Левитская О.Н., Левитский Н.И. - Курс теории механизмов и машин (1074006), страница 18
Текст из файла (страница 18)
без правой части, подстановкой (10.15) р — у*+ Ь. Характеристическое уравнение (10.9) Тг+ 1=0 имеет один вещественный корень г= — 1(Т. Следовательно, общее решение уравнения (10.14) имеет одно слагаемое вида (10.10). С учетом-подстанонки (!О.!5) получаем р=-Се — от+ Ь, При начальных условиях ((=О, у=у,) имеем р=-(р,— Ь) и — пг+)г. Показатель степени прн е отрицательный и потону при ! — ьоз величина у монотовно возрастает н стремится к значению передаточного коэффициента Ь. Возвращаясь к переменной ы, получаем решение уравнениядвижения механизма (10.13) при начальной скорости м=звет а — М,т — мы„+ а — М, — ') Угловая скорость аснмптотически стремится к значению м„= = (а — М,) !Ь при Г-ьоо.
Операторный метод решения линейных дифференциальных уравмений. Если уравнение движения механизма представлено линейным дифференциальным уравнением с правой частью, то общее ре. шение этого уравнения можно представить в виде суммы в=у~+уз где у> есть решение олнородного уравнения, рт — частное решение уравнения с правой частью. В задачах динамвки механизмов частное решение рт зависит от характеристик обобщенных сил н отысканне его часто представляется затруднительным. Поэтому для решения линейных дифференциальных уравнений с правой частью предпочитают операторный (по другой терминологии — операционный) метод решения, основанный на применении преобразования Лапласа.
Идея этого метода применительна к решению системы дифференциальных уравнений с заданными функциями хс(С) н неизвестными у,(С) состоит в том, чта функции х,(г) и у,(С), называемые о р и г и и а л а м н, по определенному правилу (правилу преобразования Лапласа) заменяются функциями Х(т) и У(з) комплексного переменного з, которые называются из абра же н н я м и данны:с функций (оригиналов). В результате этой замены уравнение, дифференциальное относительно х,(С) и у,(С), превращается в алгебраическое относительна Х(з) и У(з). После решения алгебраических уравнений, т.
е. после нахождения функций У(э) псу известным функциям Х(з), возвращаемся к оригиналам у,(с) и получаем искомое решение. Оригинал )(С) связан с изображением Г(з) соотношением (преобразованием Лапласа) Р(з)= ~'у<с)е-~сбс, а где э =с . Ьс; с и Ь вЂ” постоянные. Подставляя в это соотношение простейшие функции и вычисляя интеграл Е(з), получаем табл. 6, по которой можно находить изображение по оригиналу и наоборот. В табл. 6 кроме изооражеинй простейших функций даны изображения тех функций, которые являются решениями дифференциальных уравнений движения, часто встречающихся в динамике механизмов При переходе от оригннала к изображению надо также учитывать свойства линейности этого перехода: где й — символ перехода ат оригинала к взображению.
При дифференцировании оригинала используются формулы Е [ — )'(С) ~ = зР <з) — уе <с); д дг Ь ~ — ', У<с) 1 — гУ<э) — ( Та<О+Та<с)), <(6.(6) [ дю где )е(г) и ус(с) — значения с(с) ну(г) при с<-В Динамическая передаточная функция. Динамической передаточной функпией механизма <Р(з) называется отношение изображений по Лапласу выходной величины у(С) в линейном >равнениндвижения механизма (безразмерной обобщенной координаты) к изображению входной величины х(г) в том же уравнении (безразмерной обобщенной силы) при нулевых начальных условиях.
