Оцисик М.Н. - Сложный теплообмен (1074339), страница 32
Текст из файла (страница 32)
5.2, приводит к необходимости решения системы интегральных уравнений для плотностей потоков эффективного излучения, В настоящем разделе будет дан краткий обзор методов решения интегральных уравнений типа уравнения Фредгольма, к которым сводится эта задача. Для более детального ознакомления с этим вопросом читателю следует обратиться к работам [1 — 3) Рассмотрим линейное интегральное уравнение вида ср (х) ! (х) + А ~ К (х, 41) Ф (41) дхи (5.16) а где Г(х) и К(х,41) — известные функции; Х, а н 5 — постоянные; функция Ф(х) должна быть определена.
Уравнение (5.!6) представляет собой линейное интегральное уравнение; оно называется интегральным уравнением Фредгольма второго рода. функция К(х,т!) называется ядром интегрального уравнения. Уравнение называется однородным, когда его свободный член Г(х) равен нулю. а) Метод последовательных приближений. Интегральное уравнение Фредгольма (5.16) с действительными непрерывными функциями К(х, 41) н [(х), заданными в интервале а ( х ( Ь н а(4! ( 5, н действительными постояннымн а, 5 и Х можно решить методом последовательных приближений (нлн методом итераций), описанным в [2, 3], Метод состоит в замене функции ср(т)) под знаком интеграла в правой части уравнения (5.16) ие- Глава 5 Теллообмеч азлуненаел~ в замкнутой системе Обобщенный метод 203 ь тр,(х) = 1(х) + Л ~ К (х, Ч) <ро (Ч) етЧ.
а Подставляя ~р~(Ч) в правую часть уравнения (5.16), второе приближение тр,(х): ь цт (х) = 1(х) + Л ~ К (х, т!) ср, (т!) ееЧ, а (5.!7) получаем (5.18) Второе приближение используется для получения третьего и т. д. ь Чтз (х) = ~ (х) + Л ~ К (х, Ч) <р, (Ч) е1Ч, (5.19) юра (х) = ) (х) + Л ~ К (х, т!) юра, (Ч) е1Ч.
а (5.20) В случае выполнения этой последовательности операций ~рн(х) запишется следующим образом: ~ра (х) = [ (х) + ЛЦ (х) + ЛЧ.ь!' (х) + + Л'7'[(х)+ ... +Л" 'Л" '~(х)+Л"Л"[(х), (5.21) где оператор ь определяется как ь Ц (х) — = ~ К (х, т!) !'(т)) е1Ч, а ь ь ~'[ (х) = — ~ К (х Ч) ~ К (Ч Ч1) У (Ч~) дЧ~ дЧ~ а а ь ь ь Лз[(х)=— ~К(х, Ч) ~К(Ч, Ч) ~К(Чп Чт)[(цз)е(Ч е(Ч е1Ч. (524) (5.23) Как показано в работах [2 н 3], прн и -ы оо (5.21) будет сходиться к решению интегрального уравнения (5.16), т.
е. Втп ~р„(х) = ~р (х), которым нулевым приближением ~ро(Ч), что позволяет получить первое приближение тр1(х): если выполняется условие [Л[( (ь,)м 1 (5.26) 1 — = Л ~ ~ К (х, у) <р (х)~р (Ч) е1х е1Ч + а а ь ь + 2 ~ ~р(х) ~(х) дх — ~ [тр(х)]зеЬ, (5,27) является также решением интегрального уравнения (5.16). Точное выражение для функции тр(х), приводящее к экстремуму у функционала (5.27), пай~и трудно, а приближенное — можно, используя метод Ригт(а, опнсанныи в [2].
