Левитская О.Н., Левитский Н.И. - Курс теории механизмов и машин (1074006), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Примером автоколебаиий могут служить незатухающие колебания маятника часов, которые поддерживаются поступлением энергии от движения гири или пружины. Рассмотренные фрикциоиные колебания также являются автоиолебаниями, так как они поддерживаются поступлением энергии от неколебательного источника — плоскости, движущейся с по. стоЯнной скоРостью Рз. ЭнеРгив, доставлЯемаЯ этим источником в систему, равна работе сил трения. Регулирование поступления энергии в зависимости от движения системы выражается изменением силы трения, которая при отсутствии движения равна нулю, а во время движения илн изменяется от Ртч до Рт (скачок силы трения), нлв же изменяется в зависимости от относительной ско. рости х — РФ фазовая траектории х'(г) прн автоколебаннях, вызываемых скачком силы трения, имеет вид замкнутой кривой, повторяющейся во времени (рис.
46). При салах трения, зависящих от скорости, фазовую траекторию в виде замкнутой кривой можно рассматривать как граничный нли предельный случай по отношению к режимам с затухающими или возрастающими амплитудами. $14, КО1!ЕБАННЯ В МЕХАНИЗМАХ С УПРУГИМИ ВАЛАМИ И МУФТАМИ Приведение жесткостей упругих звеньев механизма. Приведенным коэффициентом жесткости кинематической цепи называется хоэффициент жесткости звена приведения, имеющего ту же потенциальную энергию, что и заменяемаи кннематическая цепь Обратная величина называется приведенным коэффициентом податливости. Пусть, например, кинематнческая цепь состоит из а последовательно соединенных пар зубчатых колес с упругими валами. Обозначим через с, коэффициент жесткости звена 1 и через с,— приведенный коэффициент жесткости.
Если вращающие моменты Я, для звена 1 и Мч для звена приведения выражают только моменты упругих снл: М,=сбгрк 111 =с бйж где бяь — Угол закручивания звена 1; бя„ — угол закручивания звена приведения, то условие равенства потенциальной энергии до и после приведения имеет ВНД 111 » »,дт„'1»,зт, — изи М»др»= т М<Д7<, (14.1) ° !' Вращающие моменты Я и Я< связаны с передаточным отно- шением 2! и»<— й„ (!4,2) где ы„ а< — у~позыв скорости звенз приведения и звена <1 Из (14.1) я (!4.2) с учетом выражений для Я, н Я, получаем =< Отсюда находим цризеденный коэффиш<ент полат»ивости е,= !<с,< »',.
ъч «= « — Двухмассиая динамическая модель с линейным упругим звеном. Линейным упругим звеном назовем звено с постоянным приведенным коэффициентом жесткости. На рис 47,а показана динамическая модель механизма в виде двух вращающихся авеньев с приведенными моментами инерции 7» и Ую между которыми помещено линейное упругое звено с приведенным коэффициентом жесткости са. За обобщенные координаты примем угол поворота левого конца упругого звена <р», равный углу поворота ротора двигателя, и угол поворота правого конца Ч,. Если считать, что к левому концу приложен движущий момент Я», а к правому — приведенный момент Яа, то прн постоянных У» и Уа уравнения движения имеют следующий вид: (!4.3) »',т„= ̄— с„(в, — у„); (14.4> При достаточно большой мощности двигателя угловую скорость его ротора Ч<»=-« можно считать постоянной, Тогда Ч<»=мй и второе уравнение системы (!4,4) может быть решено яезависимо от первого.
Кроме того, учитывая, что угол Ч», мало отличается от угла <р». удобнее взять за обобщенную координату вместо <р» разность й<=чм — ч<». Второе уравнение систены (14.4) получает вид »'„у+с й=М». (14.5) Первое уравнение системы (14.4) служит в этом случае только для определения движущего момента Я», при котором выполняется !<з Рис. 47 где чи — угол поворота левого конца вала 1; гг'~ — угол поворота правого конца. Аналогично, уравнение движения звена 2 Учтз — — сз (тз — тз) +:И„ (14,7) где гр'з — угол поворота левого конца вала 2; мз — угол поворота правого конца. Отношение моментов упругих сил для зубчатых колес равно обратному отношению угловых скоростей, т.
е. заданный закон равномерного движения ротора двигателя. У(вижение звена с приведенным моментом инерции У в этом случае ногино рассматривать как состоящее из основного движения с постоянной угловой скоростью ы и дополнительного движения со скоростью и; которая обычно имеет колебательный характер. Имея в виду зто дополнительное движение, определяемое уравнением (14.5), говорят, что рассматриваемая динамическая модель имеет одну колебательную степень свободы, так как вторая степень свободы определяет движение всех частей модели с одной с) — Л и той же угловой скоростью. На рис.
47, б показана ,. ~ (ль""-и з „ '1 схема одного иа механизмов, †' б " ' == ~. Р,Д динамическая модель которого приводится к дзухмэссиой системе с одним линей. ным упругим звеном. Механизм предназначен для передачи вращения от вала двигателя Д к валу машины М.
Коэффициенты жесткости этих валов обозначены через с~ н сз. К звену У со стороны двигателя приложен движущий момент Яю к звену л со стороны машины — момент сопротивления ЛУ, Приведенный к валу двигателя момент инерции У„ определяется с учетом всех движущихся частей двигателя, а приведенный к валу машины момент инерции У„-- с учетом движущихся частей машины.
