Левитская О.Н., Левитский Н.И. - Курс теории механизмов и машин (1074006), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

е. вычислить Лш, при а=а! — Ла. Тогда Лш«* либо уменьшится, либо останется без изменений, если достигнут минимум по параметру а. 3. Последовательно изменяются все другие параметры. Правильное направление изменения каждого параметра определяется так же,какивп.2. 4. После того как были изменены все параметры, вновь дается приращение какому-либо параметру, и эти изменения повторяются до тех пор, пока не будет достигнут минимум целевой функции Лша«.

Быстрее можно достигнуть искомого минимума целевой функции, если есть возможность определять частные производные целевой функции по параметрам синтеза и по значениям этих производных находить направления, по которым функция убывает наиболее быстро (метод наискорейшего спуска и другие градиентные методы) . Штрафные функции. Проверку ограничений прн направленном поиске можно совйестить с вычислением целевой функции Лш,«, если искать минимум функции где д — постоянный коэффициент; р! — штрафные функции (штрафы), значения которых резко увеличиваются у границ допускаемой области изменения параметров синтеза. Например, ограничение по углу давления б может быть выражено штрафной функцией 1 1К (Эшыэ) При б=ба,„штрафная функция р-»оо и поэтому штраф за приближение к границе допускаемых угтов давления будет «отталкивать» от этой границы выбираемое направление изменения параметров синтеза.

Если шаг изменения параметров синтеза оказался 147 настолько большим, что выбранная точка вышла нз допускаемой области, то штрафная функция должна изменить свой знак. В рассматриваемом примере при 6)ба»«функция р становится отрицательной. Изменение знака функции р указывает на необходимость уменьшения шага. По мере уменьшения дм«» уменьшается и коэффициент ц так, чтобы в пределах точности вычислений совпали бы минимумы функций Е я б,„„. Локальный и глобальнмй минимумы. В общем случае целевая функция может иметь несколько минимумов, отличающихся по абсолютной величине.

Наименьший минимум в теории оптимизации принято называть глобальным минимумом, а все остальные минимумы — локальнымн. На рис. 67,а показан график (=Дм«» аг и, а Рис. ат как функпви одного параметра а. В точке 3 находится глобальный минимум, все остальные минимумы (1, 2, й) — локальные.

Если целевая функция зависит от многих параметров, то соответственно иапо рассматривать минимумы многомерной поверхности. Локальный минимум такой поверхности имеет лишь местное значение (отсюда происходит термин — локальный минимум), и для отыскания глобального минимума надо просматривать всю многомерную область возлсожных комбинаций искомых параметров (отсюда происходит термин — глобальный минимум). Комбинированный поиси. Направленный поиск обычно приводит к отысканию лишь локального минимума. Случайиыйг поиск более подходит к отысканию глобального минимума, так как при нем просматривается вся область изменения параметров.

Однако он дает слишком большой объем вычислений, и поэтому часто применяют комбинированные методы, при которых случайным поиском просматривают и сравнивают значения целевой функции в отдель. ных частях (райоиах) области изменения параметров и затем направленным поиском находят локальные минимумы для тех частей области, где ожидается получение глобального минимума.

При нахождении локального минимума следует иметь в виду два возможных случая его расположения. В первом случае оп располагается иа дне «воронки», как показано иа рис. 67,6 для функции параметров а и Ь с линиями уровней (з)(з)(г»(вп. Во втором случае он располагается на линни дна «оврага» (рнс. 67,в). Достижение линни дна оврага д можно 148 ошибочно принять за достижение локального минимума при малом числе направлений, по которым проверяется значение целевой функции. Для нахождения локального минимума иногда приходится длительное время идти по линни дна оврага. Если требуется найти глобальный минимум, то обычно предпочитают после достижения линии дна оврага сразу переходить к отысканию другого локального минимума.

После достижения второго локального минимума (нлн дна оврага) можно приближенно указать направление, где искать следующий локальный минимум. Предположим, например, что для случая, показанного у жх/ на рнс. 87, а, поиск был начат иэ иекото м рой точки а~ (случайно выбранной). На. правленный поиск даст тогда локальный минимум Д Выбирая в достаточном уда ленни от точки а1 другую случайно вы. бравную точку ав можно получить вто. рой локальный минимум 2.

