Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 52
Текст из файла (страница 52)
д(Т~г) . Т, Т,, — — ТзсозО=О; — + — — р= О. дВ 375 Подставим выражения (8.16) в уравнение равновесия (3.13) и учтем, что 5„5, являются малыми первого порядка малости и поэтому их произведениями на величины, зависящие от пере- . мещений, можно пренебречь. Тогда В результате подстановки придем к векторному уравнению [в овсов 0- 00 — т совр+ т(0 иио+ в"')+дс1в",о. 0 Тв(и 0-и0сово+СГ)  — ~ — + — + Т,' — + Т,'~ — + — б,)— Г Т1 Т0 и дд1 - ~ дд0 совО ~ й, й0 д0 ~Тдф — С,— рВи 0-~0] п — О. + Это уравнение эквивалентно еледующнм трем скалярным: ( ") + — — Т~ соз О + Т~ 1 д~ з1п О + — "' ) + д~т = О; ~В + Ясов О+ — '+ Тв(ф 0- — ') .Р Твв сов 0-'с От = 0: Т' + — '+ Т и + Тзи0=0)з+Р(е, + ), (8.18) 1~, й0 где дд,. дд, со О Х = 1' х 0 + О6 7= 0) + 0)р.
д0 ' 0 г дрр г Аналогичная система уравнений иным способом получена, в работе [111. Уравнения (8.18) отличаются 'от уравнений равновесия безмоментной теории оболоче(~ вращения наличием дополнительных слагаемых, зависящих от начальных усилий Т,, Тг. Можно уатановить тождества 1) ж О + — = — — — (ге,) + е, соз О; д 000 дт д 1 д~у д<р д0 д0 д00, д дЕТ вЂ” '+ — ' = — (уг) —— й, д д двр ' Поэтому дополнительные слагаемые, входящие в первые два уравнения (8.18), пропорциональны произведениям начальных сил на дополнительные деформации. дополнительные слагаемые в левой части третьего уравнения соответствуют произведениям начальных сил на параметры изменения кривизны. Слагаемое р (е, + е,) в правой части этого урав- нения отражает влияние увеличения площади элемента при деформации на величину гидростатической нагрузки.
Так как дополнительные деформации е, у связаны законом упругости в дополнительными усилиями Т, 5, а начальные деформации е' при нагружении давлением — этим же законом с начальными уеилиями Т', то произведения Т'и имеют такой же порядок величины, какой и произведения Тз'. Поэтому, если вызванные давлением начальные деформации оболочки не слишком велики, можно в уравнениях (8,18) пренебречь слагаемыми порядка Т'е.
Упрощенная, таким образом, еистема уравнений имеет вид д (7'тг) 65 — + —.— Т соз()+дг=О да д<р д (Яг) дТе — + Б соз О+ — + о,г = О, (8.19) T, Tя — + — + Т!Х1+ Т2Аг = 93. %~ Йе В уравнениях (8.19) учтены изменения кривизны оболочки при дополнительной деформации, но пренебрежено растяжением ее срединной поверхности; допускаемая при этом погрешность имеет такой же порядок, как и начальные деформации оболочки, вызванные давлением. Системы уравнений (8.18) или (8.19) включают как силовые, так и геометрические неизвестные. Поэтому для решения задачи необходимы зависимости между дополнительными силами и дополнительными деформациями.
Такие линеаризованные зависимости в общем случае ортатропной оболочки имеют форму еть Т,=, ' (е,+)т,еа); (8.20) Коэффициенты Е„Е„)ь„р,„б зависят от начальных усилий Ть Т2, и их величины могут быть определены линеаризацией истинного упругого закона для материала ' или экспериментально. При этом должно выполняться условие взаимности работ Ет)х = Ея)ь,. При использовании упрощенных уравнений (8.19) упругие постоянные могут быть приняты такими же, как и для предварительно недеформированного материала. ' См. Усвкии В. И.
Об уравнениях теории больших деформаций мягкил оболочек. — аИав. АН СССР, МТТ», 1976, № 1, с. 70 — 75. 377 + — т6 ! — !»1!»» Е1п Ыо»» сов О ! — = — и» + — и» + — 3»; д» Г Яь Но» ! и» б!»: й !с, Ы со»~ О Фсоаз — „, (Т,»г) = Е,!! —, и, + Е,!! — и»+ (8.21) -(- Е,й ~, ' а~»+ р,созОТ,» — й» вЂ” и,»г; — (5»г) = Е,1! — и»+ Е,!! — и»+ Уравнения равновесия (8.18) или (8.19), уравнения упругости (8.20) и геометрические зависимости, связывающие параметры изменения кривизны, деформации и углы поворота с компонентами перемещения, составляют полную линеаризованную систему уравнений рассматриваемой задачи.
Особенностью этой системы, отличающей ее от уравнений безмоментной теории жестких оболочек, является то, что уравнения равновесия (поскольку в них входят параметры изменения кривизны) не могут быть решены независимо от определения перемещений. Система является связанной. При этом общий порядок ее равен шести (в отличие от четвертого порядка уравнений безмоментной теории жестких оболочек). Соответственно и на границах предварительно нагруженной безмоментной оболочки должны быть поставлены не два, а три граничных условия. Эти условия можно накладывать на перемещения и, п, !и или на соответствующие им силы.
