Главная » Просмотр файлов » Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций

Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 45

Файл №1070924 Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций) 45 страницаБидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924) страница 452017-12-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 45)

$ 22) возможностью, не внося дополнительных погрешностей, преобразовывать эти выражения, исходя из условий нерастяжимости срединной по- верхности. Будем также считать, что геометрические характери- стики оболочки (А, В, Й„Я,) изменяются медленно, так что их производными можно пренебречь. Это упрощающее предположе- ние принимается только при оценке порядка величины переме- щений, Рассмотрим условие малости деформации дй ! дА ~е е,= — + — — о+ — =О.

Ада АВ дР В соответствии со сказанным выше, второе слагаемое несуще- ственно, и мы получаем следующую оценку величины нормаль- ного перенеоеенннг )ег) — ~ — — ~. ди А да Из условия (7.47) следует, что 1ир~ — ~и~ — 'с, ! й 1а1а где с — большое число. В выражения для х„х, перемещения и и и входят в сочеи дри тании — — —. А да' Порядок величины отношения второго слагаемого к пер- вому составляет и Следовательно, величиной — можно пренебречь по сравнеИ1 юг ,нию с —, А да Рассмотрим теперь условие малости сдвига у„— — В дб (А)+ „',' ( —,",)=О. (7.бО Так как изменяемость параметров Ламе не учитывается, поря- :.'..док величины второго слагаемого можно оценить как '«",где с )) 1 [см.

(7.47)). Такой же порядок имеет, конечно, и первое слагаемое в выра- ,'Жении (7.50). Следовательно, Теперь внесем эту оценку о и оценку (7.49) в выражение для дв углами: 0=в 2 а — 1 Вд(! ° Оценки первого и 'второго слагаемых в выражении для 6 составят Дд !Д~! ВдР с ' Вд~ ВОР !1!! ав Сопоставив эти оценки устанавливаем что — в — с ! ВЛ2! з > В да В2 т$ь раз больше, чем —, и величиной — можно пренебречь по сравне- Э Вз дв нию о —.

Вдр Используя полученные оценки, можно установить, что и в выражении для х„слагаемые, содержащие и, о, малы по сравнению со слагаемыми, зависящими от 16. Таким образом, приходим к следующим приближенным формулам параметров изменения кривизны: д / дв ~ 1 дА дв Ада ~ Ада / . АВ д~ Вдй О Ов 1 дВ дв (7.51) 1 д'в 1 дА дв 1 дВ дв х ,АВ(д д~ А дб д В д дф)' Приближенные выражения (7.51) отличаются от точных (7.48) тем, что в них не входят тангенциальные компоненты перемещения и, о. Приняв упрощенные выражения (7.51) для параметров кривизны, необходимо внести соответствующие упрощения и в уравнения равновесия.

Это следует из статико-геометрической аналогии, Наиболее последовательный путь вывода упрощенных уравнений равновесия — вариационный [11, 401. Вариацию потенциальной энергии деформации оболочки и виртуальную работу внешних сил можно представить в виде (см. (5.50) ! БУ = Ц (Т, Ба, + Т, Бз., + 5 Бу„+ М, Ьх~ + М, Бх, +, + 2Н Бхд) АВ да с$1 й' = Ц (д~ Би + д2 Бо + дз Бы) АВ 1(а ф + Я~в где БУ, — работа краевых нагрузок. Из принципа Лагранжа вледует равенвтво БП = БУ вЂ” БУ О, Подставив вместо ет, в„у,з их выражения по (5.33), а вместо параметров изменения кривизны нх приближенные выражения И4 (7.51), и выполнив необходимое число интегрирований по частям, можно привести уравнение БП О к виду БП = ) ) (В, Би + Р, М + Р, Бы) АВ ца с(р+ ~ (Ф, ~Ь + Ф, Ф) = О.

Вследствие произвольности вариаций Би, Бо, Би из условия равенства БП = О следуют уравнения Р, = О; Р, = О; Р, = О, (7.52) которые представляют собой условия равновесия элемента оболочки соответственно в направлениях 1„$„п. Из условия равенства нулю контурного интеграла следуют естественные граничные условия. Вид уравнений равновесия (7.52) можно установить, не проделывая фактически тех преобразований, которые описаны выше. В выражении для БП Р, н Р, умножаются на 6и и Бо; следовательно, вклад в эти уравнения дают только те члены выражений для БУ и 6$', которые зависят от и и и. Но согласно формулам (7.51) х„х„х„от и и о не зависят.

Поэтому моменты Л4„М„Н в первые два уравнения равновесия не войдут. Вариации Бз„бе„ ., Бузз зависят от Би, Бо так же, как и в точной теории. Следовательно, первые два уравнения равновесия в рассматриваемой теории имеют точно такой же вид, как и в безмоментной теории: д (ТзВ) + 4 д (ЗА') — — Т, + ААВ = О; д 1 д дВ (7.53) д — (Т,А) + — — (БВ') — — Тз+ узАВ = О, д, дл Так как в входит в приближенные равенства (7.51) так же, как в точные выражения общей теории оболочек, третье уравнение равновесия не отличается от уравнения проекций на нормаль в общей теории оболочек АВ ~ д (ЯзВ)+ дт (ЯзА)~ — ~ — 1; +!Гз = О, (7.54) где ! Г д дВ ! д (М Д) М + (7!!Аз)) .

