Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 50
Текст из файла (страница 50)
7.13) равенством М' Р)т. Если торцы пру. живы свободно поворачиваются (как в механизме приборов, см. рис, 7,8), то М" = О, т. е, -=2-(1 — К(З[П'а+ [!СОЗйа)'[+ + — К(1 — [!) (21п'сс+ рсоа*а) з1п 2а = О. )7 Это уравнение связывает постоянные Ь и в, через которые по формулам (7.88) выражаются ход пружины б и угол взаимного поворота ее торцов О. Исключая Л и а из этих зависимостей, получим связь между О и б при растяжении пружины без ее закручивания: О= — ~(~а+ — ') = (! л Фа б в1п и !! — К+ К(! — Р)'сов'а1 Я соса [1 — К -[- К (1 — Р) соР а [2 — (1 — !!) сов'и[) ' 7.102 Из этой зависимости следует, что отношение окружного пере- мещения ОЛ к ходу пружины б зависит от угла подъема винтовой линии а и от величины — л!Ь вЂ” (3 (1 — р,'))'~~ = соз а, определяющей значение К.
При больших ХК вЂ” О, и угол поворота торцов определяется !! формулой О 1да при Рпс. 7.13 Рис. 7.12 к виду 6 (1 — р) ело асоза (7.10З) 2 — (1 — р) соФа ' Выражение (7.103) совпадает с результатом, полученным для пружины с вытянутым прямоугольным сечением, если рассматривать ее как пространственный кривой брус. На рис. 7.14 показана построенная на основе формулы (7.102) Кч) зависимость передаточного отношения — от угла подъема сс 6 при различных отношениях ) Гь На основании полученных формул нетрудно полностью описать упругие характеристики пружины, т. е.
зависимости между б, 0 и воздействующими на пружину нагрузками Р, М". Эти зависимости имеют следу!ощий вид: 6 = Ь„Р + 6, М"; 0 = 6,„Р + б,сМ"; где 12л (1+ р,) ДЧ 1 — К [1 — (! — р) сна]Г ЕЫР ! — К [1 — (1 — ф)соз4 а) ' !2л (1+ )ц ЯЧ . 1 — К [! — (! — р)'соз4 а] и!~ — — ом —— з1п а ЕЫР ! — К [! — (! — И') соз' а] 12л (1+ л) )ст 1+ (1 — 2р) соР а — К Мп' а [1+ (! — р) созс а] Еьо' сов а 1 — К 1! — (! —, р~) соИ а] В каждом частном случае нагружения пружины, вычислив б м Л и О, можно найти — и —,, а затем и все внутренние.
силы и напряжения в пружине. Такой анализ, проведенный в работе [12] для растяжения (М" О) пружины при большом Х (К = О), пока- зал, что характер распределения внутренних сил по ширине ленты соответствует показанному на рис. 7.15. В этом случае наиболее опасной является точка, лежащая на : внутренней поверхности ленты вблизи ее края. Эквивалентное напряжение в этой точке (по теории максималь- ных касательных напряжений) У о =60 РК В~В ~ Ыс сов а С учетом больших перемещений задача расчета ленточных пружин рассмотрена в работе [171, 2 + 7 хо Ю ЮИ Рис, 1.!4 Рис, 7.15 Глава 8 Мягкие оболочки Мягкими называют оболочки, которые веледотвие весьма малой толщины стенки всегда испытывают только безмоментное напря. женное состояние и не могут воспринимать сжимающих напряжений.
В последние десятилетия мягкие оболочки получили широкое применение в технике и строительстве. Конструкции а надувным каркасом и воздухоопорные оболочки используют в качестве складских помещений, ангаров, выставочных павильонов и т. п. Мягкие оболочки необходимы во многих судовых конструкциях ~481. В космической технике их применяют в шлюзовых устройствах на пилотируемых орбитальных кораблях, в скафандрах космонавтов и даже в качестве надувных спутников.
Мягкие оболочки приобретают способность сопротивляться внешним нагрузкам после предварительного нагружения ~внутренним давлением для надувных конструкций или предварительным натяжением для гибких покрытий, тентов и т, п.). В связи с этим возникает задача о деформации предварительно нагруженных мягких оболочек (см. ~ 40). Если усилия и деформации, вызываемые в такой оболочке дополнительной нагрузкой, малы, то удается построить линеаризованную систему уравнений, допускающую эффективйое решение. Наиболее простой вариант теории мягких оболочек — это теория, базирующаяся на предположении о нерастяжимости оболочки. В этом случае конфигурация нагруженной оболочки считается известной и совпадающей о начальной.