Пусть, например, уравнение движения механизма имеет вид Т,у+ Т,у+у= Сгх. 83 Твблнпа 6 Иабр а нн« Ор с нал !)>а! Орн н л |)аа! я»образе нн Лз 55 (вг .|- Лг) л (аг — оя) л! лы саь а! — соь Лг (Ю+ ой) (аз+ Лг) Л» (»г — аг) 9 ьг -|- »г 5)с Л| Л 5|п а! — 5|п Ы (зг + аг) (Ф .! Ы) л» е з)п 5„5 55 -|- 2у5 + уг -|- | г е+у е !»со* Л 5 ! ь|п Ы ьг + 2уа + уг + Лг 2Лз (55 у лг)г е ! аап (Л„г, В|).!. + Л» 5)п ( | — Рг) ап М вЂ” Ы соь Ы 2ух» |яе,- уг — Л' + е 2уа |я аз=- Лг -|- Л вЂ” аг Подставляя в это уравнение изображения по Лапласу функций У, у н к с учетом (!0.)8), получаем Уг(5~) (5) зуа Уа!+т'л(зт(5) Уа!+У (5)=-УХ(5), где уо, ро†начальные значения функции у н ее первой производной по времени. Отсюда л ~)+, ) г, 7,55.|- т,5 |- ! Дннамнческая передаточная функция, определяемая как атно|пенне У(5) к Х(5) прн нулевых начальных условиях (ур — — О, ур= =О), Ф'(5) = тгзг -Ь т,ь Ч ! 55.|- Ы 2Л5 (Ф -|- Лг)г Л л/((зг -Ь аг) (зг + +2ув+уг 4-Л()) ' я ((уг+ Л'.— »г+ +бур г) ! не зависит от закона изиенения безразмерной обобщенной силы х(1) н начальных условий и, следовательно, является собственной характеристикой механизма, определяющей его динамические свойства.
Другими словами, динамическая передаточная функция характеризует вид левой части дифференциального уравнения движения механизма. К собственным характеристикам механизма относятся такжекннематические передаточные функции, не зависящие от закона движения начального звена. Кинематической передаточной функцией нулевого порядка, или, иначе, функцией положения, в механизмах с одной степенью свободы называется функциональная зависимость между обобщеннымн (угловымн или линейными) координатами вы ходного н входного звеньев. Первая производная функция положения по обобщенной координате входного звена называется кинематическай передаточной функцией первого порядка (передаточным отношением), вторая производная †' кииематической передаточной функцией второго порядка н т. д.'.
Кинематнческне передаточные функции механизма непосредственно определяют только его кинематические свойства. Однаио онн входят в коэффициенты уравнения движения механизма и совместно с динамическими передаточными функциями дают возможность провести качественное исследование динамических свойств механизма при любых законах изменения сил. В этом состоит достоинство операторного метода решения уравнений движения механизма.
Другим достоинством является возможность использования справочных таблиц для отыскания искомого решения ', Условие устойчивости движений. Предположим, что под действием внешних сил звенья механизма совершают некоторое движение, которое будем называть н е в о з и у щ е н н ы и. Значения обобщенных координат механизма, найденные решением уравнений движения для невозмущенного движения, обозначим через р,(У), где а=1... н. Если в некоторый момент времена происходвт внезапное изменение внешней силы нли какого-либо параметра механизма, которое вызывает соответствующее изменение обобщенных скоростей или ускорений, то дальнейшее движение звеньев можетрассматриваться как движение с измененными начальными условнямн. При этом движении, называемом в о з м у щ е н н ы м, обобщенные координаты механизма будут определяться теми же уравнениями, но с измененными начальными условиямн, а значения этих координат уш будут связаны с их значениями при невозмущенном движении соотношением Д„т=рь+Д,.
Лвилсеиие механизма называется а с и м п т о т и ч е с к н у с т о йч н в ы м, если При у — ьоо значения ро стремятся к нулЮ, и не- ' дтя сокращения текста можно опускать нрилмательиые иинематическая и динамическая», если очевидно, о каши передаточной йьуннпии кает ре ь. ". Применение операшрното метали решения уравнений движения мелаавама см. с. 1!4. устойчивым, если хотя бы одно из значений ды неограниченно возрастает.
