Левитская О.Н., Левитский Н.И. - Курс теории механизмов и машин (1074006), страница 31
Текст из файла (страница 31)
' Левитские и. И. Сннтез механизмов по Чебышеву. М.. 194б. 150 отрезке изменения агрумента х. Если вес я незначительно отличается от постоянной величины, то услония минимума взвешенной разности почти совпадают с условиями минимума отклонения от заданной функции Л, В то же время, выбирая различные веса, удовлетворяющие указанному условию, можно получить взвешенную разность очень простого вида и использовать ее в дальнейшем вместо отклонения Ь. Пусть, например, отклонение от заданной функции представлено иррациональной функцией а=ф ггхг+ггх+ге — ге Эта функция мало удобна для вычисления неизвестных параметров гь гг, гз и г, вследствие иррациональности функции. Выберем в качестве веса функцию й=!" эьг э;э .
При малой величине Л )' ггх'+ гье+ ге — 'г~ 'н зес д г 12гм Взвешенная разность прн этом весе будет многочленом Ьг= ггх + ггх+ гз — гь Вследствие того что вес приблизительно постоянен, условия минимума взвешенной разности Лч и отклонения от заданной функции Л на заданном отрезке измейения х почти совпадают. Следовательно, совпадают приближенно и значения параметров гь гз, гз и гь при которых этот минимум достигается. Эти значения параметров находятся нз условий минимума взвешенной разности, так как ее аналитическое выражение в виде многочлена проще, чем выражеане отклонения от заданной функции, а точность определения Иекомых параметров практически вполне достаточна.
Третий этап приближенного синтеза †-вычисление параметров синтеза из условий минимума отклонения от заданной функции. Этот этап выполняется просто, если получено простое аналитическое выражение для отклонения от заданной функции нли лля функции, заменяющей это отклонение (иапример, взвешенной разности).
Способ вычисления искомых параметров зависит от вида используемого приближения функций. Интерполирование. Простейшим видом приближения функций является интерполирование, при котором значения заданной функции у=Р(х) и приближающей функции у=Р(х) на отрезке (хэ, х ) совпадают в (г точках, называемых узлам и интерполирования. Искомые параметры приближающей функции определяются иа системы ураннеинй, выражающих равенство нулю отклонений от заданвой функции в узлах интерполирования: Р(х;) — Р(х,)=0, г=1,... Ф.
(19.2) !5! Система уравнений (!9.2) получается линейной, если приближающая функция Р(х) имеет внд Р(х>=раУа(х>+РДт(х>+.,+Р„~„(х), (19,3> где Ре, Рп ..., Є— постоаннные коэффициенты, в котоРые входЯт искомые параметры; )з(х), ),(х), ..., ) (х) — линейно независимые непрерывные функции аргумента х, не содержащие неизвестных параметров ', Этот вид функции Р(х) называется обобщенны и полиномом, так как из него при частных предположениях относительно функций могут быть получены обычные полиномы (степенные многочлеиы), тригонометрические полииомы и т. п.
Линейная система уравнений для определения коэффициентов обобщенного поливома Р(х) при й узлах интерполирования имеет вид РДо(х,>+РсУт(х,>+...+РзУ,(хг>=Р(хг>, )=1,...й. (194> В синтезе механизмов по заданным значениям скоростей и ускорений и в некоторых других случаях требуется, чтобы в узлах интерполирования совпадали не только значения заданной и приближающей функций, но и пх пронзводиые до г-го порядка включительно. Такие узлы называются узлами кратности г+1, а соответствующвй вид приближения функций получил название кратного интерполирования, При кратном интерполировании кроме (19.2) должны удовлетворяться уравнения вила йго(х,)=0, (19.5) где Лго(хг) †значен производной г.го порядка от разности Л= =Р(х) — Г(х) по аргументу х при х=х,.
Квадратическое приближение функций. Недостаток интернолирования как метода приближения функций состоит в том, что между узлами интерполирования отклонение от заданной функции может быть большим, так как система уравнений (!9.2) не накладывает никаких условий иа отклонение от заданной функции между узлами. Этот недостаток в некоторой мере устранен при квадратическом приближении функций, которое основано на обращении в минимум среднего квадратического отклонения от заданной функции (19.6> ю «а где хо, хы — значения аргумента в начале и в конце отрезка при. ближении.
Среднее квадратическое отклонение становится минимальным, если обращается в мннимум интеграл ' Фуаяцнн называются аннейно неззвнснмымн, есан нн одна аз ннх ве яваяется аннейной номбннацней других. !52 (19.7) Если приближающая функция содержит в+1 неизвестных коэффицнентон р,, рь ..., р„, то для определения минимума интеграла ! надо приравнять нулю частные производные от 1 по этим коэффи.