Перемещениям и, о соответствуют в окружном сечении силы Т„Я, а перемещению !и — проекция начальной и дв силы Т! за счет ее поворота на угол д, =— 1 Общим приемом решения полученных ' уравнений является разложение нагрузок, сил и перемещений в тригонометрические ряды по угловой координате у. Амплитудные значения каждого члена разложения определяются системой обыкновенных дифференциальных уравнений шестого порядка, которую можно численно решить (в качестве основных неизвестных целесообразно выбрать величины и, о, в, Т,г, Я», 61). Поскольку приемы получения уравнений в такой форме неоднократно рассматривались в этой книге (см. ~ 16, 26), ограничимся тем, что приведем систему, в которой использованы приближенные зависимости (8.19) в окончательном виде: асаО 1 Р.» и» !»» "» (, о + Ра / !и»+ полнительные перемещения под действием нагрузки д малы. За начальное примем состояние оболочки, нагруженной давлением.
Для осесимметричной деформации цилиндрической оболочки уравнения равновесия (8.19) принимают вид — + д1 = 0; — + Т1 х1 = дз. ит, т, ~Ь Так как продольная нагрузка О, отсутствует, то Т, =. сопз1, но поскольку вдали от места приложения кольцевой нагрузки Т,, не меняется, Т, = О. Везде, кроме места приложения кольцевой нагрузки,. Оа О, ~а поэтому второе уравнение равновесия имеет вид — + Т~х1 = сРы рК 0 или, после подстановки х, = — —,, Т1 = —, та ф~ ахи) — — — — = О.
2 даа (8.22) Равенства (8.20) при условии Т, = 0 позволяют выразить Т, через в,: Т, Еайе, = ЕД вЂ”. . После подстановки этого выражения в уравнение равновесия (8.22) получаем дифференциальное уравнение, определяющее радиальное перемещение: 2 — — ты=О ааааа 1 где т' = — '. Общее решение уравнения (8.23) и> = С, е" + лба ° + С,е — '. Нетрудно видеть, что в рассматриваемой задаче справа от места приложения нагрузки д(з > 0) справедливо решение в+=Се (8.24) а слева (з < 0) 380 в =Се '. (8.25) Вид деформированной поверхности оболочки показан .иа рис. 8.6, а. Таким образом, решение уравнения (8.23) имеет характер своеобразного краевого эффекта, затухающего а удалением от места приложения кольцевой нагрузки, Особенностью этого краевого эффекта является зависимость скорости его затухания от внутреннего давления в оболочке.
Чем больше давление, тем медленнее затухает краевой эффект. Постоянную С, входящую в выражения (8,24) и (8.25), можно опре-. а) Рис. 8.6 делить, рассматривая равновесие бесконечно малого элемента оболочки, включающего место приложения нагрузки о (рис. 8.6, б): 2Т~ — = О, Йр (8.26) откуда С = — —.= — о а Р 27' т 2рЕ,'л ' Так как [С~ представляет собой величину радиального перемещения в месте приложения нагрузки, то из полученной формулы видно, что жесткость мягкой оболочки существенно зависит от . величины давления.
Полученное решение справедливо при достаточно малых нагрузках и перемещениях. Необходимым условием его применимости является наличие в оболочке двухосного напряженного состояния (Тр = Та+ Та >О),т, е, уаловие О < д* = рй ЕФ или, иначе, ~в ~,„< р. „. 2 При ббльших значениях нагрузки вблизи места ее приложения возникает одноосная зона, которая на некотором расстоянии переходит в вону краевого эффекта, описываемую уравнением .(8.23). В этом случае нетрудно выполнить расчет, если предположить, что и в одноосной зоне перемещения малы. Тогда в уравнениях равновесия для одноосной зоны следует положить Т, О, Т1 = Т1 = —,, и уравнение Лапласа полурй Рв р 2 чит вид Т,к, р или й' т' 1 Отсюда ай и, С,+Сз — —, Ж' где С, и С, — постоянные интегрирования, Из условия (8,26) С 2т Рй ~постоянную С, и длину одноосной зоны з, можно найти из условия плавного сопряжения одноосного участка с двухосным, т, е.
из условий равенства в точке з = з, перемещений и их первых производных. Р~') й В точке сопряжения з = з, должно быть в = ч' = — — "' „, что следует из условия Т, = О. Йи Производную — „, легко найти, учитывая, что в зоне краевого — 013 йв эффекта ы = Се и, следовательно, — „, = — тв, де трй' Поэтому, при з = з — = — ты~ = * й~ е,ь Таким образом, получаем два уравнения Ц я рг С+ Я ~ Э рй * 2й е.,а ' з, трЯ~ рЯ й Е~Ь нз которых находим з = — — —; С, = , ~рз р е~ь Следовательно, после появления одноосной максимального перемещения ! С,! от нагрузки а квадратичная. зоны зависимость уже не линейная Глава 9 Сетчатые оболочки Сетчатые оболочки представляют собой разновидность мягких оболочек, рассмотренных в гл.
8. Они отличаются тем, что их стенки образуются системой перекрещивающихся нитей, связанных в узлах. Как сетчатые оболочки рассматривают не только оболочки, образованные собственно сетями (например, вантовые конструкции, рыболовные сети), но также тканевые оболочки, резинокордные оболочки, включая и пневматические шины. Анализ, основанный на теории сетчатых оболочек, эффективен и при оптимизации конструкции оболочек из армированных пластиков. Ни стенки пневматической шины, ни тем более стеклопластиковой оболочки, не представляют собой нитяной сети.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
