (гг) + 24г (гг ) (5.65б) Уравнения (5.63) н (5.64) можно записать в безразмерном виде р(т) ) =1+ р ~ К(т! т! )гр(т!г)с!т!г (5 66) н,=з так как в силу симметрии плотности потоков эффективного излучения для обоих дисков равны при г, = г, Во второй задаче рассчитывается теплообмен излучением между двумя дисками, имеющими ту же геометрию и раднационные свойства, как на фиг. 5.3, но температура первого гмд диска равна нулю, а температура второго равна (Тлг — Т1 у (температура окружающего пространства равна нулю).
В этом случае плотности потоков эффективного излучения К!(Г,) и !гг'(г) удовлетворяют следующей системе интегральных уравнений: Глава б 2!4 РЕЗУЛЬТАТЫ (5 67а) (5.67б) ч,=а 1,О 1,О о,з 0,8 О,з 07 0,7 О,б -а лат 4 0,5 о,б 4! зг" 0,5 0,4 о,з о,з 0,2 о,г 0,1 0,1 (5.71) где т — = т — т,. '4 4 4 (5.73) 'р1(Ч1)=» ~ К(Ч! Чг)рг[Ч2)«Ч„ я,=о 1 бр2[Ч2) 1 + Х 1 К [Чю Ч1) % (Ч~) 54Ч1, где использованы следугощне обозначения.' 4! (Ч;) „4!; (Ч1) бр(Ч4)= = 4 бр,(Ч1) — 4 4 ' 1=1 яли 2, (568а) еоТ, ' ед [҄— Тл) й с А= 2(1 — е) У, У= — Ч1= — ', ! ! или 2 (5.686) [У + Ч1 + Чг) Чг К (Ч! Чг) — „,, „...,, (5.68в) Ю + Ч1+ Чг) — 4Ч1чй)' а выражение для К(Ч,, Ч1) получается из (5.68в) перестановкой индексов 1 и 2.
После решения уравнений (5.66) и (5.67) относительно безразмерных плотностей потоков эффективного излучения, решение исходной задачи [уравнения (5.59) н (5 60)] можно записать в виде !с = )7 -]- )7' = е [т4 -[- [т4 — т4) ') (5 69а) !с — !с + !с' ед [Т414р + (т4 т4) 4р") (5.696) Плотность потока результирующего излучения для частного случая, описываемого уравнением (5.66), определяется выражением [см, (5.10б)] (5.70) справедливым для обоих дисков. Плотность потока результирующего излучения для второго частного случая, описываемого уравнениями (5.67), равна дд (Ч1) е — = — — 4р,(Ч1) (для диска 1), 02 (Чг) 1 еот'4 ! — е [1 ебр;(чг)) (для диска 2), (5.72) Твилообмен излучением в замкнутой системе Обобщенный метод 2!б Решения простейших частных задач, описываемых уравнениями (5.66) и (5.67), приведены в работе [!2].
На фнг. 5.5 приведены кривые распределения плотности потоков результирующего излучения по поверхности дисков ! н 2, полученные из решения уравнения (5.67) для различных расстояний между дисками и степеней черноты. Из графиков видно, что при А7а ) 5 распределение плотности потока результирующего излучения по поверхности дисков делается почти равномерным. По мере уменьшения этого отношения неравномерность распределения плотности потока результирующего излучения все больше возрастает. о о 0 02 04 08 08 10 0 Ог С',4 0,5 0,8 1,0 47 а 0=а и б Фиг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