циентам Введем обозначения; »т со, см=~ 7»(х)71(х)бх, й, (=О, 1,..., и, (19.10) "» у = ( Г(к) уо(к)бх, э=О, 1,..., и. »» С помощью этих обозначений системе (19.9) можно вид: (19.11) придать саара+са1Р1+ "'+ со Р тО сюра+ сиро+ ... + с>„Р„= у>1 с»ода+с,ор>+ -+с» Р»=У». (!9.12) Решая эту систему, находим искомые значения коэффициентов ро. Иногда вместо интеграла 1 обращают н минимум сумму 8=~~>~(Р(х>) — Р(х,))'. (19.13) с-а Тогда коэффициенты см и уо системы уравнений (19.12) должны вычисляться по формулам 153 — =О, э=О, 1,..., л.
(19.9) дРО Как и при интерполировании, система уравнений для определения неизвестных коэффициентов ро получается линейной, если приближающая функция есть обобщенный полипом (19.3), т. е. интеграл имеет вид » (Роуо(х)+Р>)1(к)+ ...+Р»7„(х) — Р(к)7бх. Выполняя дифференцирование по всем коэффициентам ро, получаем систему я+ 1 уравнений (19.8) в следующем виде: » >Роро(к)+Р>|1(х)+- +р У (х)-Р(х)(,го(х)бх=О. (199) сы — — ос= 'У;Гс(хг)У,(хг), й,1=0, 1,..., и, (19.14) с-о У,=~Р(х,)У'„(х,), й=б, 1,..., л.
(19.16) ~-о Наилучшее приближение функций. Квадратическое приближение в среднем дает матос отклонение от заданной функции, но иа отдельных участках отклоневие может значительно отличаться от среднего значения. От этого иедоггж статка избавлено н а и л у ч ш е е приближение функций, при котором максимальное отклонение от заданной функции имеет минимально возможную величину. Условия наилучшего приближе. ния впервые были указаны П. Л. Чебышевым для некоторого класса л приблвжающих функций, Согласно этим условиям отклонение от задан- Рис.
ав ной функции должно определенное число раз достигать своего предельного значения Е с последова. тельно чередующимися знаками, Геометрически это приближение характеризуется тем, что график приближающей функции Р(х) оказывается заключенным между кривыми, отстоящими от графика заданной функции Р(х) на величину ьЕ (рис. 69). В этом слу. чае приближение называют р а в н о м е р н ы и, так как отклонение от заданной функции равномерно достигает своих предельных значений Однако ве всякое равномерное приближение оказывается наилучшим.
Для того чтобы равномерное приближение было наилучшим, необходимо, чтобы число предельных отклонений было не меньше некоторого числа, зависящего от класса приближающей функции Например, если приближающая фувкпия есть многочлен степени л, то число предельных отклонений должно быть равно и.(- 2, В дальнейшем при вычислении неизвестных коэффипиеитов приближающей функции будем считать, что число предельных отклонений на единицу больше числа неизвестных коэффициентов Полученное при этом условии равномерное приближение в задачах синтеза механизмов обычно является наилучшим. Пусть, например, приближающая функция есть обобщенный полипом (19.3), содержащий я+1 неизвестных коэффициентов рь.
Число предельных откловений Е примем на единицу больше числа неизвестных коэффиииентов, Тогда получим систему и+2 уравнений, выражающих условие, что в точках предельных отклонений хс отклонение равно пс Е, РгУ с(к )+ РгУ г(к,)+ ... +Р„~с(кг) — Р(хй= с Е, (19.16) 1=!,...,я+2; с= — 1, 154 где штрихами обозначены производные по х. Общее число уравнений (19.!6) и (19.17) равно 2п+4. Число неизвестных (ре, рц ..., р„, х„хь ..., хиет, Е) также равно 2пф4. Однако решение этой системы затруднительно, поэтому прибегают обычно к методу послеловательных приближений, заключающемуся в том, что решают только систему п+2 уравнений (19.1$), счи.
тая, что значения аргумента х~ в точках прелельных отклонений известны. Выбор предполагаемых точек предельных отклонений может быть сделан по формуле Чебышена "е + з "" соз — 1=0 1 ш (19 18) хт = Несколько лучцптй результат лает формула', которая учитывает ие только число точек предельного отклонения, но и в некоторой мере форму графика заданной функции з,=0,8 (! — соз — )», 1=-0, 1,... щ, ги т т (19.19) где зт — длина дуги графика заданной функпии, измеряемая от начала участка приближения да 1-й точки предельного отклонения; з — длина дуги графика заданной функции на учао~ко приближения. Положение точек предельного отклонения при вычислении по (19.18) и (!9.!9) достаточно определить с точностью до двух илн трех значащих цифр, так как любая формула длн выбора этих точек дает лишь приближенное их расположение. Поэтому определение длину дуги з может быть выполнено графически путем замены луги з ломаной, состоящей из корд, мало отличающихся от стягиваемых имн дуг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
