Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 45
Текст из файла (страница 45)
$ 22) возможностью, не внося дополнительных погрешностей, преобразовывать эти выражения, исходя из условий нерастяжимости срединной по- верхности. Будем также считать, что геометрические характери- стики оболочки (А, В, Й„Я,) изменяются медленно, так что их производными можно пренебречь. Это упрощающее предположе- ние принимается только при оценке порядка величины переме- щений, Рассмотрим условие малости деформации дй ! дА ~е е,= — + — — о+ — =О.
Ада АВ дР В соответствии со сказанным выше, второе слагаемое несуще- ственно, и мы получаем следующую оценку величины нормаль- ного перенеоеенннг )ег) — ~ — — ~. ди А да Из условия (7.47) следует, что 1ир~ — ~и~ — 'с, ! й 1а1а где с — большое число. В выражения для х„х, перемещения и и и входят в сочеи дри тании — — —. А да' Порядок величины отношения второго слагаемого к пер- вому составляет и Следовательно, величиной — можно пренебречь по сравнеИ1 юг ,нию с —, А да Рассмотрим теперь условие малости сдвига у„— — В дб (А)+ „',' ( —,",)=О. (7.бО Так как изменяемость параметров Ламе не учитывается, поря- :.'..док величины второго слагаемого можно оценить как '«",где с )) 1 [см.
(7.47)). Такой же порядок имеет, конечно, и первое слагаемое в выра- ,'Жении (7.50). Следовательно, Теперь внесем эту оценку о и оценку (7.49) в выражение для дв углами: 0=в 2 а — 1 Вд(! ° Оценки первого и 'второго слагаемых в выражении для 6 составят Дд !Д~! ВдР с ' Вд~ ВОР !1!! ав Сопоставив эти оценки устанавливаем что — в — с ! ВЛ2! з > В да В2 т$ь раз больше, чем —, и величиной — можно пренебречь по сравне- Э Вз дв нию о —.
Вдр Используя полученные оценки, можно установить, что и в выражении для х„слагаемые, содержащие и, о, малы по сравнению со слагаемыми, зависящими от 16. Таким образом, приходим к следующим приближенным формулам параметров изменения кривизны: д / дв ~ 1 дА дв Ада ~ Ада / . АВ д~ Вдй О Ов 1 дВ дв (7.51) 1 д'в 1 дА дв 1 дВ дв х ,АВ(д д~ А дб д В д дф)' Приближенные выражения (7.51) отличаются от точных (7.48) тем, что в них не входят тангенциальные компоненты перемещения и, о. Приняв упрощенные выражения (7.51) для параметров кривизны, необходимо внести соответствующие упрощения и в уравнения равновесия.
Это следует из статико-геометрической аналогии, Наиболее последовательный путь вывода упрощенных уравнений равновесия — вариационный [11, 401. Вариацию потенциальной энергии деформации оболочки и виртуальную работу внешних сил можно представить в виде (см. (5.50) ! БУ = Ц (Т, Ба, + Т, Бз., + 5 Бу„+ М, Ьх~ + М, Бх, +, + 2Н Бхд) АВ да с$1 й' = Ц (д~ Би + д2 Бо + дз Бы) АВ 1(а ф + Я~в где БУ, — работа краевых нагрузок. Из принципа Лагранжа вледует равенвтво БП = БУ вЂ” БУ О, Подставив вместо ет, в„у,з их выражения по (5.33), а вместо параметров изменения кривизны нх приближенные выражения И4 (7.51), и выполнив необходимое число интегрирований по частям, можно привести уравнение БП О к виду БП = ) ) (В, Би + Р, М + Р, Бы) АВ ца с(р+ ~ (Ф, ~Ь + Ф, Ф) = О.
Вследствие произвольности вариаций Би, Бо, Би из условия равенства БП = О следуют уравнения Р, = О; Р, = О; Р, = О, (7.52) которые представляют собой условия равновесия элемента оболочки соответственно в направлениях 1„$„п. Из условия равенства нулю контурного интеграла следуют естественные граничные условия. Вид уравнений равновесия (7.52) можно установить, не проделывая фактически тех преобразований, которые описаны выше. В выражении для БП Р, н Р, умножаются на 6и и Бо; следовательно, вклад в эти уравнения дают только те члены выражений для БУ и 6$', которые зависят от и и и. Но согласно формулам (7.51) х„х„х„от и и о не зависят.
Поэтому моменты Л4„М„Н в первые два уравнения равновесия не войдут. Вариации Бз„бе„ ., Бузз зависят от Би, Бо так же, как и в точной теории. Следовательно, первые два уравнения равновесия в рассматриваемой теории имеют точно такой же вид, как и в безмоментной теории: д (ТзВ) + 4 д (ЗА') — — Т, + ААВ = О; д 1 д дВ (7.53) д — (Т,А) + — — (БВ') — — Тз+ узАВ = О, д, дл Так как в входит в приближенные равенства (7.51) так же, как в точные выражения общей теории оболочек, третье уравнение равновесия не отличается от уравнения проекций на нормаль в общей теории оболочек АВ ~ д (ЯзВ)+ дт (ЯзА)~ — ~ — 1; +!Гз = О, (7.54) где ! Г д дВ ! д (М Д) М + (7!!Аз)) .