Представим искомое решение Ч(х) в виде линейной комбинации п соответствующим образом выбранных функций Чтд(х) ~р(х) = ~ сьЧ"ь (х). (5.28) ь=1 Выбор функции Ч"ь(х) может быть произвольным, но его следует делать с учетом физической сущное~и решаемой задачи. Постоянные сь определяются нз условия, что разложение (5.28), будучи подставленным в (5.27), дает экстремум функционала. Пусть (5.29) 7 7(сп сь .. с ) где М вЂ” максимальное значение ядра К(х, т!) [т. е.
[К(х, т!) [] в интервале а < х ~< Ь, а < Ч ( Ь. Сходнмость ряда будет быстрой, если Л (< 1. На практике аналитически берут только несколько первых интегралов, так как вычисление последующих интегралов становится крайне сложным, однако при использовании быстродействующих ЭЦВЛ( эта процедура не представляет труда. б) Сведение к системе алгебраических уравнений.
Интегральное уравнение (5.16) можно аппроксимировать системой линейных алгебраических уравнений, представив интеграл в правой части в виде суммы. Аппрокснмнровав интеграл суммой (по формуле Симпсона, по формуле трапеций нлн методу Гаусса), можно решить систему линейных алгебраических чравненнй с помощью стандартных машинных подпрограмм. (Применение метода Гаусса будет рассмотрено ниже в гл. 1!.) в) Вариациониый метод решения интегрального уравнения. В работе [1] показано, что функция тр(х), которая приводит к появлению экстремума (т. е. максимума нлн минимума) функционала ь ь Теплообмен излучением в замкнутой системе. Обобщенный метод 20о Глава Б л04 означает результирующее выражение, полученное после подстановки [5.28) в (5.27), Коэффициенты сп см ..., с„можно определить, дифференцируя (5.29) по каждому нз коэффициентов и приравнивая полученные выражения нулю: д! — =О /г=! 2 ..., и.
дс, Уравнения [5.30) дают систему нз п алгебраических уравнений, решая которую можно получить и неизвестных коэффициентов сд. На практике указанная процедура проводится сначала с несколькнмн членамн в выражении [5.28), затем количество членов увеличивают, пока не будет достигнута нужная точность. Варнацнонный метод использовался ранее авторамн работ [4 — 6] для решения задач теплообмена излучением в замкнутых системах. г) Обобщенный вариационный метод. Решение задачи о теплообмене излучением в замкнутой системе с помощью обобщенного зонального метода приводит к необходимости решения систем интегральных уравнений вида [см.
уравнение [5.11)) )р,(г,)=[)[г,)+7,! ~ ~)рг(г!)К)!)!Ат, т=!, 2, ..., А), (5.3!) !=1 А! в которых неизвестнымн являются функции трт[г,), характеризующие плотности потоков эффективного излучения. Здесь [,[г!) — известная функция [распределенне плотностей тепловых потоков нлн температур по т-й зоне), 7л — постоянная величина, Ки — ядро интегрального уравнения, связанное с диффузным элементарным угловым коэффициентом выражением е!г'нх! нд = — Кме!А!. [5. 32) Следовательно, прн заданной геометрии системы ядро Кч, известно. Спэрроу н Хаджи-Шейх показали [7), что решение интегрального уравнения [5.31) эквивалентно отысканию экстремума функционала н н )-! )=л [[ч)кмел,чл,ттЕ~л [ [ччл„зл>зл)— / ! А! А! !=азч)=! А А! Х л ~тра!в!А + 2Х ~)!тр! А4п [533) )=! л! ! ! АГ Если функции )р), Ч)а, ..., Ч)н определены таким образом, что они приводят к экстремуму функционала [5.33), то этн функции являются также решением системы интегральных уравнений [5.31).
