Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Бухину удалось решить несколько практически важных задач, относящихся к воздействию локальных нагрузок на пневматическую шину !22). С помощью численного интегрирования этих уравнений эффективно решаются также задачи об определении осевой и боковой жесткости пневматических резинокордных амортизаторов. Рассмотрим более подробно случай цилиндрической сетчатой оболочки со спиральным расположением нитей. В этом случае исходное состояние оболочки с днищами, нагруженной давлением р и дополнительной продольной силой Р (рис. 9.9), харакр!с Р теризуется внутренними силами Т, = — — + ; Т, = рй.
2 2лй ' Из уравнения (9.3) вытекает следующая зависимость между нагрузками и углом нитей корда в равновесной оболочке: — =сц ~; с~~ ~- — (1 — ). Т1 2 2 1, Р Тр ' 2 1, ~ ряй2 Для оболочки, .нагруженной только давлением (Р = 0), с1я' ~, = — , р — ~, =- 35 1б' (именно с таким углом изготовляют резинокордные и оплеточные рукава, для того чтобы нагрузка давлением не приводила к существенному изменению их размеров).
Для цилиндрической в начальном состоянии оболочки уравнения (9.38) существенно упрощаются. Так как ! — =Я=с ~, Е= —,, 1~, р = сопзс, Л! = 2 и = соп51, рКй 2 !! и!и'" р Рис. 9.9 400 Из формул (9.42) (ь''~ л + ~~Л и) Ен (~1 соз 1 + 2 з1п 1)1 Й = 2 (Л Ж, — ЛУ ) = Е у„з1п' р или, после подстановки значений деформаций, (9.43) Проанализируем уравнения цилиндрической оболочки для нерастяжимых нитей. Решение однородных уравнений (9.41) и (9.40) представим в форме о а 5 =- Я, соз щ е ~„; и =- и, соз и~р е о а — 5 — 5 0 =-- В, з|п щ е; о =- о, з1п и ~ е Я .. Я о и =-- ЛО соз иг~ е Я (9.44) а' -- а' 1д' р (3 1д- 'р — и') + + а'и'1д'~ (3 — и' — 1д'()) — и'(и' — 1) 1д'~ = О.
(9.45) Прн и = О, т. е. при осесимметричной деформации, это уравнение имеет четыре нулевых корня и два действительных а = — )/3 1д' р. Нулевые корни соответствуют осевому перемещению оболочки и равномерному растяжению ее с соответствующим изменением диаметра. Если бы наряду с выражениями (9.44) мы учли и выражения для кососимметричной относительно образующей ~р = 0 деформации, то установили бы, что нулевые корни характеристического уравнения (9.45) при и =- 0 описывают также поворот оболочки вокруг оси симметрии и пагружение ее крутящим моментом (в этом случае оболочка из нерастяжимых нитей не деформируется).
402 Подставляя эти выражения в уравнения (9.40) и (9.41) прн д1 = д, = д, = О, получим систему линейных однородных алгебраических уравнений относительно постоянных Я,, В„и„оо, а,. Равенство нулю определителя этой системы приводит к следующему уравнению относительно характеристического показателя а: Корни о =- )/31д'~ соответствуют краевому эффекту, возникающему при осесимметричном нагружении оболочки. Этот эффект аналогичен возникающему в мягких оболочках, однако в данном случае окружная жесткость оболочки зависит только от натяжения нитей. Значительный интерес представляет анализ корней характеристического уравнения (9.45) при п = 1.
В этом случае характеристическое уравнение получает'вид о Ь4 — а (э р (3(а'р — 1) + 1а4Р (2 — 1д'р)) = 0. (9.46) Два нулевых корня этого уравнения соответствуют перемещениям оболочки как жесткой. Характер остальных корней зависит от величины угла р, связанного уравнением (9.39) с про- дольной нагрузкой Р. При 1д'р > 2, т. е. при р > ~,, следовательно, для оболочки, нагруженной сжимающей силой Р < 0 (см. формулу (9.39) ], среди корней характеристического уравнения имеются чисто мнимые. В этом случае возмущения не затухают по длине оболочки, так как длинная цилиндрическая оболочка при приложении сжимаю- щей нагрузки неустойчива. При 1д'р < 2, т. е. для оболочки, нагруженной растягиваю- щей силой, уравнение (9.46) имеет две пары (-"б и ":7) действи- тельных корней (при 1 <1д' р < 2), либо сопряженные комплекс- ные корни — 6 (у.
Во всех этих случаях деформации затухают с удалением от места приложения нагрузки. Особым является случай, когда 1д' р =2, т. е. случай оболочки с равновесным углом нитей, нагруженной в исходном состоянии только внутренним давлением. Для такой оболочки характеристическое уравнение (9.46) ' имеет вид а' (о' — 10) — О. Корни а = )/ 10 соответствуют краевым эффектам около 'торцов оболочки.
