Левитская О.Н., Левитский Н.И. - Курс теории механизмов и машин (1074006), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Лля того чтобы найти закон движеина начального звена, представим известную иам теперь функцию (11.2) в виде ы=-в(а), и после интегрирования получим Алввьф Гурама (ыиг1мнв, 1959 — 19!9) — иемецкма мвтемвтнк в мехвмвв. 97 Это интегрирование также выполняется численным методом. В результате находим функцию !=!(р), зная которую можно найти искомую функцию (11.4) Р=р(Г>.
Если требуется найти угловое ускорение начального звена, то продифференцировав функцию м(гр) по обобщенной координате ф,т.е., определив аналог углового ускорения, находим угловое ускорение е=ибы/69. Указанный путь определения функции (11.4> оказывается ненозможным, если ыэ=й. Тогда на участке от в='~э до ф=вр прнменнется дифференциальное уравнение движения (9.16). Из этого уравнения приор=ф, и ы=О получаем .м„(т > э (тэ>= ° гч (то) При достаточно малом приращения времени Л! для вычисления е~ и фь т. е.
следующей точки функции ф(!), применяются формулы равноускоренного движения: в~=эрро)б(; Во=во+а(фо)(й!)'(2. Далее можно вычислить интеграл (11.3) в пределах от В~ до ф или же продолжить решение дифференциального уравнения (9.!6) любым численным методом. Прн больших объемах вычислений можно воспользоваться усовершенствованными приемами численного интегрирования дифференциальных уравнений, излагаемых в курсах вычислительной техники. Если приведенные моменты сил связаны функционально с угловой скоРостью начального звена, то закон движения этого звена находится решением дифференциального уравнения (9.16), которое распадается на два уравнения: мэ а >„ ся " 2 дт (1!.5> эт я= —, дг Уравнение (!!.5) — дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции ы=ы(в); уравнение (1!.6) — дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции Ч>> ф(!). Следовательно, решая (1!.5) любым из многочисленных методов интегрирования дифференциальных уравнений, можно найти функцию м=м(г>), а затем, решая (11.6), найти закон движения ва у+ У(у, у)+ йзу=Р(Г).
(!1.7) Примем за независимую переменную безразмерное время т=л! и обозначим через ч производную бу(бт. Тогда зт лч у= йт! у=уз — в=й22 —, дв' дв и уравнение (!1.7) преобразуется к виду ля У(у, Лт) У(2) — + ' +У=— ду вг 22 или дт 2(у,ж() — у (11.8) где у (2) — у (у, лч) 8(у, 2, 2)= 22 (11,9) Функцию б(у, ч, !) для малых интервалов времени можно считать постоянной. Но если считать, что б (отсюда название способа) — величина постоянная, то в дифференциальном уравнении (11.8) переменные разделяются: тбч= (б — у)бу. После интегрирования получаем та=йбу — у'+С. Это уравнение может быть представлено как уравнение окруж- ности (11.10) 22+ (у 8)2 — ),22 где )!2=С+82. Зависимость между ч и у нли, что то же, между рой и у, получаемая нэ решения (1!.8), дает на фазовой плоскости с координатами т в у фазовую траекторию «(у).
Из (11.10) следует, что лля малого интервала времени отрезок фазовой траектории представляет собой дугу окружности с центром в точке у=б, у=О. На этом основании можно фазовую траекторию приближенно заменить лома- 89 начального звена вб ф(!). Решение в координатах и н ч2 называют решением на фазовой плоскости. Дельта-метод решения нелинейных уравнений движения механизма.
Характеристики сил, действующих на звенья механизма, как правило, известны лншь приближенно н часто задаются в графическом виде. Поэтому наряду с численными методами интегрирования уравнений движения механизма применяются также графические и графоаиалитическне. Прн силах, зависящих от времени, положений и скоростей точек звеньев механизма, используетси графоаиалитнческнй дельта- метод, который поясним ва примере решения уравнения движения механизма, имеющего вид ной, состоящей из луг окружностей, радиусы которых определяют графически или но (1!.10). Пусть, например, построение фазовой траектории начинается яз точки В» с координатами (т», у»), которой соответствует время 1=1» (рис.
