Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Рис. 7.8 Пружина представляет собой цилиндрическую оболочку со свободными краями по винтовым линиям. Безмоментное состояние оболочки невозможно, так как ввиду отсутствия распределенной нагрузки Т2 = О, а 7! и 5' обращаются в ноль вследствие однородных граничных условий на винтовых краях оболочки. Поэтому приближенное решейие задачи может быть получено путем наложения чисто моментного напряженного состояния оболочки и краевых эффектов около ее границ, идущих по винтовым линиям.
Учет краевых эффектов позволит выполнить граничные условия на этих границах. Введем две системы гауссовых координат на срединной поверхности оболочки: 1) систему главных координатных линий х, у, причем х-линии направлены по образующим цилиндра, у-линии по окружностям; 2) систему ортогональных координат з„ зз, причем линии' з, = сопз1 представляют собой семейство винтовых линий, конгруентных винтовым границам полосы, а линии з, = сопз1— . семейство винтовых линий, им ортогональных. Взаимное расположение координат х, у н з,, з, на развертке одного шага срединной поверхности пружины-оболочки показано на рис. 7.9, где Й— радиус образующего цилиндра; 1 — шаг навивки пружины; х— угол подъема винтовой линии; Ь вЂ” ширина ленты. Как следует из рисунка, координаты связаны зависимостью х = з~ соза + з~ з1п сс; ' у = — з, з1п сс + з, соз сс.
Ь В координатах з„з, оболочка занимает область )з,1 ( —, а в координатах х, у У Ь ~ х соз сс — у 3!и я ~ =с з * В координатах х, у параметры Ламе А =В=1, а ! 1 О кривизны — = — = О; йл йз ! — — — В коорди- йр й~ й ' натах з„з,А =В= 1; ! з1а'я „! соус! ь 1 ° й ' й.' й Рис. 7.9 Рассмотрим деформацию оболочки без растяжения срединной поверхности. Условия отсутствия деформаций в ерединной поверхности получают вид ди' з = — =О' х= Дх Д~~о ~о е = — + — =О; ду й (7.86) Дио Д~>о у = — + — =О. Л9 Ду При деформации без растяжения срединной поверхности последняя остается поверхностью нулевой кривизны.
Учитывая симметрию задачи, приходим к выводу, что эта поверхность остается круговым цилиндром, но измененного радиуса: Я, = =Я+А. Таким образом, нормальное перемещение в этом случае в' = сонэк = Л. Подставляя эту величину во второе из уравнений (7.86) и интегрируя по у, найдем о - — — у+ Ь(х). ц а д' Лалее, из третьего уравнения (7.86) й = — Ф (х) у + Ф (х). После подстановки з первое уравнение устанавливаем, что ~р1 (х) О ф2 (х) О. Отбрасывая несущественную постоянную в выражении для перемещения и', получим окончательно следующие выражения для перемещений при изгибании пружины без деформации срединной поверхности: о' — — у — ох; ~ы' = Л, (7.87) й= иу; 6=и'(х~, у~) =а 2лК; Π—,.' 2п1( — +вфа)~ о'(х~, у~) ./ Л (7.88) здесь 0 — уменьшение угла обхода пружины при ее деформации, где ы = — $1(х)' = сапам. Ход пружины б и взаимный поворот ее торцов В определяются значениями и' и о' при х = х, = 2пИ 1ди, у = у» = 2пИ, где ( — полное число витков пружины, т.
е. Параметры изменения кривизны, соответствующие перемещениям (7.87), д'в' хх=, =0' дх' ~а д2уо Л х' (7.89) ~/ Х~ ду ду~ Д~ ' д'-'в' 1 до' м дхду+ Р дх 1~ ' Изгибающие и крутящий моменты Л, М„= В(х;+ рх„') = — )г —,; М„' = В ~х„+ пх„) = —  —,; С7.90) Н -М:„=ВΠ— р.)х.,= — В~) — ) ) — ". й ' Так как моменты при данном виде деформации постоянны, то поперечные силы К = Я„' = О, и из уравнений равновесия следует Т„' = Т' = 8' = О.
Таким образом, рассматриваемое напряженное состояние в самом деле является чисто моментным. Это напряженное состояние не удовлетворяет граничным условиям на винтовых границах ленты. Чтобы убедиться в этом, вычислим моменты в сечениях оболочки з, = сопз1, з, = сопз1. При этом воспользуемся формулами М1 = М,' созза + М„з1п' а — М;„з)п 2а; о М1г М~у соз 2а + ' 2 " з1п 2а; М3 = М, з|п' а + М„соз' а + М„у з! и 2 а. а) Рис.
7.10 Подставляя значения М;, М , М;„ получим щ — )) [ —, ! и со во а -)- ып' а) — —, )1 — и) я)п 2а| ! о Г О2 Л М) — 0(1 — 12) ~ — соз 2а — — 2зшасоза п)я — )) [ —, )сов'а ~п ввп а))- — )! — 2)ввп2а|. (7.91) (7.93) Таким образом, для того чтобы пружина-оболочка испыты- вала чисто моментное напряженное состояние, по ее винтовым границам должны быть приложены изгибающий и крутящий мо- менты М~ и М12 (рис. 7.10, а).
Наличие постоянного по з, крутящего момента не нарушает граничных условий. В соответствии с известным приемом он мо- жет быть заменен сосредоточенными силами, приложенными в уго ВИ22 ловых точках на концах ленты, и сдвигающеи силои Т)з = —, Н', (рис. 7.10, б).
