Левитская О.Н., Левитский Н.И. - Курс теории механизмов и машин (1074006), страница 24
Текст из файла (страница 24)
6 (п. 3 при Л=-юю), по формулам (10.17), (!0.18) при начальных условиях 1=.0! у=ую; у=ую получаем юю зг» зую ую+2уз! — 2Тую+Лг! = лг юг 4.чг 4!а Отсгода 'Г 1- ИА 2тдз Ш +й, 215 5-Ы (Аз Аишт)(М-~- 215 АЬ 1д) Обратный переход к оригиналу по табл. 6 (п 1О, 11 н 12) дает У=с — 5'(Учсоз 5..1+ — А Ваагн ),1)+5-1' — ' юп (5.„)+В ]+ А.
А„Я + — з(п (шт — Вг), Ег И где ) ),')5 151 ХА У (521 шз)5 (,115,АА 255„21 45=.=агс1п — —,"; В, =агс1я —" шз — 'А'-'А 215 С течением вретгепи свободные и сопровождающие колебания затухают, и алпшптуда колебаний, называемых установившимися, определяется выражением А=.
1 (ы — Р)5, 1упм Перемешеиие у при статическом действии силы, т. е. при у'=у= =О, по-прежнему равно /О/)5 и, следовательво, коэффициент дина- МНЧИОСти Отсюда с„„=с,+О,бс,дт. (14.12) 11т 15 К „„=- А ) (л —.,Ногти Максимальное значение коэффициент динамичности имеет прн ш=)')У вЂ” 22', т. е, вблизи значения Ш=А. Колебания в механизмах с одним нелинейным упругим звеном. Продолжим рассмотрение динамики механизма (см.
рис. 47, б), но теперь будем считать, что приведенная жесткость с, есть нелинейная функция относительно перемешеиня у. Например, если вал двигателя соединен с ведомым валом через упругую муфту, то СА = Са+ С,У'. Лннеаризацию этого выражения на отрезке ( — А, А) выполним из условия равенства предельных отклонений с чередуюшимися знаками (рис. 49]. Тогда ордината игкомой прялгой с„а и отклонение Лш„. могут быть найдены из системы уравнений: САА СА+Ь „; Сы+ЬшАА.=-СЬ+СГА5.
Подстановка приближенного выражения коэффициента жестлости (14.12) в уравнение движения (14.5) дает р ..)- 1.,",у — — зш «4, гг (14.13) т„ где Л.,— --(се+Обе,Аз)) У„. (14.14) Амплитуда вынужденных колебаний при ы(Х дает соотношение ' л( Рчс. 80 А— г, <л,'-, .з) которое после подстановки значения Хзя из (14.14) приводит к алгебраическому уравнению третьей степени для определения амплитулы А (се+0,5г, Аз — мз/„) =- гт'. Следовательно, если искать решение уравнения (14.13) в виде 5=Аз(пыс, то возможно получение трех различных амплитуд прн одной и той же частоте ы Возможность возникновения нескольких периодических режимов при одной н той же вынуждающей силе составляет характерную особенность нелинейных систем. Иа рис.
50,а показана зависимость амплитуды А от частоты ы, или амплитудно-частотная характеристика, для случая, когда коэффициент жесткости увеличивается при увеличении силы. Пунктиром показана скелетная кривая — графвк зависимости между частотой и амплитудой свободных колебаний Сравнение полученной амплитудно-частотной характеристики с резонанснои кривой при линейном упругом звене (см. рис, 45,а] показывает, что нелинейность упругого звена приводит к возникновению колебаний с большой амплитудой при частотах вынуждающей силы, превышающих собственную частоту (затягивание резонанса в область высоких частот). Если коэффициент жесткости уменьшается с увеличением силы, то наклон скелетной кривой и амплитудно-частотной характернсти- 118 ки направлен к оси А (рнс.
50, б), что приводит к затягиванию резонанса в область низких частот. При учете трения в кинематическнх парах амплитуда колебаний при резонансе имеет конечную величину и обе ветви амплитудно-частотной характеристики смыкаются (рис. 50,а). С наклоном амплитудно-частотной характеристики и возможностью существования нескольких режимов дан!кения связана другая особенность нелинейных систем — срыв амплитуды. Представим себе, что частота ез увеличивается начиная от некоторого значения, расположенного на ветви ! (рис. 50, в). Частота может увеличииаться до значения гз=ы'. При этом значении частоты происходит срыв амплитуды и переход на ветвь д.
Если частота ы уменьшается от некоторого значения, соответствую- Рис. 5З щего ветви Л, то срыв амплитуды и переход на ветвь ! пронсходят при значении н=ы**. Отсюда следует, чта ветвь 2 соответствует неустойчивым режимам. Спектр собственных частот механизмов с последовательно соединенными упругими звеньями. Последовательное соединение жестких зненьев (зубчатых колес, маховиков и т. п.), соединенных упр)тими элементами (упругими валами и муфтами), называют цепной систем ой.
Общее число степеней свободы цепной системы равно сумме числа степеней свободы механизма с жесткими звеньями и числа упругих элементов. Например, число степеней свободы зубчатого механизма (рис. 47,б) прн двух упругих валах равно 3. Для анализа динамики этого механизма в первом приближении можно рассматривать двухмассную динамическую модель, которая при постоянной скорости вала двигателя имеет олпу колебательную степень свободы и, соответственна, одну собственную частоту. Однако при анализе резонансных режимов такое рассмотрение может оказаться недопустимым, так как резонанс может наступить при других значениях собственных частот, число которых равно числу степеней свободы.