Тогда задача об определении внутренних сил в оболочке оказывается статически определимой, и интегрированием уравнений равновесия (см. гл. 6) можно найти силы Т„Т„Я. После их определения необходимо проверить положительность минимальных нормальных напряжений в срединной поверхности. Так как нормальные усилия в главных направлениях определяютая равенством т, + т, Ттаа ~ Ю оп то для того, чтобы было Т, - О, необходимо выполнение неравенства Т1Т вЂ” Б' ~ О. Если указанное неравенство не выполняется, то это свидетельствует о том, что при условии недеформируемости стенки оболочки в ней возникают усилия сжатия.
Так как тонкая стенка мягкой оболочки при появлении сжимающих усилий сразу теряет устойчивость, невыполнение неравенства (ТтТв — Яа ~ 0) означает ошибочность принятых при расчете предпосылок. Как показывает опыт, па оболочке в этом случае образуются складки. Обычно складки бывают столь мелкими и так часто расположенными, что поверхность оболочки в складчатых зонах можно считать гладкой. При этом следует учитывать, что в нормальном к складкам направлении имеются деформации сжатия, а растягивающие усилия действуют вдоль складок. Поэтому складчатые зоны называют также зонами одноосного напряженного состояния или одноосными зонами. Сложная нелинейная задача расчета одноосных зон и определения их границ получила удовлетворительное решение только для симметрично нагруженных оболочек вращения. Автору известна лишь единственная попытка приближенного решения этой задачи для неосесимметричной оболочки '.
~ 39. Расчет диафрагмы, нагруженной давлением Рассмотрим деформации круглой диафрагмы из нелинейно- упругого материала, нагруженной давлением. Величины перемещений и деформаций не будем ограничивать. Предположим, что в центральной части диафрагмы имеется жесткий центр, нагруженный силой Р (рис. 8.1). Под действием нагрузки диафрагма превращается в оболочку вращения. Имеем следующие геометрические соотношения и уравнения равновесия (см. 2 11): 1 дй . 1 а1по йг и'г — — — — — = соз О; — = з1п О; (8.1) Я» Ы» ' Д» г ' ол (8.2) (8.3) В этих уравнениях все размеры относятся к деформированной оболочке.
Так как деформации мембраны предполагаются большими, удобнее вместо деформаций в„е, ввести в расчет степени удлинения Х, = 1+ е, и Хе = 1+ з„которые представляют «См. Головня Г. И., Молчанов А. Г. О форме равновесия мягкой оболочки с начальной геометрией в виде правильного тетраадра при действии внутреннего давленая. — «Изв. АН СССР. Механика твердого тела», 1973, »'З 2, с. !13— !21.
еобой отношение размеров деформированного элемента к первоначальным, т. е, Л,= — '; Л, — ', (84) Я ° где р — раеатояние от центра до точки на недеформированной мембране. Закон упругости для материала мембраны при плоском напряженном состоянии можно в общей форме ваписать следующим образом: Т, - й|, (Л„Л,); Т, = Ь)' (Л„Л,), (8.5) Ряс. 8.1 где й — начальная толщина оболочки. В общем случае наиболее аффективным методом решения задачи является численный.
Поетроим алгоритм такого расчета. ! 1 В уравнение равновеаия (8.3) податавим вначения —, —, И2 й2 1 219, Т и решим его относительно — = —; 1 Я2 42 ' 2Ю паз Т + 2~1пО ~ + Р ~-~ ° 2Й Т2 ~ ~ Рлк~ ) Далее, исключая из уравнений (8.4) р, получим уравнение аовмеатноати деформаций Ю.2 СО2 9 Ц Л2 Й ~ Й2 Систему, еоетоящую из уравнений (8.6); (8.?) и уравнений сЬ 42 дз — соз 0; — з1п 0; Ж можно проинтегрировать, если из уравнений упругости (8.5) в явной форме выразить Т, и Л, через Т, и Лз. Так как в общем случае уравнения упругости нелинейны, то сделать этого нельзя. Поэтому поступим следующим образом.
Продифференцируем уравнения (8.5) по з; тогда Подставляя на основе уравнения равновесия (3.28) — (Та — Т,)— йту сок 0 ву — = сов О вд е б1г — з1п О бдб т (8.8) дЛ, соя О Ц, бй уЛ, ' Л! Кроме этих пяти дифференциальных уравнений, при расчете учитывают следующие алгебраические: Рассмотрим порядок расчета. Расположим начало отсчета дуги з на границе жесткого центра.
Здесь при г = а, Ха = 1. Чтобы получить необходимые начальные условия решения задачи Коши для уравнений (8.8), достаточно задать в этой точке еще только один параметр, на. пример Х,. В самом деле, зная Х, и Х„по формулам (8.5) определяем Т, и Т„а по формуле (8.2) — з1п О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
