Левитская О.Н., Левитский Н.И. - Курс теории механизмов и машин (1074006), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Прн отрицательном приращении Лх сила пруишны меньше силы со стороны штока электромагнита, что приводит к увеличению х п возврату в исходное положение, Следоватетьно, регулятор с тахогенератором, характерпстнка которого показана на рис. 41, статически усгойчнв. Однако статически устойчивый регулятор мо.кет оказаты'а динамически неустойчивым. Для проверки устойчивости двнл.еяпя воспользуемся критерием Гурвица. С этой целью состаним характеристический поливом для уравнения движения 1122.0), с имая,что М,=О (сброс нагрузки): а,г'-; — а,гтй-лег+а„=О, где Для того чтобы система была устойчивой, кроме положптельностн всех коэффициентов характеристического уравнения доно.чнитель- 100 ио должно удовлетворяться условие (10.19): агат)аоаг. В рассматриваемом случае коэффициенты аг, пь и, и а, положительны, а условие (10.19) приводит к неравенству Зг'„с — т„И ) О.
(12.9) Из условия (12.9) следует, что при 0=0 (нет демпфера) система неустойчива. Обычно стремятся удовлетворить условию (12.9) подбором коэффициента б (реже увеличением приведенного момента инерции или коэффициента жесткости пружины). Динамика центробежного регулятора. В центробежном регуляторе (см. рис. 40, а) за обобщенные коордннаты примем угол поворота яг вала двигателя и перемещение муфты регулятора з, отсчитываемое от положения, соответствующего номинальной скорости вала двигателя ая.
Если рычажный механизм центробежного регулятора выполнить как симметричный равнозвенный кривошипно-ползунный механизм ((лв=(во=(вв), то точка Р относительно отрезка АС движется по прямой, перпендикулярной ему и прожгдящей через точку С. Прн указанных соотношениях между. длинами звеньев механизма центр шара О в вертикальном направлении перемещается, как и м)фгз, на величину з. Кроче того, счгпаем, что расстояния от точек А и С ДО оси регулятора малы по сравнению с длиной 1хп=гй Тогда пз с.'2АСВ следует, что расстояние от центрз шара до осн регулятора х н перемещение з связаны соотношением х2 = — г(2 — (хг — з)2 (12.10) Абсолютная скорость центра шара оп может быть вырзгкена через ее проекции в неподвижной системе координат: Пр = (Хиг„)2+ Хг — .'г (12.11) где ы= — ф — угловая скорость вала двигателя; и — ырйч — передаточное отношение, ранвое отношению угловой скорости вала регулнтора к угловой скорости вала двигателя.
Из соотношении (12 1О) имеем хх — (зв — з) Отсюда хг=. хг л — ( 2 — «)' Следовательно, скорость по есть функция обобщенной координаты з и угловой скорости и: по — и'.2 Ф вЂ” (хг — .",2! + зг 2 дг иг (2„— -)г Обозначим через Уя — приведенный к валу двигателя момент инерции и через т — массу двух шаров. Тогда кинетнческан знер- 101 пгя механизма найдется из выражения у=О,5(1«юг+топ«) или 2Т=у„в«+ти««гг(г — («,— «)а)+, ( 12,12) агдг«а "г — («а — -)г Уравнения движении в форме уравнений Лагранжа имеют аид д дг - д дт дт д! д да д,' д" где йуа — приведенный к валу двигателя момент внешних сил; )га— приведенная к муфте регулятора внешняя сила.
Выполняя дифференцирование, получаем: «ага+шва (а(а — («а — «)«) и+2ти«э («а — «) « = М„; (12.13) а т ( а — «) -тгга а(«а — «)=Р«, (12 14) ,гг — («а — -)г (дг (», «)г)а Для исследования статической устойчивости регулятора надо в уравнениях (12.13) и (!2.14) принять ы=О, 2=0 и «=О.
Тогла пэ уравнения (!2.14) получаем — тиааа«(«а — «) =- Г„. ( 12.15) Уравнение (12.15) можно представить также в виде г'„+Г«=.О, где Р» — приведенная к муфте регулятора сала ннернии шаров. Р!а рис. 42 показана характеристика регулятора, т. е. зависимость га(«). Для центробежного маятника с равными длна нами звеньев зта эависимосгь изобража! ется прямой линией.
На том же рис. 42 показана завискмость Г«(«) лля эйланяого значения ы=-ыг Точка пересечения этого графика с характеристикой Еа(«) определяет положение муфты, т. е. перед мещение «=«„, соответствующее угловой скорости аа.=аг«,. Рас. 42 По характеристике регулятора лгожно сулить о его статической устойчивости. Пусть, например, муфта регулятора при установившемся движении ы=ыт была выведена из положения равновесия и перемещение «т получало положительное приращение Л«.
