Левитская О.Н., Левитский Н.И. - Курс теории механизмов и машин (1074006), страница 22
Текст из файла (страница 22)
В!трихпунктирпой линией показано значение а в положении статического равновесия. В отличие от обычных гармонических колебаний еще до истечения времени, равного периоду колебаний с собственной частотой, скорость ползуна, достигнув значения пм перестает возрастать, несмотря иа то, что ускорение ползуна в этот момент времени остается положительным. Скорость ползуиа не может превысить скорость двиигущейся поверхности пм так как при т>пч нзлгеняется знак относительной скорости а и, и, следовательно, изменяется направление силы трения, которая из силы движущей для ползуна превращается в силу сопротивления. В этот момент времени движущаяся со скоростью пч плоскость подхватывает ползуи, их относительное движение прекращается и сила трения вновь становится силой трения покоя до следующего срыва ползуна.
Прерывистое движение пвлзуна в направляющих. Динамическая модель (рис. 43, а) путем обращения движения приводится к моде.чи, соответствующей медленным движениям ползуца в направляющих металлорежущих станков и некоторых приборов (рис. 43, а). Предполагается, что иа ползуи действует только сила трения в направляющих и сила упругости пружины 7,р, которая имитирует влияние упругости звеньев. Правый конец пружины движется с постоянной гкаростью оч, а ее левый конец получает перемещение гь отсчитываемое от положения, соответствующего началу движения палзуна массы пь Коэффициент жесткости пружины обозначен через с. Как и в предыдущем примере, считаем, что сила трения покоя 7„больше силы трения скольжения 7,.
Начало движения ползуна (срыв) произойдет, когда сила упругости пружины станет равной 7,„. В момент времени 1 сила упругости пру;кипы, которая является движущей, илгеет значение 7 г=Е,ч — с(а> — пч(), а сила трения 7, является силой сопротивлении. Поэтому дифференциальное уравнение движения ползуна имеет вид (13.12) та,=Г,„— с(г, — п~Г) — Е,.
Из >словий обращения движения видно, что перемещение ползуна а> (рис. 43, з) равно относительному перемещению ползуна по плоскости (рис. 43, а): а~ пгу — а+ в„. (13,13) Уравнение движения (13.12) после замены переменной х, на х по условию (13.13) совпадает с уравиением (13.!0). Поэтому рс шение уравнения (!3.!2) находим из решения (!3.11) после подстановки (13.13) а,=п(+г„— -,— С, Вп (В+0), (13.14) !07 где г С,==- ~/ ( „—,)'и.— -; в эгс(п вп (а,,— -,.) Ь 9 После дифференцирования по времени имеем л, =тз — хС, сов (х( —,'-6); я= хэС, з!и ((г .~-6). Графики гь г, н з, показаны на рис.
43, б пунктирными лянпямп. Сравниван двюкенне ползуна в,двух рассмотренных случаях, види«к что участку совместного дви кения ползуна (колодки тормоза) и плоскости с постоянной скоростью па соот- в) г, и г ветствует выстой ползуна в направляющих, моменту срыва колод«н — мо"л тгв мент начала движения ползуиа после выстоя 108 ит,д Риг. 44 Колебания при силах трения, зависящих от скорости скольжения. В прслыд)шпх прньщрах прслполагалось. что сила тренин не зависит от скорости скольжеиня.
Тенер: покажем, ~то учет зависимости силы трения от скорости сколь'кещ я позволяет выявить такие режимы двнгкения, которые не обнаружива1отся при постоянной силе трения. Рассхютрпм, например, возможные режимы колебаний ползуна, прижатого к поверхности, двпекушецся с постоянной скоросю,ю (см. рнс. 43, а) прн условии, по зависимость силы трения Р, ог скоростя скольжения п,,=.г, †представлена экспериментальной «риной (рис.
44, а), на которой можно отмстить значение скорости скольжения п„ь со жветствующее минимуму силы трения. Если сила трения уменьшается с увеличением скорости скольжения, то характеристику силы трения иа этом участке будем называть и а д а ющ е й, если увеличивается, то в о з р а с т а ю щ е й, Для выявления особенностей рел имов движения ползуна достаточно ззмегижь реальную характеристику силы трения ее прпблнженвым выражением, получаемым при линеаризацип участков с возрастая>щей и убывающей силой трения (рнс 44, б).
Обозначим через Р„„значение снлы Рг при скароств скольжения о, определяющеи границу между палаюшей и возрастающей характеристикой. Тогда для возрастающей характеристики Е,=- = Ег + йч (пн — г — и ), где й, — положительный коэффн пиен з, апределяющий наклон возрастающей характеристики. Соответственно для пада|ощсг( характеристики Е,=Р„+й,(п,— оо+)), тле йч— положительный коэффициент, определяющий наклон падающей характеристики. Прелположим, что вследствие случайвого толчка ползун выведен из положения статического равновесия, определяемого коорди- натой ас=ггс!с, где Гтэ — значение силы трения при скорости сколшкении, равной ц,, т. е, при а=О. Тогда ползун будет совершать колебания, характер которых зависит от соотношения между скоростями о, н о„,.