Третья точка э х 3 аз выбирается на направлении липин, со. единяющей локальные минимумы ! н 2 Рнс. 88 н т, д. Методы оптимизации с применением ЗВМ могут быть использованы для любой задачи синтеза механизмов. Поэтому можно утверждать, что эти методы являются общимн, а сама проблема синтеза механизмов перестала быть проблемой отыскания методов решения отдельных частных задач синтеза. Заметим также, что составление алгоритма вычислений целевой фуикции и установление соотношений, определяющих ограничения, основывается на методах анализа механизмов. й 19. СИНТЕЗ МЕХАНИЗМОВ ЙО МЕТОДУ ПРИБЛИЖЕНИЯ вункдии Постановка задачи приближенного синтеза механизмов по Чебышеву.

Методы оптимизации с применением ВВМ дают количественное решение любой задачи синтеза механизмов, но ие дают, как правило, возможности производить качественный анализ ожидаемых решений. Такой анализ допускают методы синтеза механизмов, основанные на теории приближения функций. Задача приближения функций состоит в том, что заданная функция у=Р(х) приближенно заменяется функцией у=-Р(х), мало от нее отличающейся (рис.

68). Функция у=Р(х), называемая и р и бли жа ю щей, содержит и постоянных параметров; гь ..., г . Например, при синтезе шарнирного четырехзвеииика по заданной траектории точки шатуна у=Р(х) есть уравнение заданной траектории, а у Р(х) — уравнение шатуниой кривой, содержащей девять постоянных параметров. 149 Отклонение Д приближающей фуннции от заданной, выражаемое, например, разностью ординат, является функцией аргумента к и параметров приближающей функции д=д(х, гм.. г ).

(19.1) Параметры приближающей функции в задачах синтеза механизмов совпадают с параметрами синтеза или с их комбинациямн. В отличие от методов оптимизации теория прибчижения функций дает возможность найти искомые значения выходных параметров синтеза ие путем поиска, а непосредственно иэ системы уравнений, составляемой иа основании условий минимума максимального модуля отклонения (!9.1). Синтез механизмов по методу приближения функций называют также приближенным синтезом механизмов. Впервые этот метод был примснен П. Л. Чебышевым'.

Согласно Чебышеву, задача приближенного синтеза механизмов может быть разделена на три этапа. Первый этап — выбор основного условия синтеза и дополнительных ограничений. Этот этап совпадает с рассмотренным раисе выбором целевой функции и ограничений. Отличие состоит лишь в том, что при оптимизации с применением ЭВМ значения целевой функции последовательно рассчитывают по отдельным формулам н соотношениям, включая н системы уравнений, а при решении задач синтеза механизмов по методу приближения функций обязательно надо иметь аналитичеокое выражение отклонения от заданной функции в явном или в неявном виде. Второй этап — упрощение аналитического выражения основного условия синтеза в виде отклонения от заданной функции.

Этот этап явлнется решающим для успешного применения метода приближения функций. Дело в том, что теория приближения функций разработана только для сравнительно простых функций. При синтезе механизмов, как правило, основное условие и, следовательно, отклонение от заданной функции имеет сложное аналитическое выражение. Одним нз наиболее удобных способов упрощения аналитического выражения отилоиения от заданной функции в задачах синтеза механизмов является использование взвешенной р аз ности (взвешенного отклонения).

Этот способ впервые был использован П. Л, Чебышевым при решении задачи синтеза механизма, направляющего по дуге окружности, н впоследствии обобщен на другие задачи синтеза механизмов'. Взвешенной разностью называется выражение вида Де=ба, где вес д — непрерывная функция аргумента х и параметров приближающей функции, ие обращающаяся в нуль на рассматрииаемом ' Чебмшее П Л Теория мехзннзмое, нззестных нох названием пзреллелогрзммае, 1853.

Характеристики

Список файлов книги