Левитская О.Н., Левитский Н.И. - Курс теории механизмов и машин (1074006), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Н этом случае как цикловой, так н мгновенный КПД будем считать равиымн нулю. Мгновенный КПД равен также нулю прн самоторможении. Например, для кулачкового механизма, показанного на рис. 34, момент движущих сил Яь определяемый из условна статического равновесия, т.
е. без учета сил инерции, в соответствии с (8.10) и (8.11) имеет значение Рта|э 1 йа ~ соз 3 — у ~! + — ) ми э с!" Без учета сил трения, т. е. прн 15=0, момент двихгущих сил М!2=5"!20121соз 0 и, следовательно, мгновенный КПД механизма П!2=1-1-(1+ — ~ 188. 25 1 ) Отсюда получаем, что самоторможение (ям=0) наступает при условии (9.22) 52.). мг(ггы! .)-51 !) 1111 '1151 '112 ,!2 Сага Это уравнение лгожио представить н форме дифференциального уравнения движения (9.16), если учесть соотношение 52'=йм(сов 0, которое следует из плана скоростей, повернутого иа 90' и построен. мого иа плане механизма, и приближенно считать я!2=сонэ(1 ! (52) 1 25252мг — 52 2 1!+Юг — ~ е! — — =!И! — Р~ —.
"12 2 юг 'пг 77 229= 1(гь~) ' которое совпадает с условием (8.12), При дальнейшем увеличении угла давления или коэффициента трения мгновенный КПД становится отрицательным, что соответствует перемене знака мощности внешних сил, действующих на звено /. В нашем примере при 2)12<0 для возможности равномерного или ускоренного движения надо, чтобы внешняя сила Рг, ДсйетауЮщая на звено 2, была направлена па скорости р, т. е, оба звена (1 и 2) должны быть ведущими.
Аналогично, в самотормозящелг винтовом мехаиизл!е грузо- подъемного устройства движение груза вниз возможно лишь при одновременном действии движущей силы, приложенной к винту, и лвижущей пары снл, приложенной к гайке винта. Общий КПД (цикловой или мгновенный) последовательносоединеиных механвзмов равен произведению КПД отдельных механизмов. Необходимо только следить за тем, чтобы трение в каждой кинематической паре учитывалось адин раз. Составление уравнений движения механизма с учетом трения. Общий метод составления уравнение движения механизма с учетом трения, применимый к механизмам с любым числом степеней свободы, состоит в том, что ураанения движения механизма получаются из уравнений кннетостатического равновесия начальных звеньев, если прн силовом анализе с учетом трения ускорения точек звеньев считать неизвестнымн.
Составление этих уравнений поясним иа примере кулачкового механизма, показанного на рнс. 34. Чтобы получить уравнение движения механизма с учетом трения в поступательной паре, достаточно подставить в (8.11) значение реакции 72!= †7 из (8.10), учесть мгновенный КПД 1)м по (9.22), а ускорение йг выразить через аналоги скоростей и ускорений по (4.8): Отсюда ('')' 3 у„=у,-)-Ш,— И Ме =-М,-Г,— ', Ъз ;гз т. е. КПД учитываетсн и в приведенном моменте сил, и в приведенном моменте инерции, так как силы трения зависят не только от внешних сил, но и от сил инерции.
Если приводимая внешняя сила (или сила инерции) является движущей силой, то соответствующий член в выражениях привйдеииых сил и масс умножается нв КПД, если силой сопротивления, то — делится '. Уравнения движения механизмов с несколькими степенями свободы. Для механизмов с нескалькпмн степенями свободы прн голономных связях' уравнения движения составляют в форме уравнений Лагранжа второго рода: д дТ дТ вЂ” — — — =Яг, г=1,..., а, дг дд, да; где Т вЂ” кинетическая энергия системы; ф — обобщенные координаты, число которых в голономных системах совпадает с числом степеней свободы з; Я, — обобщенные силы, каждая из которых есть сьалярная величина, равная отношению суммы возмо'киых работ снл, приложенных к механической системе, прн изменении только данной обобщенной координаты, к вариации этой координаты.