Влиянием последней можно пренебречь. Для того чтобы устранить момент М! на свободных краях ,ленты, наложим на полученное напряженное состояние напряжен- ное состояние, соответствующее нагружению пружины 'такими же, но противоположно направленными, моментами. Определим это дополнительное напряженное состояние на основе теории краевого эффекта, которая здесь тем более приме- нима, что требование — ~) — выполняется строго, так как мод7 д~ д22 д22 мент М1 по длине кромки постоянен и, следовательно, от з, не зависит. Поэтому дифференциальное уравнение (7.83) можно записать в полных производных — + 4т~вп) = О, (7.92) ! Перемещении и силы, относящиеся к краевому эффекту, от- мечены индексом (1).
Учитывая, что ширина ленты может быть малой по сравнению с зоной затухания краевого эффекта, в решении уравнения (7.92) сохраним как возрастающую, так и убывающую части решения. Решение следует подчинить граничным условиям з,-= — ',; М[!)= — М2; ф"=О. Из этих условий следует, что в<') должно быть четной функ-. цией з,. Выразим ее через функции А. Н. Крылова; вп) = С,К, (тз,) + С,К, (тз,), 1 где К, (тз1) = сЬ тз1соз тз„К, (тз1) = — зй тз1з)п тз,, г раничные условия (7.93) приводят к зависимостям Определяя С, и С2 из этих условий, получим окончательно следующее выражение: (ц '% К4 ()') (( ( (тй() — дс (~) ((с (т51) в ' к,(х) к,(х)+4к,(х) к (х) (7 95) где Х = — тб; К2; К, — функции А. Н.
Крылова (см. ~ 12). Краевому эффекту соответствуют следующие внутренние силы и моменты: ~с ,(дс — 1 ф1) Д И~с е ичины М, и ф нетрудно вычислить, воспользовавшись правилами дифференцирования функций А. Н. Крылова. Существенный интерес представляет определение силы и момента, воздействующих на пружину. С этой целью подсчитывают ; момент, действующий в осевом сечении пружины (рис. 7.11, а). .
Этот момент имеет две составляющие: крутящий, момент М" . и изгибающий М . Изгибающий момент, обусловленный действием в сечении момента М„, с 2 сос сс (7.9б) 2соса Сложнее определение крутящего момента (рнс. 7.11, б), который складывается из момента от распределенных крутящих .моментов М,„, момента поперечных сил Я„и момента, создаваемого приложенными в угловых точках силами Мс(2, которые появи- лись в результате устранения крутящего момента иа винтовых границах полосы. Таким образом, о 2 сОьй ©~' х~) "" — М1з сов я 2 со'.и В выражения (7.96) и (7.97) еледует подетавить М =~~ Мч+ Мц", М.„ц ~ М„"у-!- М„'д'! Я, ~Яц" М',"' М1о з!и'и+ М~" соз-'и (з|п'и+ ц соз'и) МР', МУ,' ° (МУ' — М1") з!пи соз и = — (! — р) з!и и соз аМР', (?.98) К"' — ф" з!пи.
Так как интегрирование ведется по еечению д = сонэк, то в интегралах формул (7.96) и (7.97) можно перейти к переменной '4я1 8~ интегрирования з„подетавив дх = —,; х В результате приведем формулы (7.96) и (?.97) к виду ь 2 Ми = М' — + (з1п'и+ р соз'а) — ! М11' дзп ~ соз и сОБ и ь М вЂ” (М„', + М„) — — —...
~®"з~дз1+ + (1 — ц) з!и и ~ ЛЯ" бзь а Интеграл ~ 0"'з~ дз1 вычислим по частям а учетом того, , ) ФМ(1> что (~Ц" = —; тогда ~Й1 и интегрирование выполнять при р = сопз!. Моменты и поперечную силу краевого эффекта в еечении найдем, воспользовавшись формулами поворота ь г О("з! (з,=М1 1з, ~ — 1М1" с(з,= ЬМ; ь ь ь г =г г Д222111) 1)2211 Π— сЬ! = — 22!' 1)22 2!21 ь ~ МР1дз! = — В Подставляя выражение (7.95) и воспользовавшись правилами дифференцирования функций Крылова, найдем ь ~ М 11' г!з! = — М2ЬК (А), ь (7.99) где ! 4К$ ()2) + К1(Х) ! с!1 2) — созе ( ) Х К, !Х) К, !))+ Кь (Х)К,(А) ) ' )2+ 2)2 лад )2= — — — У З(1 — )2) — сова.
Ж~ (7.100) График зависимости К (Х) показан на рис. 7.12. Формулы для моментов М" и М" принимают вид м" = ' [м — (з)ига+ )ьсоз'а) К(х) Щ; М" = — (М.22+ М22 — М! 1да) — М1ЬК(Л) Х х [(1 — 2) Ип -~- После подстановки значений М,"„М;'„, М1, (7.90) и (7.91) получаем ьп !а М2 ~, [1 — К (3!П2а+ !1 СОЗга)2)+ + ~ (1 — )2) з!и 2а (з!и' а+ р созь а) К; 363 где учтены граничные условия (7.93). ь Входящий во все формулы интеграл ) МР1 дз! вычислим, вось .г 2)22Ь111 пользовавшись зависимостью М1" = — 1') . Следовательно 1)221 ! Ь0 Г Л а фа[1 К(1 (1 — р) созфа))+ (7.[О[) + 2(1 — [!) — [1 — ((1 — р,) соз'а+1) з1п'аК[ . Момент М" равен приложенному к пружине внешнему моменту, а момент М" связан с приложенной к пружине продольной силой Р (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