Тогда приведенная сила г'а оказывается по модулю больше приведенной силы инерции г"«. Ес.ти считать, что при этом угловая сьорость га не изменяется, то под действием силы г', муфта регулятора вернется в псхо„гное положеипс, что следует пз (12.15). Прн отрицательном приращении Л«муфта регулятора также возвращается в исходное положение и, следовательно, регулятор стаж!чески устойчив.
!02 Статически устойчивый регулятор может оказаться динамически неустойчивым. Исследование устойчивости движения системы, описываемой уравнениями (12.13) н (12.!4), представляет значительныс трудности. Однако в большинстве случаев достаточно установить, является ли система динамически устойчивой прн малых изменениях обобщенной координаты з и угловой скорости ю. Тогда уравнения (12.13) и (!2.14) могут быть сведены к одному линейному уравнению и, устойчивость движения проверяется по критерию Гурвипа. Основные направления развития общих методов динамического анализа мехамизмоа.
Современные машины харантернзуются увеличением как скоростей движения рабочих органов, так и сил, действующих на звенья механизма Сочетание этих факторов приводит к тому, что леформапия звеньев, нх упругие свойства начинают заметно влиять на лвижение механизма, его надежность и работоспособность. Если учесть упругость звеньев, то иэ основное движение, опредсляемое движением начального звена, накладываются упругяе колебания, поторые иогут принести к значительаым увеличениям нагрузок на звень».
Поэтому общие методы динамического анализа механизмов развиваются сейчас главным образом в направлении, связанном с теорией механических колебаний. Эти нолебаняя могут быть вредныии, вызывающими поломку звеньев механизма, но могут быть н полезными, когда само действие механизма основано на эффекте колебаний (внбрапионные транспортеры, сита, вибраударные машины лля забивки свай и т. п.).
За последние годы общие методы динамического анализа механизмов с учеточ колебаний были развиты а работах С. Н. Кожгвннкова, К М. Рагульскиса ' н многих другнт ученых. Кроме упругости звеньев возникла также необходимость учета действия перемснкых масс в тех механизмах, в которых периодически происхо нт нли отделение массы (зсмлерайные нашшты), или ее перераспрелеленне (намотанные механизмы). Общие методы исследования этих механизмов предложены А.
П. Бессоновым '. ГЛАВА 4 КОЛЕБАНИЯ В МЕХАНИЗМАХ 4 18. ФРИКЦИОННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В МЕХАНИЗМАХ Сведения из теории механичесннх колебаний. Механическими колебаниями (сокращенно — колебаниями) называют движение механической системы, при котором хотя бы одна из обобщенных координат или их производных, поочередно возрастает и убывает во времени. Различают свободные колебания, происходящие без переменного внешнего воздействия и поступления энергии извне, и в ы и у ж д е н н ы е, вызванные н поддерживаемые переменной во времени внешней силой.
г Сергей Нняолаевич Кажевнннов (р 1906) — автор многих работ оо динамике тяжелонагртженных машин. Казиьтир Михайлович Рагульскис (р 1928) создал чного орп'ниальиых устройств вибротекпаки * Аркалнй Иетревнч Бессонов (р. 1925) исследовал механизмы с переменными массами звеньев 108 Колебания называются пер поди ч е с к и м н, если состояние механической системы, определяемое значениями обобщенных координат и их производных, повторяется через равные промежутки врезщни.
Наимеиьштзй промежуток времени, через который повторяется состояние механической системы, называется периодом колебаний. Число периодов в единицу времени называется ч а стото й; единица частоты — герц (! Гц=!)с). Прн свободных колебаняях частота зависит только от собственных свойств системы (но не от снл) и потому называется собственной частотой. Простейшим видом периодических колебаний являютси г а р м он и ч е с к и е колебания, прн которых обобщенная координата механической системы з) прямо пропорциональна синусу от аргумента, линейно зависящего от времени; д= А юп ()у+й), (13.