Для обобщенной координаты, имеющей размерность длины, соответствующая ей обобщенная сила мыеет размерность силы, а для обобщенной координаты, выраженной в радианах в размерность момента сил. Обобщенную силу, имеющую размерность момента снл, будем называть обобщенным моментом сил. В механизмах с одной степенью свободы обобщенная сила совпадает с приведенной силой, а обобщенный момент сил — с приведенным моментом снл. Напрггзгер, для однорядного зубчатого дифференциала, показанного иа рис. 26, уравнения Лаграажа второго рода имеют внд д дТ дТ вЂ” д дТ дТ дг д г дтг дз дсы д'и где фь фн — углы поворота звеньев 1 и 0, принятые за обобщенные координаты; ыг, ыя — угловые скорости звеньев ! н гу; Мнт, дУ,н — обобщенные моменты сил.
Кииетическаи энергия механизма при уравновешенных звеньях имеет аид Т= — (3т г,-"+уозге,+Кщтугт'ге +Зим +аз"гз) ' Лгеитгьая О. и. Састввлснне уравнений нвнмення зубчатого лнфференнвзлв с учетом трения. — Известггя вузов. М., !95а, Эа 9. ' К голономным связнм нрннвнлеыет все геометрические связи в те янфференннзльные связи, урлвнення ноторыз могу~ быть ероннтегрнроевны. где 11, Уз, Уз, Ул — моменты инерции звеньев 1, 2, 8, Н относительно осей, проходящих через центры масс звеньев перпендикулярно плоскости движения; К вЂ” число сателлитов; ш — масса одного сателлита; )))л — радиус траектории центра сателлита. Угловые скорости вз и м, могут быть выражены через угловые скорости )з) и мл (обобщенные скорости) по уравнению (6.9)) ма=из)п))м) Ч-изин)))н) Ма=из)из)м) Ч-и)во)мн.
Подставляя значения из и гз, в выРажеиие кинетической энеР~ии и гРУппиРУЯ члены, получаем з 91 =Упм)+ОУШ"1 и+Уннмзн где .Уп = У) + К Уз [ из)1 л)!'+ Уз (из))и) 1" у)и= Кузи)и)и)зй+Узи)К)ип' Уни=КУз (изй) + л)У(н+Уи+Уз(изй~ (хоэффициенты У)), У)н, Уии называют инерционным и коэ ф ф и ц и е н т а м и. В рассматриваемом примере оцн ие зависят от углов )Г) и ф». Отсюда дТ(да)=О и дТУд)рн=О После частного дифференцирования кинетической энергии по м,, мн н последующего дифференцирования по времени получаем уравнения движения механизма: Ун')+У)чзн™ д У)лз!+Уллзн™ и. Обобщенный момент снл л)У„) находится из условия равенства его элементарной работы на возможном перемещении работе всех сил, приложенных к звеньям механизма, при остановленном звене и.
Если внешние силы действуют только на звенья 1, 3 и УУ в виде паР сил с моментами Мь ЗУ) и )(Ун, то это Условие, выРахгениое через мощности сцл, имеет вид 1и) )Л) Мми)=М)и)+Мзиз нлн МН=М,+М,из) . Аналогично при остановленном звене 1 получаем -о) о) М,н и — Ми"л+Мзмз или М и=Мл+Мзизн. й 10. РЕШЕНИЕ ЛИНЕИНЫХ УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЗМОВ Типовые линейные уравнения движения механизмов с настоянными коэффициентами. Условимся в левой части линейного дифференциального уравнения движения механизма с одвой степенью свободы записывать члены, содержащие обобщенную координату )) и ее проиаводные, а в правой части обобщенную силу )') как функцию времени: аду+аз))+аву=(ХУ(у), (10.1) где коэффициенты аз, а), аз н Ь будем считать постоянными.