Изменяемость этих краевых эффектов мало отличается от изменяемости осесимметричного краевого эффекта, -.при котором ~ а ~ = — 1/3 1д~ р, Четырехкратный нулевой корень соответствует деформациям, не затухающим по длине оболочки, т. е, изгиоу ее как балки.
Общие интегралы однородных уравнений при р =- ~„п = 1: 6 — ' — Ь— ~2 и= Се +Се "+С,+С,— +С,, созе; 2Б* 403 Нетрудно видеть, что слагаемые, содержащие длину образущей в, определяют изгиб оболочки„без искажения формы попес речного сечения. При этом величина —, == х представляет собой кривизну изогнутой оси оболочки. Перемещения, определяющие изменение размеров поперечного сечения, одинаковы во всех сечениях и составляют 1 ы =- — — Ссов ~р. (9.48) Существенную особенность представляет подсчет изгибающего момента в сечении.
Здесь следует учесть изменение ориентировки усилий в нитях в результате деформации оболочки. Предварительно установим, как меняется угол р1 нитей при деформации нерастяжимой сети. На рис. 9.10 изображен элементарный ромб сети до и после деформации. Как видно из рисунка, 1 сов ~+ = 1 сов ~ (1 + е~). Отсюда следует, что сов~ = — совр(1+ е,) — сов ~+ — сов (~. ди 404 Эти выражения включают шесть постоянных интегрирования в соответствии с шестым порядком дифференциальных уравнений (9.40), 9.41). Постоянные С, и С, характеризуют краевые эффекты около торцов оболочки, постоянные С,. и С, — перемещения оболочки как жесткой, Слагаемые с множителями С, и С, описывают соответственно чистый и поперечный изгибы оболочки как балки.
Рассмотрим отдельно чистый изгиб. В этом случае в к' 1 / я~ и — С вЂ” сов ~р о С вЂ” вюйар, ы — — — С вЂ” —,— 1 сов р, ~7 ' 2Я' 5 = ЖСсовср; В =-О. (9.47) Рис. 9.10 Рис. 9.11 Теперь рассмотрим поперечное сечение деформированной обо лочки и учтем, что точки ее имеют только радиальные в соответствии с формулой (9.48) относительные перемещения. Поэтому 2й число нитей обоих направлений — соз р Рд~ в пределах угла игр й сохраняется и после деформации. Усилия в каждой из нитей после деформации У + ЛЛ' = Л7+ 3 1так как Ь =- О, обе системы нитей одинаково напряжены). Проекция усилий, приложенных в пределах угла д~ на нормаль к сечению, (М + 5) — „соз ~Я с~бр сов ~' = 2й — (А'+ Ь) — соз р (соз р -~- — соз р ) Я дар.
Чтобы найти момент этой силы относительно оси х (рис. 9.11), ее нужно умножить на плечо ()с + ы) соз ср, взятое в деформированном сечении. Таким образом, момент усилий в нитях относительно осн х 2и и = — „Асои'ая'~ (1 -(- — ) (~ ~ — ") (! ( ") сои уш~. о Однако эта величина не представляет собой изгибающего момента в сечении. Дело в том, что ось х не проходит через центр тяжести площади деформированного сечения, Поэтому нужно 2и учесть также момент сил давления М~ =- — р ~ Я+ ы)'созе Йр. 1 о Проведя линеаризацию приведенных выражений, получим следующее значение изгибающего момента в сечении: М„,„= Мл,+ Мр-—— — У соз ~Я ~ — + — + — ) сов <р йр — рЯ ~ ю сов ~р йр.
2й и / 5 ди оо о а пЯ4 М„,„= 5р — х. 4 (9,49) пй' Так как величина 4 представляет собой момент инерции относительно диаметра площади круга радиуса К, формула (9А9) показывает, что сетчатая оболочка имеет такую же жесткость при изгибе, как и сплошной стержень того же диаметра из материала с модулем упругости, равным 5р. Как видно из рассмотренной задачи, в механизме восприятия нагрузки сетчатой оболочкой одинаковую роль играет как изменение усилий в нитях, так и изменение их ориентировки.
Расчет цилиндрической сетчатой оболочки на локальные нагрузки рассмотрен в работе И 5 ) . 2/г рР - ди Учитывая, что — У соз 'р = — заменяя 5 — и и их знай 2 д~ 5 чениями и выполняя интегрирование, получим М„,„= — яСоЯ' или, после замены С = хЯ', где х кривизна оси оболочки, окон- чательно Глава 10 Тонкостенные стержни. Тонкостенными стержнями называют конструктивные элементы, длина которых много больше габаритных размеров поперечного сечения, а толщина стенки — много меньше.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