Ц где А — амплитуда; й — угловая частота; й!+Π— фаза; Π— начальная фаза. Угловая частота гармонических колебаний связана с периодом колебаний !н соотношением й=-2пУ!н пли л=йл( где =-11!н — частота в Гц. В дальнейшем везде под термином «частота» понимается углован частота. Прн исследовании колебаний в механизмах вредпочнтают в уравнении двизкения иметь коэффициент при старшей производной равным единице. Тогда безразмерное линейное уравнение движения колебательног~ типа (10.5) получает вид (13.2) у+ 2И+ )зр == йзх, где у — коэффициент демпфирования (успокоения), выражающий действие диссипативных сил '; ). — собственная частота механизма прп отсутствии демпфирования (у=О). й, =дерь При свободных колебаниях (х=О) характеристическое уравнение гтй-2тгй-йз=О имеет пару сопряженных комплексных корней гз,т= — у ! У)з--уз. Общее решение уравнения (!32) согласно (10.11) н (10.!2) имеет вид у.=че —" (С, сов бр —,' С, нйп зч!) (13.3) илн (13.4) р =-Се -"' зйп (з.„1+б), где о.= )' )."' — уз — собстпеннаи частота механизма с учетом демпфирования; Сь Сз (нли С, О) — постоянные, определяемые нз начальных условий.
После дифференцирования по времени имеем Р=е т' ((Сз)з — Сз!) Сов 1,.1 — (Стх, +Сзу) з)п 1„!) (13 5) ' Днссипвтивнынн снввлтн называются силы сопротнвзсння. ззвзкншюс от слоросгсй точск квззннчсской снстзны н вызыввющвв убывание вв полной мвКвннчсской нсргзззт или У=Се-п(Л, соз(Л,Г+О) — ) ып(У„(+6)), (13.б) При начальных условиях ((=0, у=уз, у=уз) пастоинные С, н Ср, определяемые из (13.3) и (! 3.5), имеют значения С1 — Ур Сз (ур ) Ур)У (!3.7) При тех же начальных условнях постоянные С н 0 имеют значения ррх уа Уус Свободные колебания могут быть п при постоянной безразчерной силе х=х,. Тогда уравнение движения (!3.2) приводят к однородыому подстановкой (13.9) У вЂ” У,+ Ирн вынужденных колебаниях общее рещение уравнения (!3.2) будем находить по операторному методу с применением табл. б.
Колебания, вызываемые скачком силы трения. Замечено, что при торможении вращающегося илн прямолинейно движущегося звена прнжатием тормозной колодки, которая может иметь малые упру~ив перемещения, возникают колебания колодки относительно положения статического равновесия. В первом приближении возникновение этих колебаный можно объяснить скачком силы трения при переходе от покоя к движению. Пусть, например, палзун массой т (рис.
43, и) лежит на шероховатой повейхиасти, ДвижУщейса с постоЯнной скоРостью ар( а— смещение ползуиа от положения, при котором пружины не натянуты н не сжаты; с — коэффициент жесткости (суммарный — для двух пружин). Налнчие силы трения приводит к тому, что поверхность при движеыии сначала увлекает за собой ползун, и как только упругая сила пружины Ура ††становится равной максимальной силе трения покоя Утр, происходит срыв ползуна, а сила трения скачком падает до значения силы трения скольжения У,. Скачок силы тРения Ьр=ртр — Ут вызывает упругие колебания ползуиа, которые называют релаксацнонными, так как после срыва ползуна сила упругости пружины неко~орое время продолжает расти, а затем ослабевает (релаксирует). До срыва ползуи движется равномерна со скоростью а= ар Т!Осле срыва его движение определяется уравнением (13.10) при начальных условиях: (=0, а=я,, а=п,, где ач=Г„!с — сме.
щение ползуыа в момент срыва. !ОБ Введем безразмер22ое перемешение р=з/з„где 22=го/с — статическое перемешеннс пружины пад действием силы Рс. Тогда (!3.10) получает впд уравнения (13.2) при Т=О, )2=-с/лг, к=1, Лп гс Рпс. 43 В,=).'. Подстановкой у=р24-1 оно приводится к однородному, решение которого по (13.4) имеет внд у= С з!п (М+ В)+1, где С=.— ~22 (ус — 1)2+ "У; В=а!с(3 (22: — )2 — — . 22 ' уо Возврашаясь к переменной з, при начальных условиях ро —— =гп/Зс И РО=-.ОО/З, ПОЛуЧаЕМ я =С, 2!п (и+ В)+ л„ (13.11) где 222 (2„-2 ) 2 С*= ~/ (зп-з,) + — "; В=агс!я 22 "о Отсюда скорость н ускорение ползуна 2=И:, соз (В+В); з=- — 23Ссз!п (М+В). На рис. 43, б показаны графики изменения а, а и й в зависимости от времени Г, причем график а(Г) дает также в другом масштабе график изчененяя упругой силы пружины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