тэ Для рассмотрения не отдельного, частного механизьза, а группы механизмов переменные, входящие в уравнение (10.1), представляют в безразмерной форме. За модули измерения обобщенной координаты и обобщенной силы принимают их средине, номиналькые нли начальные значения дс и !,')о, Безразмерные переменные обозначим через у=у(де и х=!3(!)Я„Тогда уравнение (1О.!) принимает вид Т,'у+Ту+у=)ы, (10.2) где постоянные коэффициенты Тз и Т, имеют размерность времени н потому называются постоянными времени. Коэффициент й называют передаточным коэффициентом или коэффициентом усиления.
Иззтеиеизтя обобщенных координат (перемещения точек звеньев) происходят в механизмах под действием заданных сил. Поэтому функцию х при исследовании динамики механизмов часто называют входной величиной, а функцию у — выходной величиной или откликом системы, Прп частных значениях постоянных времени Т, и Т, получаем частные авды ураввеиия (!0.2). Среди них выделим типовые уравнения, часто встречающиеся прн рассмотрении динамики механизмов: уравнение первого порядка апериодического типа ' (10.3) Ту+у= Фх! уравнение второго порядка апериодического типа Ттуз+ Т,у+ у= йх, где Т, ) 2ТВ (10.4) уравнение колебательного типа Т.',у ( Т,у'-' у=ух; где Тт(2Тз! (10.5) уравнение ковсервативного типа ( 10.б) 7-у+д= ах. Уравнение колебательного типа представляют также в виде (10.7) уту+ 2! Ту-4- у = йх, где Т=- Тз! 1=0,5 Тт(уз. Уравнения (10.3] н (10.4) называются уравнениями апернодического типа потому, что при д=-0 выходная величина у изменяется в функции времени монотонно в отличие от уравнения колебательного типа (10.5), в котором у поочередно возрастает и убыва- ' В теории ав*оматнческого регулнрованнн говорят не о твое уравнений, а о «дннамаческнх звеньях, движение которых овнсывается данным уравнением.
Наорнмер, знерноднческое звено, колебательное звено н т. д. 80 ет. Уравнение (!06), частный случай уравнения (!0.5), названо консервативным, так как в нем отсутствует член, зависищий от скорости и выражающий действве дисснпативвых снл. Решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Линейное однородное дифференциальное уравнение порядка и с постоянными коэффициентами имеет вид д"и дт"-'1 р д р а,— +а, " + ...+а„,— "+а,у=О. (10пй) ' д Сл ' д, -1 " ' " ' де Общее решение этого уравнения есть сумма слагаемых, вид которых определяется значениями корней характеристического уравнения: (!0.9> апти+а,гн '+...
+а„,г+ал=О, Каждому вещественному корню г, соответствует слагаемое у)=Ссе'сс. (! 810) Каждой паре сопряженных комплексных корней ге=ахнаеве слагаемое У =е'в (Сзе сов Лед+Сиз!п Лвг) (10. ПУ илн у =Све ~ в!п (1.,+Вв), (10.12> где с,=та,зсь; т.=,, сыно. В случае кратных корней кратности й вместо произвольных постоянных имеем полнномы Р(С) стевенн А — 1. Например, прн и= =2 н г,=гз=г полУчаем У=(С1+Сзг)е". Пример решения уравнения движения апернодического типа. Пусть механизм приводится в движение от электродвигате.тя, для которого движущий момент дух линейно зависит от угловой скорости ы: дня=а — Ьы, где а и Ь вЂ” постоянные коэффипненты.
Тогда при постоянном приведенном моменте снл сопротивления 10, и постоянном приведенном моменте инерции Х, уравнение движения механизма имеет впд ' /„те = а — днз — Мс. (10.13) Приняв зв модуль измерения угловой скорости номинальное значение ым а за модуль измерения моментов сил постоянную ве- ' тилеие в одозневениях производных по времени опускается Нвиример, шрыс =и. в! личину М„получаем уравнение движения в безразмерной форме в виде уравнения апериодического типа первого порядка (10.14) Ту+у= Д, где Т=ун)Ь вЂ” постоянная времени; у=в(м„ вЂ” безразмерная скорость; й= (а — Мт))(Ьыч) — передаточный коэффициент. Уравнение (!0,14) приводится к однородному, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