37, о). По (11.9) вычисляем значение б»(у», ть Г»), чем и определяется абсцисса центра окружности О». Раднус окружности можно вычислить по (1!.1О) тт»=~' "«г(у» з») Чтобы получить следующую точку В»ю.фазовой траектории, надо через точку В» провести дугу окружности радяусом Я» из центра а) Н о, аг а, о, о, о„ а, :„. Ряс. Зт О». Протяженность дуги »»ы определяется из условия, что лля малых приращений времени Л(» дугу окружности можно принять равной длине хорды »»»ь Эту длину находим нз условия подобия треугольников О»В»О, и »ѻ»+ь очная, что угол прв вершине В» в Л О»В»В»ы приближенно равен я/2: ѻ »Πвв ов Полагая, что отрезок »»а, приближенно равен луге )7»Лу», цо- лучаем = —; отсюда за» т» м»зт» я» ь О» = а у»т».
(11.11) При малых нриращениях времени ЛГ» приращение ЛО» можно считать пропорциональным производной у» в точке В»: (11.12) Ла» =ОЛГ» = йт»ЛГ». Из (11.11) н (11.12) следует, что 90 Лт =йМе — — Дт. (1>лз> При малых значениях Луе для определения искомой точки Вею фазовой траектории можно восставнть перпендикуляр к отрезку ОеВ» в точке Вь н отложить на нем отрезок ВлВеы=)(ейЛ(е. Для построения следующих точек фазовой траектории иапо найти значения уею и тем в точке Веем Этн значения можно получить непосредственным измерением на чертеже или же вычислить по формулам У,„,.—.У,+.,Дт„; .г„,=.„+йд(Д~'>7ез-тез, После определенна у«ог и тею все построения илн вычисления повторяются На рис. 37, б показано построение фазовой траектории по точкам Вй при й=!, ..., 8.
1(ентры заменяющих окружвостей располагаются на оси абсцисс в точках Оь Искомое решение уравнения (11.7) находится интегрированием соотношения у>=йт(у), т. е. сначала определяется функция Г=Г(у) из условия е бр йт (р) а затем и функция у=у(1). Графоаналитический метод Виттенбауэра. При силах, зависящих от положений звеньев, применяется метод Виттенбаузра ', который позволяет в наглядной форме показать, как изменяется угловая скорость начального звена и кинетическая энергия механизма при изменении приведенного момента инерции. Рассмотрим, например, установившееся движение с периодом, равным 2п. На вращающееся начальное звено действует настоян. ный движущий момент сил Мд.
Приведенный к этому звену момент всех других внешних сил М есть заданная функция угла поворота начального звена тр. Требуется определить закон движения начального звена, если известно значение угловой скорости этого звена ы=гге при гр=б Решение задачи начинаем с построения графиков М„(ф) н Мп(ф) (рвс. 38, а), причем для удобства последующего определения приращений кинетической энергии откладываем М, вверх от оси абсцисс, если М вЂ” момент сил сопротивления, н вниз, если Мп — движущий момент.
Постоянный движущий момент свл Мд находим из условия установившегося движения з М„2п+ ~М„бм> В или М,=ядр,— о ' Фердинанд Внттембауер (%Юепьзпег, )йбт — )922) — мемецкэй ученый. дзэестный работами по грзфкчеекой кпкечзтнке д дикемкке мекзммзмаэ. где им и ие — масштабные козффицнемты моментов сил и углов поворота; и" — площадь, заключенная между осью абсцисс и графиком Мя(в), причем плошадь, расположенная ниже оси абсцисс должна вычитатьсн нз площади, расположенной выше оси абсцисс. а б) )и а) лт иис. зз Уравнение движении (9.1) на участке, где зу — иомент сил сопротивления д)м имеет вид дт= ('(̄— М,)бу; 6 (11,14) на участке, где М вЂ” момент сил движущих: дт= ((м,+м„) бр, е 92 где ХТ вЂ” приращение кинетвческой энергии по отношению к начальному положению, т. е, разность между значением кинетической энергии прн данном угле гр и ее значением прим=О.