Найти точно этн функцпи чрезвычайно трудно, в силу чего с помощью метода Рнтца отыскивают приближенное решение. Предположим, что каждая нз функций тр,[г;) может быть представлена в виде линейной комбинации М соответствующим образом выбранных функций Ч'„„(г,) л! тр;[г;) = ~ с, '1', [г,) !=1, 2, ..., Ат, [5.34) где постоянные с„„(! = 1, 2, ..., А) н т = 1, 2, ., М) должны определяться нз условия, что подстановка разложения [5.34) в (5.33) приводит к эксзремуму функционала К Пусть ! — = 7[оп, ски ..., с;, ...) [5.35) означает результирующее выражение для функционала, полученное после такой подстановки. Тогда для определения коэффициентов с;, приводящих к экстремуму т, проднфференцнруем (5.35) по каждому нз коэффициентов с; н прнравняем соответствующие выражения нулю: О, т=!, 2, ..., Ат, от=!, 2...„М.
[536) !и) Эта система содержнг М л,'Ь' алгебраических уравнений с М Х А) пензвестнымн коэффициентами с! . Точность получаемого решения может быть повышена путем увеличения числа членов в разложении [5.34), однако нельзя не отметить трудности решения системы, состоящей нз большого числа уравнений. д) Аппроксимация ядра. Интегральное уравнение [5.!6) можно преобразовать в обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, если аппроксимировать его ядро К[х, т!) экспоиенцнальиой функцией вида К [х, т!) — се з ! "-ч1.
[5.37) В этом случае подстановка [5.37) в (5.!6) приводит к уравнению г л ь ч)*)=)!)-~-) [[ -""-~ч)ч)зч-~- ! -'"-*Ч)ч)зч]. )е )8) а к Дифференцируя (5.38) дважды по х н исключая нз него интегралы с помощью исходного уравнения [538), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение ч' ',"~ — р [2 — р) )р (х) = ",1 — рар' [х). [5.39) Оио может быть решено численно нлн аналнтнческц в зависимости от сложности функции [[х). Граничные условия, иеобхо- Глава б 20З длинными па. [см. (3.53а)) (5. 44) где з!п Е= [[хг — хг)' + йг] гг (5.45) (5,46) Сз) Т,=о т,=о и ггг р ( ) = 1+ ) ~ К (х, Ч) р (Ч) дЧ, (5.
48) у днмые для решения этого уравнения, определяются из рассмотрения исходного интегрального уравнения (5.16) в точках границы Возможна более точная аппроксимация ядра К(х, т)) в виде суммы двух экспонент К(х, т)) с,е О'!л "'+се О '" "'. (5.40) В этом случае исходное ннгегральное уравнение преобразуется в обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка для функции ср(х). Экспоиенцнальная аппроксимация ядра была использована в работах [6, 8 н 9) для решения задач теплообмена излучением внутри полостей 54. ТЕПЛООБМЕН ИЗЛУЧЕНИЕМ МЕЖДУ ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛАСТИНАМИ Обобщенный зональный мегод использовался для решения задач теплообмена излучением между двумя параллельными пласгннамн в работах [4, 7 и 1О]. В данном разделе будут рассмотрены постановка задачи в этом частном случае и полученные результаты Рассмотрим показанные на фнг.
5 1 две параллельные пластины длиной 1„ отстоящие друг от друга иа расстоянии Й н бесконечно протяженные в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа Примем, что пластины непрозрачные, серые, днффузно испускают н днффузно отражают излучение, имеют одинаковую степень черноты е н поддерживаются прн постоянной одинаковой температуре Т. Для простоты предположим, что окружающее пространство имеет нулевую температуру. Найдем распределение плотности потока результирующего излучения по поверхности пластин.
ь Х Фнг. 5.1. Теплообмен излучением между двумя пзрзллельнымп пластнннмн, поддерживаемыми прн постоянной одинаковой температуре Т. Теалооблгеч излучением в замкнутой системе Обобщенный метод 207 Так как система симметрична относительно центров пластин Ог и 02, поместим в ннх начала отсчета координат х, н хз. Интегральные уравнения для плотностей потоков эффективного излучения лкг (хг) н лкг(хг) получаем из уравнения (5.9): Ы2 !к, (х,) = еоТ4+ (1 — е) ~ 
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