Моменты инеоции зубчатых колес считаем малымн по сравнению с моментами инерции У„и У,. уравнение движения звена у имеет внд Уху»= 4(х с~(т~ М (14.6) щ(т~ — т() =ивы отсюда ю (тг тг) зим + гигзпз 2 тт=т(изо с, т ггиз~ Подставляя значения углов р'~ и и'з в (14.6) и (!4.7), получаем систему уравнений (14.4) при соотношениях: 113 о. г э„=т,; ло„=топот', э'„=/„иоп М„=М,пп, с„=сосу(с,по, с ), Из этих соотношений видно, что приведение сил и масс к зве- ну 1 выполняется, как н в механизмах с одной степенью свободы. Г1риведеиие жесткостей выполняется по формуле (14.3). Колебания в механизмах с одним линейным упругим звеном. Пусть приведенный момент Я, изменяется по закону М„= М„+ Я э( и э), где Яа — среднее значение Я; Н вЂ” амплитуда его колебаний от- носительно среднего значения. Подставим Я, в (14.5) и сделаем замену переменных по=у+ —.
Тогда (14,5) принимает вид Яо о„ (!4.8) у+л'у= У,л, где !о=о„Я3 Ф,=ЛЯ„; х=з)п эп Для решения уравнения (14.8) по операторному методу заменяем оригиналы у и х на нх изображении, используя табл. 6 (п 3 при Л=м) и формулу (10.18) при начальных условиях (1=0; у=у;, У =- У о): зуо Уо+Л ) =- йо эт -1- чз Отсюда изображение искомой функпнн у оУо4Уо ог Ы ' (М сг эо) (оо Ч- Ло) где первое слагаемое зависит от начальных условий, а второе сла.
гаемое дает дивампческую передаточную функцию Обра~ный переход от изображения к оригиналу по табл. 6 (п. 3, 4 и 9) дает искомое решенве уравнения (14.8] у — у соз;г ( Уо з)пж — сйплг+ — Япэд (14.9) эш,. зо о Л(ло — 2) Ло — юо Первые два слагаемых описывают свободные колебания с частотой Л. Г!ри нулевых начальных условиях ус=ус=б эти слагаемые равны нулю. Третье слагаемое описывает гармонические колебания, происходящие с собственной частотой Х, но с амплитудой, зависящей от эынужлаюшей силы. Зги колебания сопровождают вынуж. лепные и их называют саободнымп сопровождающими колебаниями, Четвертое слагаемое описывает вынужденные колебания с частотой ы и амплитудой (14.10) А— Ло — иг которая увеличивается по мере приближения частоты ы вынуждающей силы к собственной частоте Л. При ы(Л фаза вынужденных колебаний и фаза вынуждающей силы мт совпадают, при ы)>.
противоположны, т. е. фаза вынужденных колебаний равна кц -1-и. При м=Л уравнение (14.8) принимает вид у+Лгу.=й,щп Лд Заменяя оригиналы их изображениями, получаем зг>' — зуо — у, + Л' = й, гг,- Лг ' Отсюда >г туг ЬУо > Лг ' (гг гг>г Обратный переход к оригиналу по табл. 6 (п. 3, 4 и 6) дает У=У, сов г>+ — 'ып ЛГ+ — '(з(п Лг — ЛГ соз >4), Уа аг Л 2>г т. с. в отличие от решения при го~Л слагаемое, выражающее вынужденные колебания, представлено вековым (резонансным) членом, который по абсолютной величине неограниченно возрастает во времени, если в системе нет сопротивлений трения. ()собое состояние системы при ге=-Л называется резонансом. Коэффициент динамичности.
Коэффициентом динамичности в общем случае называют отношение какой-либо величины, характеризующерг динамику системы, к значению этой величины в статике. Например, коэффициентом динамичности по п е р е м е щевиям называют отношение амплитуды вынужденных колебаний к максимальному перемещениЮ, вызываемому статическим действием силы. В рассматриваемом примере максимальное перемещение при статическом действии силы (у=пг=б), определяемое из (14.8): А„— >гг/Лг. Следовательно, отношение амплитуды А, определяемой по (14.10), к перемещению А„есть коэффициент динамичности по перемещениям >,г > В теории механизмов принято также определять коэффициент динамичности по у с к о р е н и я м, под которым понимают отношение максимального модуля ускорения выходного звена с учетом упругости авен~ее к максимальному модулю ускорения этого же звена без учега упругости звеньев.
В рассматриваемом примере максимальный модуль ускорения выходного звена при вынужденяых колебаниях а „,г Ум !ьг . г! Без учета упругости звеньев !)нюх=)юг. Следовательно, коэффициент динамичности по ускоренняы мг ! ! г — юг ! Л'-' Козффиииент динамичности по перемещениям Кхмг в зарезонаисной области (сю/Л)1) равен 1 при ы/Л= 1: 2 и при ы/Л-ьою ! 4 , ~,/ ,,ю/юла ггр,ты/л -л о л у Рчс. 4Э Рюс. 4З стремится к нулю (рис.
48,а). Коэффиииент динамичности по ускорениям Кт„равен 2 при в/Л=. )~2 и при ы/Л-ю-юю стремится к ! (рис. 48, б!. Влияние сил аязкого трения. Если н кинематическит парах трение приблихсается к лсидкостному, то момент снл трения можно считать по прибчпжевной формуле Лт,=оюр, гле Р— коэффициент вязкого сопротивления. Тогда уравнение движения принимает вид .У„т+ГэГТ! г„т=гИО+г/ з!п Фд или <!4.!1) у+2уу+Лгу= Йгх, где У=.т — (аэ!ю)с); 2! = —,'ю//,,; ) =с„)/„; Аг=И)/„; х= ып шд При у(Л, т е. прп малых силах трения, уравнение движения (!4 !!) относится к колебательному типу. Заменяя оригиналы их изображениями по табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