По уравнению (11.14) строим график приращения кинетической энергии бТ каи функции угла и (рнс. 38, б). Для этого измеряем площадь Рз, (ммз), заключенную между графиками М» н М, з пределах от н=б до текущего значения ~р=м, (1=1, ..., !2), считая эту плошадь положительной при Ма>М, и отрицательной при Ма<Ми С учетом масштабных коэффициентов получаем 3Т= =Ра рмрч. Построение графика рекомендуется начинать с нахождения экстремумов ОТ, которые получаются в точках пересечения графиков Мд и Мс, т.
е. в точках а, Ь, с н И. Сначала подсчитываем площади' Рам Рчь, Рь, Р а и Рг. Сумма этих площадей с учетом их знаков должна равняться нулю. Затем находим ордннаты графика в точках экстремумов: У =Р Мт Уь=(Р РаьНрю Уа=(Рм Ры+Рм)фг' Уа=(Ра Рю+гь Рга))пг или Уа= Рю)нг где рт — масштабный коэффициент приращения кинетической энергии. После построения экстремумов можно дополнительно вычислить ординаты графика в других точках по формуле Ум = Робя мрг! рг. Далее по (9.8) для исследуемого механизма строим график зависимости приведенного момента инерции 1, от угла и, причем с целью упрощения последующего исключении переменной ф нз графиков У (н) и бТ(гр) располагаем координатные оси, как показано на рис.
38, в. Пересечение горизонталей, проведенных из точек графика ОТ с вертикалями, проведенными нз соответствующих точек графика Тч (рис. 38, г), дает график зависимости приращения нииетической энергии бТ от првведениого момента инерции Ум называемый диаграммой Внттенбауэра. По ней можно определвть угловую скорость м начального звена в любом положении механизма, если известно значением=аз при э=О. Если отложить значение кинетической энергии при м=-О от начала координат графика цТ(уч) вниз по оси ординат, то полученная точка Ог определит начало координат графика Т(1,). Луч, соединяющий любую точку диаграммы Виттенбауэра с началом координат От, образует с осюо абсцисс угол ф, тангенс, которого пропорционален квадрату угловой скорости и. Для доказательствв этого положения найдем из прямоугольного треугольника Оггпу и, учитывая, что Т=учмз)2, получим эх !ьр ' мз 2р <!1 15> (11,16) в=<а„, „— м м)<е,, где мр <э~ +ш>!2 <1!ПТ> Практикой установлены некоторые, очень широкие, интервалы допустимых значений коэффициента б дли различных типов машин Например, лля насосов — от 1<5 до 1)30, для двигателей инутреннего сгорания — от 1)80 до !7150 и т.
д. Если коэффициент неравномерности движения механизма, полсчитанный по (11.!6), оказался больше допускаемого, тр его мож. но уменьшить, увеличив массу одного из вращаю!цихся звеньев. Добавочная масса вращающегося звена, предназначенная для обеспечения заданного коэффициента неравномерности движения механизма, называется маховой массой. Конструктивно эта масса выполняется в ниде маховика — сплошного диска или шкива с тяжелым ободом и спицами.
Для определения необходимого момента иверцик маховика заметим, что иа оспоаанив (11.!6) и (!!.17), значения максимальной и минимальной угловой скорости начального звена связаны со значениями б и ы,„соотношениями: ы „— ымм=-бы,р, ычмх-Ь ! ыпм=2мср. Отсюда юмах= (14-056)ы р! арля= (1 056)мрр. Пренебрегая малой величиной бз)4, получаем =-<1+в>ез мз =(1 — б>аз. Подставляя мамах и ы'мм в (1!Л5), находим фмрз н фаик.' <йв..„= — <1+а> г,; <йф ы= — <! — 6>м„. рг г грт 2рг Проводим касательные к диаграмме Ъяттсибауэра под угламн зрмвх и фмм к оси У,. Пересечение касательных определит новое положение начала координат О графика Т=Т(!э), при котором коэффициент неравномерности движения механизма б и средняя угловая скорость ы,р имеют заданные значения.
Расстояние от нового Если точка Ог располагается в пределах чертежа, то, пользуясь (П.15), можно найти искомую зависимость а=и(ф) и далее закон движения начального звена, как было показано ранее. Определение момента инерции маховика при силах, зависящих от положений звеньев. Одной из кияематических характеристик установившегося лвижения является коэффициент неравномерности движения механизма б, под которым понимаетси отношение разности максимального в минимального значений угловой скорости начального звена к ее среднему значению за один период устано.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