Если значения у„, стремятся к некоторым конечным значениям, то движение механизма называется н е й т р а л ь н о у с т о йч и в ы м. Для исследования устойчивости движения меланизма предположим, что система лннейиых уравнений движения механизма приведена к одному дифференциальному уравнению порядка п отно- СитЕЛЬИО ОбОбщЕННОй КООрдИНатЫ у.
ТОГда р,=дя-уе, Гдс см ЕСТЬ решение соответствующего однородного дифференциального уравнения прн начальных условиях, соответствующих люменту возмущения. Как уже указывалось, общее решение однородного уравнения есть сумма слагаемых, вид которых определяется значениями корней характеристического >равнения. Если в этом решении какое- нибудь его слагаемое неограниченно возрастает по абсолютной величине, то возрастает по абсолютной величине н вся сумма в целом. Принимая во внимание значения показателей степени в слагаемых (10.10) и (10.1!), получаем, что присутствия одного положительного вещественного корня г, или одной пары сопряженных комплексных корней с положительной вещественной частью ал>0 оказывается достаточным, чтобы значения ре неограниченно возрасталн.
Следовательно, для асимптотической устойчивости движения звеньев механизлза необходимо н достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательную вещественную часть. Среди корней характеристического уравнения может быть корень, равный нулю, т. е. г,=б, илн пара чксто мнимых корней "=(йк.
Если при этом вещественные части всех остальных корней отрицательные, то общее решение будет вметь постоянное слагаемое или гармоническое слагаемое с постоянной амплитудой. В этом случае механизм будет нейтрально устойчив. Полученное условие устойчивости справедливо не только для линейных, ио и для линеаризованных ураннений независимо от членов выше первого порядка малости. В этих случаях говорят об устойчивости движения по первому приближению (теорема Ляпунова)'. Однако в случае нулевых нлн чисто мнимых корней лннеаризованного уравнения требуется дополнительное исследование устойчивости. Критерий устойчивости Гурвнца. Сформулированное условие устойчивости движения требует нахождения корней характеристического уравнения, что станови~ся затруднительным, если это уравнение выше третьего порядка.
Поэтому неоднократно предлагались критерии устойчивости в виде определенных правил, следуя которым можно определить устойчивость движения, минуя вычисление коРней. ' Александр Мвхвйлавнч певунов 1!857 †19) — нвтеклток н механик, создал основы теории устойзнвостн двнленнй 88 Критери(! Гурвица (!895 г.) ' основан на рассмотрении числовых значений коэффициентов характеристического уравнения (10.9) . Согласно критерию Гуреица, уравнения движения первого и второго порядка устойчивы, если все коэффициенты характеристического уравнения больше нуля. При л= — 3 дополнительно дочжио удовлетворяться неравенство (10.19) а,ах~ амтв. При п4 4 кроме положительности всех коэффициентов характеристического уравнения должно удовлетворяться неравенство аихтпв) а,а,'+а";а„.
(10.20) При равенстве нулю коэффициента а движение механизма соответствует границе устойчивости. При равенстве нулю какого-либо другого коэффициента движение механизма либо на границе устойчивости, либо неустойчиво. й 11. РЕИ1ЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕИИЙ ДВИЖЕНИИ МЕХАНИЗМОВ Численное решение уравнения движения механизма. Пусть приведенный момент сил Мв задан как функция обобщенной координаты Ч.
Тогда для определения закона движения начального звена удобно применить уравнеяие движения механизма в форме шшеграла энергии (92): 1 — (/„~т — з,лмт)=- ~ Й„бе с начальными условиями: при 1=-0, ЧГ фв, ы=мв. Из этого уравнения непосредственно получаем угловую скорость начального звена как функцию обобщенной коорлинаты ш (б,+ го мв (11. 2) )З некоторых случаях интеграл в подкоренном выражении может быть представлен в конечном виде. Однако, как правило, этот интеграл может быть найден только численными методами, и тогда искомая функция м=ю(п) представляется в виде ряда последовательных значений пРи изменении Угла гр от пв до нскотоРого аначеиия В„, определяюшего конец рассматриваемого этапа движения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