При оа) ом начало движеняя ползуна соответствует сале трения для возрастающей характеристика н уравнение движения ползуна имеет вид та+ й,я+ ел=)гы. (!3.15) При ос<с„ь т, е. для падающей характеристики, имеем глг — й„л -)-сл=Р„. (13.16) Уравнения (!3.15) и (!3.16) отличаются знаком члена, содержащего з. Если этн уравнения считать уравнениями возмущенного движения, то по знакам коэффициентов их характеристнческнк уравнений можно судить об устойчивости движения. При возрас~аюпгей характеристике силы трения все коэффициенты характеристического уравнения положительны.
Этого признака (см. 5 10) достаточно для установления асимптотической устойчивости систем, движение которых описывается уравнениями не выше второ~о порядка. Прп падающей характеристике возможно полу ~ение неустойчивых режимов, так как в характеристическом уравнении имеется отрицательный коэффициент. Такое же заключение можно сделать, решая уравнения (!3.15) и (!3.16). Для этого введем безразмерное оеремспгеппс р — -г/з, Тогда уравнение (!3.15) принимает впд т(д т,'д ~ д=- 1, (13.!7) ! де Тг — гл)с! Т~ — Й го. Прн Т,>2Гз уравнение (13.17) относится к апериодическому типу, а при Т, <27г — к колебательному. Для обычных характеристик сил трении коэффициент й» имеет небольшую величину и Т,<2Тк т. е, уравнение (13.17) принадлежит к колебательному типу и может быть представлено в форме уравнения (!3.2), где 27=)г,'оц( йз=с)т, й,=ха; х=1.
После подстановки у=у -и! она приводится к однородному, решение которого по (13.4) с учетом указанной подстановки имеет вид у=-Се-зг з!и (х„!+0)+1, где л =)ул — у; С=а/ (р,— П р '"' 'т'"а — =1 О— 3 а=асс!2 аоч т(ка — ') Возврапгаясь к переменной а при начальных условиях ус=аз/ащ уз=О, получаем !09 (13.18) »=С,е-п з«п (Хэт+ й)+»„ где гэ — », х С,= ' ' )4 В=агс18 — ' т Из формулы (13.18) видно, что ползун совершает затухающие колебания, так как показатель степени при числе е имеет знак минус, н потому коэффициент при з(п (Х.1+8) с увеличением времени 1 стремится к нулю. Скорость ползуна» получаем дифференцированием (13.18) по времени: »=Се п(д„соз(дэт+4) — Уз(п (Лье+6)].
(13.19) Исключая яремя Г из (13.!8) и (13.19) получаем зависимость »(»), графическое изображение которой на фазовой плоскости, т. е. Рнс. 4$ Рнс. 4В в координатах» и», представляется спиралью, стремящейся ь точке (»„ 0) статического равновесия (рнс. 45, а).
Указанная спираль называется фазовой траекторией системы, а точка (»,, 0) есть особая точка этой траектории, называемая у с т о й ч и в ы и фокусом. Пункт««ром показана замкнутая фазовая траектория для незатухающих колебаний прн у= — 0 и началы«ых условиях: »=»о« ' — — О. Лругой характер движения получится при падающей характеристике силы трения. В решении уравнения (13.16) показатель степенн при числе е имеет знак плюс, н потому коэффициент прн з!п (3.1»зй) с увеличением времени стремится к бесконечности, т.е. амплитуды колебаний возрастают по показательному закону. Графическое изображение зависимости »(») на фазовой плос««ости представляетсн спиралью (рис.
45, б), которая проходит через точку (»а, 0) в может рассл«атринаться выходящей из точки (»„О) статического равновесия при 1 — ьсо. Ч'очка (»ш 0) в этом случае называется неустойчивым фокусом. Следовательно, как н было показано ранее из успевай устойчивости движения, при падающей характеристике силы трения система неустойчива и после любого сколь угодно малого возмущенна происходит самовозбуждение колебанвй с возрастающими ампли- 1«о гудами. Однако это возрастание не будет происходить неограниченно, так как одновременно увеличивается скорость з и при й=оз скорость скольжения становится равной нулю (перемена знака силы трения), При обратном ходе ползуна возможен также переход на участок возрастающей характеристики силы трения.
Автоколебания. Аитоколебаниями называют колебания, поддерживаемые поступлением энергии от некозебательного источника, которое регулпруетси движением самой системы, 11од регулированием поступления энергии понимается, что силы, подвопимые к системс от источника энергии,меняются во времени в зависимости от самого движения системы и при отсутствии движения равны нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