АВ1 да да А др .1 ' д, = — ~ — (М,А) — — И + — — (НВ')~ 1 Г д дА 1 д АВ(др др ~ В да В. 3. Власов ввел функцию усилий $ (а, р), выразив через нее усилия Т„Т„Ю, чтобы добиться автоматического удовлетворения уравнений равновесия (7.53) при !7, = !7з = О. Основываясь на статико-геометрической аналогии, он связал УСИЛИЯ Т„Т„З а фУНКЦИЕй УСИЛИЙ 11! таК жЕ, КаК Х„Х„вЂ” Хзз связани и уравнениях (7.5!) а -и!! д д$ 1 дА дф (7.55) Ада ~Ада)+ АВ др Вд!! ' 1 дА д$ 1 дВ д$ ) 1 д~~ АВ ( дад!1 А др да В да дВ Подставляя эти выражения в уравнения равновесия (7.53) при д, = д, = О, можно, однако, установить, что указанные уравнения, вообще говоря, тождественно не удовлетворяются.

Левые части этих уравнений оказываются равными не нулю, дФ АВ дч' АВ а соответственно — — — и — — —. А да й,,йй В др Я~И~ Таким образом, точное выполнение однородных уравнений равновесия достигается только в елучае оболочек нулевой гауссовой кривизны. Приближенно эти уравнения выполняются также в том случае, если напряженное состояние быстро изменяется в направлениях обеих координатных'линий.

При этом погрешность уравнений существенно меньше отдельных их слагаемых, пропорциональных третьим производным от функции !р. Более точное выполнение уравнений равновесия может быть достигнуто, если функцию усилий ввести о помощью следующих соотношений, отличающихся от (7.55)." о ~ о~» ~ 1 дВ д~~ Ф Вд(! (, ВдР /+ АВ д Ада + гР, ' д Г д~(~ '! 1 дА д$ Ф Ада ~ Ада)+ АВ д(! Вд!1 + йй 1 дА дФ 1 дВ д~(~ ) АВ да дд А др да В да д1! Подставив выражения (7.56) в первое из уравнений (7.53) и положив д, = О, найдем поеле несложных преобразований — (Т1В) + — — (ЯА') — — Т, = !~ — ~ — ') . д 1 д дВ о ~ ! да 1 А др да ~ да ~ ЩД~ При вычиелении использовано соотношение Гаусса Аналогично, погрешнооть второго уравнения (7.53) еоставляет д / ! $Л вЂ” ~ — 1. Как видно из полученного результата, е помощью дР ~ РФ~ у' функции усилий, заданной еоотношениями (7.56), удаетвя точно выполнить однородные уравнения равновесия не только для обо- 336 лочек нулевой гауссовой кривизны, но и для оболочек постоянной гауссовой кривизны (например, сферических).

Приближенное удовлетворение уравнений достигается при произвольной геометрии оболочки, если напряженное состояние ее изменяется быстро хотя б ы в одном н а и р а в л ен и н (так как погрешность пропорциональна Ф, а отдельные слагаемые уравнения содержат производные )]) по обеим координатам). Рассмотрим теперь уравнение (7.54) проекции сил на нормаль к злементу. В выражение для силы 9, подставим значения моментов через параметры изменения кривизны (при атом толщину оболочки й считаем постоянной): Их1 + д(ВхВ) В] — (хВ + рх7) + 1, (хмА )3 Преобразуя это выражение, получим Р Ьд дВ ~), = — ~ — 1(х, + х,) В] — — (х, + х,) д 'дВ ! д — (1 — д) ! — (А,В) — — А,— — — (А А')]].

(7.5В) да да А дй Вычислим величину (х, + х,), подставив выражения х~ и хВ через и) из (7.51): х, +х, = — ЧВи), где ЧВы — оператор Лапласа в криволинейных координатах: Ч'в — „[ — ( — — ) -(- — ( — — )], (7,59) Тогда первые два слагаемых в выражении для Я, запишем в форме Р ! д дВ 1 д — ~ — 1(х1 + х,) В] — — (х, + х,) ~ = — Π— (7Ъ), АВ 1,да да 1 ' ~ Ада Подставляя (7.51) в выражение, заключенное во вторых прямых скобках равенства (7.58), приведем его.к виду д -дВ ) д — (В.,)- — »,— — — (.

В')] = да да А др Ад [д (Ад ) ( дд (дд))] Ад АА,' где использовано равенство Гаусса (7.57). Таким образом; окончательно получаем ЗЗ7 Аналогично, Так как Чйий содержит вторые производные в по и и р, то при б трой ианениеиоети те в панов ие направлений (Ри );~ йЛ2 — сй, причем с )) 1. Поэтому вторыми слагаемыми в выражениях 92, 92 можно пренебречь и принять Яй = — 0 А д~, (йА'Ю); Я2 —— — й ' ~~~ (У~а), (7.60) д, д Вычислим теперь величину — + —, входящую в уравнет, т, йй йй ' ние равновесия (?.54), Заменив Т, и Т, их выражениями (?.56) через функцию напряжений, получим 1 д дф 1 дА дФ н,[ла(Ад)рАВар Вар ил, Преобразуем это выражение о учетом соотношений Кодаццн (4.54).: Тогда — ' + — ' = Чйй[й -[- — ~ — + — 1 ф, (7.62) Яй йй Яйлой йй йй ) где Ч» — специальный оператор В.

3. Власова; Нетрудно установить, что при выполнении условия быстрой изменяемости (7.47), вторым слагаемым в формуле (7.62) можно пренебречь и принять 1 + 2 ~д~ (7.64) ~т1 атй Подставим эту величину и значения Я, и Я по формулам (7.60) в уравнение равновесия (7.54); тогда АВ ( е' [ А е' <Р' ~) А ер [ В ар <Р' 4 + Р'Р ззв Выражение о множителем 0 представляет собой оператор Лапласа от 7'в.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
18,64 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6521
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее