Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 47
Текст из файла (страница 47)
В узкой зоне краевого эффекта напряжения и деформации меняются очень быстро. Поэтому в этой зоне можно использовать уравнения Э 35.. Дополнительные упрощения получаются в том случае, если изменяемость напряженного состояния в направлении нормали к границе оболочки существенно больше, чем вдоль границы. На. этом предположении и основана теория краевого эффекта. Предположим, что границей (или линией резкого изменения геометрии, или скачка нагрузки) является р-линия. Тогда сделанное допущение можно записать в виде ~ — ~ )) ~ — ~, д1 ! ! д1 Ада ~ ~ Вд0 где ~ — любая из переменных (перемещений, внутренних сил), а оцениваются максимальные значения функций. а44 Прн данном условии в выражении оператора Лапласа д .'д дд д л дд )) Лд[д (Л д )~ д~(д д~ Палее, можно пренебречь изменяемостью геометрических характеристик оболочки (В, Р,) в узкой зоне краевого эффекта.
В этом случае однородные уравнения, соответствующие уравнениям (7.69), получают вид д д д дв 1 д д$  — — — + —— — 0; Ада Ада Ада Ада Я, Ада Ада (7.78) 1 д д д д$ 1 д дад ЕЛ Ада Ада Ада Ада Кд Ада Ада Как уже указывалось, здесь можно пренебречь изменяемостью 1 кривизны — в зависимости от а. В теории краевого эффекта рассматриваются лишь быстро !зменяющиеся функции. Поэтому при интегрировании уравнений '7.78) следует отбросить линейно зависящие от а произвольные рункции (эти функции характеризуют медленно изменяющиеся 1еремещения и усилия, которые учитываются безмоментным ! чисто моментным решениями). Интегрируя дважды второе из ~равнений (7.78) и отбрасывая произвольные функции, найдем — — = — И д дФ ЕЛ Ада Ада К, (7.79) Подставляя это выражение в первое из уравнений (7.78) ! учитывая, что Ада = дз„приведем его к виду ддв 12 (1 — ~Р) — + ги =О, (Щ! 1ф2 (7.80) де под' Яз подразумевается его значение на границе.
Уравнение 7.80) отличается от уравнения осесимметричного краевого эф!екта в цилиндрической оболочке только тем, что в него входит можно пренебречь вторым слагаемым и полагать лдд (л д)' 1 Предполагая, что кривизна — сечения а = сопз( не мала, можно точно так же пренебречь вторым слагаемым в операторе (7л а (7.63) и принять Чю1~ — — — — . я 1 д / В д1~ АВ да [,А1~, да~ (7.77) ч а с т н а я производная от 1в, так как эта функция меняется и по координате з (но медленно). Решение уравнения (7.80), затухающее с удалением от края и = О, имеет вид ш = е — "-' 1~, (з2) соз тз, + 12 (з2) соз тз, 1, где 1,, 12 — медленно изменяющиеся функции; 4 1 т = у' 3 (1 — 14') =.
~'а,ь Вычислим внутренние силы и моменты, а также перемещения и, о, возникающие при краевом эффекте. Из зависимостей (7.51), связывающих параметры изменения кривизны с перемещением в, находим, пренебрегая изменяемостью геометрии оболочки в зоне краевого эффекта и полагая дв дв д2~~ . — ~( — х = — — ' х =0 к, =О. дв2 дг д2 з 2 1 2 Отсюда следует М, = — Р—,; М, = 14М,; Н = О. д2~~ дз1~ Функцию усилий $ определим двукратным интегрированием д2и первого уравнения (7.78): 4р= — Я2Р—,. д,' ' Усилия Т„Т„5 связаны с функцией 4р равенствами (7.56), которые при сделанных допущениях об изменяемости функций приводят к выражениям д2$ дв Еа Т, ж — = — К2Р— = — В. 2 2 .,4 1 дв, д2, й2 (7.81) Т, =О; 3=0.
Поперечные силы определяются формулами (7.60), из которых следует д'~о д,= — Р—; ()2=0. дз Из анализа, проведенного в ~ 35 для случая быстро изменяющихся в одном из направлений деформаций, следует, что при краевом эффекте тангенциальные перемещения и, о несущественны по сравнению с нормальным перемещением м. Выше была изложена теория краевого эффекта, возникающего вблизи границы, совпадающей о р-линией. Аналогичные выкладки можно провести и в том случае; если: граница не совпадает о линией кривизны. При этом получаются такие же уравнения, о той лишь разницей, что з, совпадает с границей, з отмеряется на срединной поверхности по нормали к границе, а Я2 заменяется на % — радиус кривизны нормального сечения оболочки, проходящего через границу 1291.
Таким образом, в данном случае основное уравнение краевого эффекта принимает внд д4и~ — 4+4т" =о, д5~ (7.83) 4 ! где т = У 3 (1 — р') =, 1' г,'ь Величина т характеризует изменяемость решения в направлении з1. Так как основной гипотезой, на которой основана теория краевого эффекта, является гипотеза о быстрой изменяемости функции п~ в направлении з, (по сравнению с изменяемостью в перпендикулярном направлении), то величина т не должна быть малой.
Отсюда, в частности, следует, что изложенная теория не может быть использована в том случае, если граница оболочки, около которой возникает краевой эффект, совпадает а асимптотической линией т. е. о линией, на которой †„ = О . ~2 В том случае, если рассматриваемое напряженное состояние быстро изменяется не только в направлении нормали к границе оболочки, но и вдоль границы, для расчета следует использовать теорию, изложенную в ~ 35.
$ 37. Расчет оболочек вращения, усиленних шпангоутами В реальных конструкциях тонких оболочек, в частности оболочек летательных аппаратов, в местах передачи на оболочку внешних сосредоточенных нагрузок узтанавливаются усиливающие кольца — шпангоуты. Это делается для того, чтобы разгрузить оболочку от изгиба и приблизить ее напряженное состояние к безмоментному. В этом случае и расчет оболочки можно часто выполнять по безмоментной теории, причем при составлении уравнений совместности деформации оболочки и шпангоута учитывают только тангенциальные (и, а) перемещения оболочки. Рассмотрим пример расчета сферической оболочки, усиленной шпангоутом в диаметральной плоскости (рис.
7.5). Центр тяжести поперечного сечения шпангоута лежит в срединной р поверхности оболочки. К шпангоуту приложены две противоположно иаправленные силы Р. Лля того чтобы оценить роль изгиба оболочки, учтем его, пользуясь теорией краевого эффекта. Итак, расчет проведем в следующих вас. т.з 347 п редположениях: 1) шпангоут бу- дем считать нерастяжимым; 2) обои, лочку будем рассчитывать на основе безмоментной теории, дополненной краевым эффектом.
~б Рассмотрим в отдельности кольцо %б г б (шпангоут) и две полусферические оболочки н приложим силы их у взаимодействия (рис. 7.6). Пусть в а сечении верхней оболочки 0 имеется сдвигающая сила 54, поперечная сила Яб и изгибающий момент Мб. По симметрии точно такие же внутренние силы возникают в Рнс.
7.6 нижней оболочке. Интенсивности нагрузок„приложенных к кольцу, составляют Ч~ = 2~о' д„— 2(~ + д„~, где д„б — интенсивность внешней нормальной нагрузки на шпангоут. Моменты М„ передаваемые на шпангоут с верхней и нижней оболочек, так же, как и силы Т,б, взаимно уравновешиваются.
Рассмотрим верхнюю полусферическую оболочку. Приложенные к ней силы 3, и Т„вызывают безмоментное напряженное состояние, сила Я, и момент М, — краевой эффект. На нижнем срезе оболочки 0 = — по аимметрии отсутствуют осевые 2 перемещения и и угол поворота д,. Окружные (и) и нормальные (ы) перемещения должны равняться соответствующим перемещениям точек шпангоута. Задачу будем решать в форме тригонометрических рядов по угловой координате ~р. Начало отсчета угла ~р совместим с плоскостью, проходящей через ось симметрии конструкции и силу Р.
В этом случае деформации будут симметричными относительно меридиана <р = 0 и в рядах Фурье будут присутствовать только слагаемые с номерами, кратными двум: и = ~ и<„соз Ьр; п =,~~~ и„, зла Ьр, 2=2. 4. б,, „ й — 2, 4~ бе ° ° ° СО „, ',Я 4а„,соз7лр 2=2, 4,3, ° ° . и т.п. Безмоментная задача для полусферы при уеловии а~ „ = 0 была рассмотрена в ~ 31. Там было установлено, что амплитуды Я перемещений о„„4а,„„д4м при 0 = — авязаны а интенсив- пастью нагрузки Я„», зависимостями (6.35) и (6.36): (верхний индека ' указывает на то, что зти перемещения относятся к безмоментной задаче). Внутренние силы в оболочке определяются формулами (6.34). Перемещения, соответствующие краевому аффекту (они отмечены индексом (1)), связаны е усилиями такими же формулами, нак при осесимметричном краевом аффекте: ~п ~~о Ме 2~Ю 2ро):) ' ю1 = — —— П.
Мо Юо. Щ 2рЧ) ' 4 о ! где р = 1~3(1 — р') =. ~ь' Приведенные формулы пригодны при произвольном (в пределах справедливости теории ираевого эффеита) законе распределения нагрузок и перемещений в зависимости от угла «р. В частности они пригодны и для каждого из членов разложения нагрувок и перемещений в ряды Фурье. Таким образом, амплитуды суммарных перемещений края оболочки, соответствующие А-му члену разложения, Д () +И) 2ао — 1 <Оо ' '> ЕЬ Ь(И вЂ” Ц* Л () +')о) Ьо Юо и1 Мо(м . он =: ооИ ЕН Ао ) + 2Рз0 2Ро)Э > () + И) )Ио см 9о ои ~1<оо = ~ооп ЕЬ а+ —— Щ 2рЧЭ Переходим к расчету шпангоута.
Дифференциальное уравнение его изгиба в авоей плоскости (см. $34) где ) — момент инерции сечения шпангоута. Нагрузками для шпангоута являются силы, передаваемые с оболочки, и внешние сосредоточенные силы Р. Нагрузки, передаваемые с оболочки, уже представлены в виде разложения в ряды Фурье. Разложение двух сосредоточенных сил (см. ~з 7) имеет вид Таким образом, интенсивности приложенных к шпангоуту сил р, = — 25, = — 2 ~ 5„~,з)п Ьр; 1=2,4,6, ... д„= — 2Я,+ ~„~= ~~)) ~ — 2Я,<„+ — „~ ) созе 2Р й 2, 4, 6, ... (постоянная составляющая в д„, несущественна).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