АВ1 да да А др .1 ' д, = — ~ — (М,А) — — И + — — (НВ')~ 1 Г д дА 1 д АВ(др др ~ В да В. 3. Власов ввел функцию усилий $ (а, р), выразив через нее усилия Т„Т„Ю, чтобы добиться автоматического удовлетворения уравнений равновесия (7.53) при !7, = !7з = О. Основываясь на статико-геометрической аналогии, он связал УСИЛИЯ Т„Т„З а фУНКЦИЕй УСИЛИЙ 11! таК жЕ, КаК Х„Х„вЂ” Хзз связани и уравнениях (7.5!) а -и!! д д$ 1 дА дф (7.55) Ада ~Ада)+ АВ др Вд!! ' 1 дА д$ 1 дВ д$ ) 1 д~~ АВ ( дад!1 А др да В да дВ Подставляя эти выражения в уравнения равновесия (7.53) при д, = д, = О, можно, однако, установить, что указанные уравнения, вообще говоря, тождественно не удовлетворяются.
Левые части этих уравнений оказываются равными не нулю, дФ АВ дч' АВ а соответственно — — — и — — —. А да й,,йй В др Я~И~ Таким образом, точное выполнение однородных уравнений равновесия достигается только в елучае оболочек нулевой гауссовой кривизны. Приближенно эти уравнения выполняются также в том случае, если напряженное состояние быстро изменяется в направлениях обеих координатных'линий.
При этом погрешность уравнений существенно меньше отдельных их слагаемых, пропорциональных третьим производным от функции !р. Более точное выполнение уравнений равновесия может быть достигнуто, если функцию усилий ввести о помощью следующих соотношений, отличающихся от (7.55)." о ~ о~» ~ 1 дВ д~~ Ф Вд(! (, ВдР /+ АВ д Ада + гР, ' д Г д~(~ '! 1 дА д$ Ф Ада ~ Ада)+ АВ д(! Вд!1 + йй 1 дА дФ 1 дВ д~(~ ) АВ да дд А др да В да д1! Подставив выражения (7.56) в первое из уравнений (7.53) и положив д, = О, найдем поеле несложных преобразований — (Т1В) + — — (ЯА') — — Т, = !~ — ~ — ') . д 1 д дВ о ~ ! да 1 А др да ~ да ~ ЩД~ При вычиелении использовано соотношение Гаусса Аналогично, погрешнооть второго уравнения (7.53) еоставляет д / ! $Л вЂ” ~ — 1. Как видно из полученного результата, е помощью дР ~ РФ~ у' функции усилий, заданной еоотношениями (7.56), удаетвя точно выполнить однородные уравнения равновесия не только для обо- 336 лочек нулевой гауссовой кривизны, но и для оболочек постоянной гауссовой кривизны (например, сферических).
Приближенное удовлетворение уравнений достигается при произвольной геометрии оболочки, если напряженное состояние ее изменяется быстро хотя б ы в одном н а и р а в л ен и н (так как погрешность пропорциональна Ф, а отдельные слагаемые уравнения содержат производные )]) по обеим координатам). Рассмотрим теперь уравнение (7.54) проекции сил на нормаль к злементу. В выражение для силы 9, подставим значения моментов через параметры изменения кривизны (при атом толщину оболочки й считаем постоянной): Их1 + д(ВхВ) В] — (хВ + рх7) + 1, (хмА )3 Преобразуя это выражение, получим Р Ьд дВ ~), = — ~ — 1(х, + х,) В] — — (х, + х,) д 'дВ ! д — (1 — д) ! — (А,В) — — А,— — — (А А')]].
(7.5В) да да А дй Вычислим величину (х, + х,), подставив выражения х~ и хВ через и) из (7.51): х, +х, = — ЧВи), где ЧВы — оператор Лапласа в криволинейных координатах: Ч'в — „[ — ( — — ) -(- — ( — — )], (7,59) Тогда первые два слагаемых в выражении для Я, запишем в форме Р ! д дВ 1 д — ~ — 1(х1 + х,) В] — — (х, + х,) ~ = — Π— (7Ъ), АВ 1,да да 1 ' ~ Ада Подставляя (7.51) в выражение, заключенное во вторых прямых скобках равенства (7.58), приведем его.к виду д -дВ ) д — (В.,)- — »,— — — (.
В')] = да да А др Ад [д (Ад ) ( дд (дд))] Ад АА,' где использовано равенство Гаусса (7.57). Таким образом; окончательно получаем ЗЗ7 Аналогично, Так как Чйий содержит вторые производные в по и и р, то при б трой ианениеиоети те в панов ие направлений (Ри );~ йЛ2 — сй, причем с )) 1. Поэтому вторыми слагаемыми в выражениях 92, 92 можно пренебречь и принять Яй = — 0 А д~, (йА'Ю); Я2 —— — й ' ~~~ (У~а), (7.60) д, д Вычислим теперь величину — + —, входящую в уравнет, т, йй йй ' ние равновесия (?.54), Заменив Т, и Т, их выражениями (?.56) через функцию напряжений, получим 1 д дф 1 дА дФ н,[ла(Ад)рАВар Вар ил, Преобразуем это выражение о учетом соотношений Кодаццн (4.54).: Тогда — ' + — ' = Чйй[й -[- — ~ — + — 1 ф, (7.62) Яй йй Яйлой йй йй ) где Ч» — специальный оператор В.
3. Власова; Нетрудно установить, что при выполнении условия быстрой изменяемости (7.47), вторым слагаемым в формуле (7.62) можно пренебречь и принять 1 + 2 ~д~ (7.64) ~т1 атй Подставим эту величину и значения Я, и Я по формулам (7.60) в уравнение равновесия (7.54); тогда АВ ( е' [ А е' <Р' ~) А ер [ В ар <Р' 4 + Р'Р ззв Выражение о множителем 0 представляет собой оператор Лапласа от 7'в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
