Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Подставляя значения д, и д„в дифференциальное уравнение изгиба шпангоута, найдем о = ~) и,„,„) з1п Ьр, ))=2,4,6,... где 2 Р )) /~~ ошп)) а (а) 1)) ) ~о( )+Юа) ~,~,) Р) ° Нормальное перемещение шпангоута определим из условия его нерастяжимости СО аОц) и) = — — = ~) и) и,) соз Ьр, дз) )) з 4,з где 2 у Р 1 1~~ и) = )) )))а 1)а ) ~о <и+ Ю(и ~а / и~ ' Условия совместной деформации оболочки и шпангоута имеют вид, г)<щ — г)ш <~р™п)~)~) — ®))) <~р б) <д) В связи о нерастяжнмостью шпангоута второе из этих условий можно заменить условием отоутотвия деформации ез на краю оболочки, т.
е. откуда Выпишем это уравнение и уравнение О,,»> = О: (>+») > ~ Юо(д) масл) ~ О. о лл> Е>> + дв 1 ~рзд вр>Р /— (1+») Мо сл> Юо и) ~е лл> Е1 й+ — — = О. РР 2рЧ? Этн равенства позволяют выразить Я„<л> и М,<л> через Я,,л>.' 0 и= — ~. и еа 4~~И' >-> (> з (7.84) Мл >л> = ч>> <л> Ф ~~~. 1+>> > Е>> Подставив полученные выражения Я,>л„М,,л> в уравнение о>л> = о <л>„получим следующее равенство: Я (1+ р) 2л2 — 1 2Ял <ь> ю ОП Еа 1> (Эа Ц а> (~,2 1>л а(1+и) ~~~ф ~~' Е6 ~ Е,/ В пределах применимости теории краевого эффекта й (( ~~ — „, чГ~~ так как в противном случае не выполняется требование более медленной изменяемости функций в окружном, чем в меридиональном направлении.
Поэтому в формулах для 9, оп и М,,л, следует пренебречь й 4 по сравнению о ~Я = ~3(1 — р') ~> — „, что равносильно не- учету угла поворота О, при безмоментном состоянии по сравнению о углом О„вызываемым краевым эффектом. Тогда откуда +р) 8 1+ 4(3ЮЯ+ Второе слагаемое-.в знаменателе этой формулы после подста- 4 а ненни анааени р = т'3 д — р') = принимает нид )р й Й(1+р) ~а 1,/ 6 Й(1+р! ЕЙ 1' 1~ 4т-З (! Из этого выражения 'следует, что оно мало по сравнению е единицей и им можно пренебречь.
Таким образом, амплитуду усилия следует вычислять по формуле ЙР 1 ~о !Й>— ,! 1 + —, (1 + р) Й (Й~ — 1) (2Й' — 1)— 2 КЙЙ В полученную формулу не входит изгибная жесткость оболочки. Отсюда следует весьма важный вывод: тангенциальные усилия взаимодействия между шпангоутом и оболочкой можно вычислять без учета краевого эффекта, приравнивая тангенциальные перемещения шпангоута и оболочки, вычисленные на основе безмоментной теории.
Учет краевого эффекта необходим только для определения нормальных усилий Я„М, и напряжений в оболочке. Подставив Ю„Й, в формулы (7.84), найдем ЙР 4()Чр)де 1 (нР !Й! д1~ ЕЙ ! 1 + — (1+ р) Й (Й' — 1) (2Й' — 1) —,„ ЙР 2~~РР 1 ж ЕЙ 1 р 1+ — (1+ р) Й (Й~ — 1) (2ЙР— 1)— 2 КФЬ Анализ формулы для радиальных перемещений шпангоута показывает, что слагаемое, зависящее от поперечной силы Я„ имеет порядок г!р — (по сравнению с остальными), и, следова- еГЙ- я тельно, прогибы шпангоута можно рассчитывать без учета краевого эффекта, полагая 2 / ЙР ~ 1~» Й (Йд — 1)~ ~ о 1~! + я1~ / Е3 2РУ 1 ФФ атЕ,( (Йд 1) д 2 1+ а вэй 1+р Й(Йд — 1) (2Йд — 1) 352 Таким образом, 1 1' (аа 1)а 2 1 )аай СОЗ Й'Р 1+ 1+)а )а (Йа — 1) (2/Р— 1) (7.85) Второе слагаемое в знаменателе каждого члена ряда отражает влияние оболочки на прогибы шпангоута, так как прогибы свободного кольца, растянутого двумя силами, составляют а=а, 4.
6. Формулой (7.85) можно пользоваться только в том случае, если относительная жесткость шпангоута у%ай достаточно велика, так как в противном случае не выполняется предположение о более медленной изменяемости прогибов оболочки в окружном направлении по сравнению с меридиональным. Обратим внимание на харакхер изменения членов ряда (7.85) в зависимости от Й при малых значениях У%ай. В этом случае с ростом Й слагаемые сначала растут, а затем быстро убывают. Значение Й = Й„при котором соответствующий член ряда максимален, можно найти, исследовав на максимум по Й величину (у,а 1)а 1+ 2 1 дай (1+)а) й(аа — 1) (2И вЂ” !) 1 Пренебрегая при таком исследовании единицей по сравнению Язв та~5 а Йа, получим Й ~4(1+)а) ~ 1 Лля того чтобы расчет на основе теории простого краевого эффекта был справедлив, необходимо, выполнение неравенства чl ~~ Й, ( 1г — „.