Ме~од определения собственных частот многомассных систем покажем на примере трехмассной динамической модели, состоящей нз трех звеньев с моментами инерции уь 7ь 7з, соединенных упругими элементами, имеющими коэффициенты жесткости с, и сз (рис. 5!). За обобщенные координаты примем углы поворота валов в сечениях А (или В), С (или В) и Е (или Е): Чзь грз и зрз.
Уравнения движения при отсутствии внешних сил и диссипации энергии имеют такой вид: Угу!+ С,(Р, — еа) — --0; Узрз гз (Рз 'Рз)+ Гз(Р Рз) = 0; Узрз + сз (Рз — Рз) = О. (14.15) !19 —,',Кзлз+с, (А, — Аз)=0, — УД Аз — г,(А, — Аз)+сз(А- — Аз) — О' — /з) 'Аз+ гз (Аз — Аз) = О- (14.16) Система уравнений (!4.16), однородных относзпельно неизвестных амплитуд Ап Аз и А;, может иметь рещение, отличное от пулевого, только в случае, если определитель, составленный из ьозффицнентон ори иеизнесзнык, равен нулю: сз — /р з — с, — с г, +ге — /зьз — с, г, — lзЫ После раскрытия определителя получаем частотное уравнение, т. е. уравнение для определения собственных частот -(/з+Уз+/.) )Д+(/з/з,+/з/.ез+/з/вез+/з/зез)Х'— — /з/з/заз езхз == О где ез=1/сц ез.=1/сз — коэффициенты податливости.
Нулевой корень означает возмозкиость вращения всей системы как одного целого. Корни этого уравнения, отличные от нуля н расположенные в порядке возрастания, образуют спектр собственных частот. й \5. КОЛЕБАНИЯ В РЫЧАЖНЫХ И КУЛАЧКОВЫХ МЕХАНИЗМАХ Уравнения движения шарнирного четырехзвениика с упругими звеньямн.
В механизме шарнирного четырехзвенннка (рис. 62) считаем, что внешние силы приложены только к звеньям 1 и 3 и представлены парами сил с моментамн Мх и Мз. Инерцией зпатуна 2 пренебрегаем и, следовательно, реакции, действующие на него со стороны звеньев ! и 8, направлены по линии ВС. В этом случае шатун испытывает только деформации растяжения — сжатия и его коэффициент податливости можно определить по формуле для цилиндрических стержвей: аз=!э/Еб, где 1з — длина шатуна; Н вЂ” модуль упругости; о — площадь поперечного сечения шатуна. Коэффициент податливости вала звена 1 определяем, учитывая только деформации кручения: е,=-1,/(6/рз), где 1, — длина участка вала ззв Частное решение системы уравнений (14.16) шцем в виде Чзз — — А~ з(п (Ы;-О); чзз=дзиц (Х)Ч-О); грз=Азвп (Х(+О), т. е.
предполагаем, что в системе могут происходить колебания, при которых все обобщенные координаты изменяются по гармоническому закону с одной и той же частотой, а фазы колебаний либо совпадают, либо отличаются пан. Подставив это решение в (14.16), получим после сокращения всех членов на шц (Х1-: О) систему алгебраических уравнений звена У, на котором определяется угол закручивания; 0 — модуль сдвига, Ую — полярный момент инерции вала звена !.
Аналогично для вала звена 3: е, =-Уз/(6)гз). Уравнения движения шарнирного четырехзаенннка можно потучить из рассмотрения двухмассной динамической модели по рис. 47,а, если принять звено ! за звено приведения и определить приведенный коэффициент податливости е по формуле (14.3), которая для данного механизма имеет С вид г е„=.: е, + сгггг+ езим, где хм — переда гочное отношеипе, равное отношению угловой скорости звена ! к проекции скорости гз на лпнию ВС; и~з — передаточное отношение, равное отношению угловой скоростя звена ! к угловой скорости звена 3.
Передаточные отношения х,г Рис. З2 и им находим по формулам: гз мп (:Гз — Ю) ; им-—— гг п(т — тз> ' з х гз звз (тз \г) которые следугот из кинематического анализа шарнирного четырехзвеиинка (см. й 4). За обобщенные координаты принимаем: щ =вз — угол поворота вала двигателя, соединенного упругим валом со звеном У,' 4г=ч1— угол поворота звена !. '!огда для двухмассной динамической модели при постоянных х,г и изз, т.
е. при малых перемещениях звеньев, уравнения движения имеют внд: .У„У„=-.М,— с„(з — г,); (15.1) (У, + У,из~) т, = М,ив+ с„(аз — у,), (Уз+ Узизз) ч + сВ = Мзизг (15.2) 121 где Уз — момент инерции вращающихся частей двигателя; Уь Уз— моменты пнерцви звеньев ! и 3; с =1/е„— приведенный коэффициент жесткости. Пусть, например, звено 3 шарнирного четырехзвеннвка соединено с указателем регистрирующего прибора, Звено ! приводится в движение от двигателя, момент инерции которого значительно превышает моменты инерции У, и Уз.
Прн переводе указателя нз одного положения в другое вал двигателя останавливается в новом положении практически мгновенно, а звенья шарнирного четырехзвеинвка н указатель совершают малые колебания относительно положения равновесия. Из уравнений (!5.1) при Чз=сопз1 м 4з=ггз 'гсз или у+»у=О, где — — —; хэ= М,„. г„ г„ш -1- /игмэ При начальных условиях Г=-О,'ф=фэ, ф=О решение уравнения (15 2) имеет вид — ) сов 1(, х(лз~ / Мчим т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