Отсюда вытекает следующая примерная оценка для минимального момента инерции шпангоута, при котором можно пользоваться приведенными формулами: 7 > Й' 1/ ЯЙ. Перейдем к анализу напряженного состояния оболочки. В ее срединной поверхности действуют. касательные силы (см. 2 31) е ц» 2 50 по 3!а а 0 З(П ЙЧ 12 в, л, ввдерввв и нормальные 1<У<У в 2 ~о<и —,„, соз((<Р TБ = — 7-1 Фю где Б — дуга меридиана, отмеряемая от шпангоута; Б 2<< ~ — — Й' () )у/3(1 — )22)=, ) в )' е С учетом того, что Я, = 2рМ, [см.
(7.84) 1, формула для (бу<') может быть предетавлена в виде '1 — / Л Ъ ы<'> — '".' (/ 2е='е соз ~~Б — — '), 2()2(у Моменты М, и М определяютвя равенствами д2<4 а" / дп 4. М, — Π—, — М„)/ 2Е-ве СОБ ~рз+ — '); М, )2М,. Возникающая валедатвие краевого эффекта сила <ууа а а ТБ" Еу( — =, ' ')Г2е-"а соБ(рэ — — ") = )да 2Р20Н ~ 4 ) аыб<Ф) (1 + )ь) соз аь<1' 2' 2е ~ соБ (<дя 4 ) ° 2=2. 4, б, Подсчитаем напряжения в точке оболочки, примыкающей к шпангоуту в месте приложения нагрузки (<р = О). В срединной поверхности возникают напряжения т, О~ — ' — — ~ 56 <2) а ь <а=2 4, б.
Р 12 — У' 4<ЯЬ 1+ — (1+ (2) уу (й4 — 1) (2<22 — 1)— 1 2 2-2,4,6, ... й2Ь Т3+ ТУ ' Р (2+)2) ог ' „— )( Х 1 2 2 4 6 2 Ф 1 1 (1 1 2) 2(дг 1)(2(2 1) йЧ <2=2, 4, 6 Сила 96 и момент Мб вызывают изгиб стенки, причем вблизи места втыка оболочки со шпангоутом возникают прогибы краевого вф4екта (адедует учеать, чта в мечте стыка е — а ) <а<'! =. — "' е-"созрэ — — ')/2е-ба соз ~рэ+ — '~, 2~2() ~~~~~ ( 4 12 Напряжения изгиба 6' пай г' 1 — Р1 6О Х Ф ! Ф 1+ — (1+и) А(/Р— 1) (2Й~ — 1)— ь=ю,4,6, ... (уи цоЯ 2 ~ 1' Как видно нз приведенных формул, напряжения изгиба имеют такой же порядок, как и напряжения в срединной поверхности.
Напряжения в шпангоуте определяются по величине максимального возникающего в нем изгибающего момента ОФ = — Рй %=2. 1, Ь, йс — 1 1+ 2 1 Я'6 1+ Р а (И вЂ” 1) (2И вЂ” 1),! Ьс — ! !+и 1+ —,д(а" — !) (2и — 1) —, !!д! Е'г Х Ю 2 ХЮ'г ~Ю'2 Г а га ~Уги Рис. ? 7 355 На рис. 7.7 показаны зависимости подсчитанного по приведенным выше формулам отношения прогиба шпангоута ю РЯ» л~ — 8 к прогибу свободного кольца ж = — — и отношения макев ЕУ 8д симального изгибающего момента в шпангоуте к моменту в раста РЯ нутом двумя силами свободном кольце М„= — „от отношения lЯ'Ь. Приведенный пример позволяет сделать некоторые общие выводы о расчете оболочки, подкрепленной шпангоутами.
Если 'нагрузки приложены к шпангоутам, и шпангоуты достаточно жестки (1 > Ь'~/ КЬ), то при расчете тангенциальных сил взаимодействия оболочки и шпангоутов можно руководствоваться безмоментной теорией. При этом используются только условия равенства тангенциальных перемещений оболочки и шпангоута. Учет тангенциальных сил достаточен для оценки жесткости и прочности шпангоута. Для расчета напряжений в оболочке следует дополнительно учесть краевой эффект. Усилия краевого эффекта определяются из условия совместности нормальных перемещений и углов поворота 6,. При весьма малой жесткости шпангоута и нагружении его сосредоточенными силами изложенный алгоритм расчета неприменим, так как скорости изменения усилий и перемещений в меридиональном и окружном направлениях вблизи места приложения , нагрузки имеют одинаковый порядок.
В этом случае для сферической оболочки хорошие результаты могут быть получены совмещением безмоментного решения и быстро изменяющейся части решения на основе теории пологих оболочек (см. ~ 35). Для цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами и нагруженной силами, приложенными к шпангоутам, несоответствие в нормальных перемещениях шпангоута и оболочки, раасчитываемой по безмоментной теории, обусловлено только поперечными деформациями. Это объясняется тем, что для ненагруженной давлением цилиндрической оболочки Т, = О и в, = -т, — ц —.„'. Поэтому, если положить р = О, получим з, = О. Это значит, что оболочка деформируется совместно а нерастяжимым шпангоутом. В этом случае необходимости учета краевых эффектов не возникает, Впрочем, и без предположения р = О возникающие краевые эффекты оказываются несущественными для прочности оболочки. Поэтому в практике цилиндрические оболочки, подкрепленные шпангоутами, рассчитывают по безмоментной теории (9 1.
$ 38. Раечет ленточных пружин Цилиндрические пружины, навитые из ленты, находят широкое применение в машиностроении (буферные пружины) и в приборостроении. В приборах их используют как механизм для преобразования поступательного движения во вращательное. Такое устройство показано схематически на рис. 7.8. Оно состоит из двух пружин с различными направлениями навивки. При растяжении. пружин втулка поворачивается на значительный угол.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
