Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Таким образом, тонкостенные стержни обладают одновременно как свойствами стержня, так и свойствами оболочки. Это и обусловливает существенные особенности их поведения под нагрузкой. Прямые тонкостенные стержни открытого сечения представляют собой в сущности незамкнутые длинные цилиндрические оболочки. Их можно было бы рассчитывать на основе полубезмоментной теории цилиндрических оболочек. Однако, как было показано в ~ 33, в случае, если деформации очень медленно меняются по длине оболочки, так, что отношение длины полуволны деформации 1, к характерному размеру К сечения оболочки велико, т.
е. — )) ь — „(что характерно для тонкостенных стержней), то оказывается возможным игнорировать изменение формы поперечного сечения оболочки при ее деформации. Таким образом, теория тонкостенных стержней может быть построена на основе гипотезы о неизменности формы поперечного сечения и гипотезы об отсутствии сдвигов в срединной поверхности (как и полубезмоментная теория). Следует отметить, что исторически теория тонкостенных стержней.развивалась независимо от теории оболочек.
Было замечено, что тонкостенные стержни открытого сечения, которые оказывают весьма малое сопротивление чистому кручению (т. е. кручению моментами, приложенными по концам), становятся существенно более жесткими, если продольные перемещения их точек затруднены. На рис. 10.1 утрированно изображены деформации при свободном кручении стержней незамкнутого кругового и двутаврового сечений.
Кручение связано со значительными осевыми перемещениями точек поперечных сечений (депланациями). На рис. 10.2 показано кручение тех же стержней, но с заделанным нижним сечением. В этом случае кручение сопровождается изгибом отдельных элементов стержня,(например, полок двутавра). ' 407 Поэтому такого рода деформации получили название изгиб- ного или стесненного кручения. При расчете естественно было применить методы сопротивления материалов, разработанные для изгиба и кручения сплошных стержней, т. е.
гипотезы о неизменности формы сечения и об отсутствии деформации сдвига в срединной поверхности стержня (последняя гипотеза представляет собой аналог гипотезы Бернулли, но примененной не для всего ' стержня в целом, а для каждого его продольного элемента в отдельности). Основанная на этих гипотезах теория тонкостенных стержней открытого сечения рассматривалась рядом исследователей, но законченная форма ей была придана В. 3. Власовым 1241. Деформации тонкостенных кривых стержней в отличие от прямых сопровождаются существенными искажениями формы их сечения. Задача о чистом изгибе стержней с круговой осью описывается почти такими же уравнениями, как осесимметричная деформация оболочек вращения.
Для стержней малой кривизны эти уравнения могут быть упрощены. В ~ 45 рассмотрены числовые методы расчета, а для стержней, составленных из цилиндрических и плоских стенок, приведены аналитические решения. $ 43. Деформации прямых тонкостенных стержней Введем систему гауссовых координат з, г на срединной поверхности стержня, причем линии г направлены вдоль оси стержня, а линии з лежат в плоскостях поперечных его сечений. Кроме того, отнесем стержень к декартовой системе координат хл, у~, г (рис. 10.3).
Причем оси хе, ур параллельны главным центральным осям инерции поперечного сечения (х; у). Компоненты перемещения в локальной системе координат назовем, как обычно, и (по г), о (по з), ы (по нормали), проекции перемещения на оси х, у, г — соответственно ~, Ч, и. В соответствии с гипотезой о неизменности формы сечения стержня перемещение сечения в плоскости х, у можно представить как поступательное перемещение вместе с началом координат Р (проекции этого перемещения на оси х, у — $„Ч,) и поворот вокруг точки Р на угол ~)>. Тогда проекции на оси х, у перемещения произвольной точки М средней линии сечения составят Рис.
10.3 откуда ди до — = — — = — Ц з1п <р + Чр соз «р + «р'», где штрихи означают дифференцирование по г. Интегрируя последнее выражение по з, получим и =ио(г) — Во ~ з1п~раз+ Чо) соз ~раз+0: ~газ. (102) Смысл входящих в эту формулу интегралов следующий: ) з1п~р Из =х; ~соз~рсЬ=у; ~г йз=в. (10.3) хр Р Рис. 10.4 409 $ = $о — 'ФУг. Ч = Чо+ 1х~ . (10.1) Проекция перемещения той же точки на направление касательной к средней линии сечения (рис.
10.4, а) о = $ з1п гр — Ч соз ср = 9, з1п гр — Ч, соз гр— — ~)~ (ув з1п <р + хв соз гр) . Выражение ур з1п ~р + хр соз гр =- г представляет собой расстояние от начала координат до касательной к контуру в точке М. Учитывая это обозначение, получим о = $,з1п гр — т1,соз ~р — фг. Гипотеза об отсутствии сдвигов в срединной поверхности позволяет определить осевые перемещения и: ' да ди у =.— + — =О дг дв Буквой го обозначена так называемая секториальная площадь, т. е. площадь, ограниченная дугой средней линии сечения и радиус-векторами, проведенными из начала координат в некоторую начальную точку отсчета О и в точку М (рис.
10.4, б). Так как и, (г) — произвольная функция г, то нижние пределы интегралов можно выбрать произвольно. Поэтому под х и д можно понимать координаты точки М в любых осях, параллельных осям хр, ир. Будем считать, что х, у в формуле (10.3) отмеряются от главных центральных осей инерции площади сечения стержня. Формулу (10.2) можно теперь записать в виде и =- ио (а) — Ых + Чод+'~)~'оо. (10 А) Первые три слагаемых выражения (10.4) описывают осевое перемещение сечения как плоского (в соответствии с гипотезой Бернулли), четвертое — искажение плоскости сечения, т.
е. его деплапацию. Как нетрудно видеть, депланация прямо пропорциональна ф', т. е. погонному углу закручивания стержня. Зная продольное перемещение точек срединной поверхности, можно найти соответствующую деформацию ди ~~ =- в) = а = ио — ~ох+ Чоу+ ~ о~ и продольное усилие, отнесенное к единице длины средней линии сечения, Тг = ЕЬеъ = ЕЬ (ио — ~ох + т~оу+ ~~"а) (в соответствии с полубезмоментной теорией усилие Т, пренебрежимо мало). Подсчитаем суммарные силовые факторы в поперечном сечении стержня, обусловленные действием в нем нормальных напряжений.
Нормальная сила М = ~ада = Еио ~Паз — Е~о ~хада + Епо ~ дйй8+ Е~" (~айда. Здесь и далее буквой Е отмечены интегралы, вычисляемые по всему сеченикн Ь~Ь = Š— площадь сечения; Р хйг(э = ߄— статический момент площади сечения отно- Р сительно оси у; уййэ = ߄— статический момент площади сечения относительно оси х.
Так как оси х, у — центральные, то 5, = Яу ††-- О. Интеграл айда также может равняться нулю при соответствующем выборе начала отсчета О секториальной площади. 410 В этом случае У =- ЕРиО. (10.5) Изгибающий момент относительно главной центральной оси х М.„= ~ Т1у г(з = Еио ~ уй сЬ вЂ” Е$~ ~ хуйсЬ+ Р г в (10.9) 4!! Для изгибающих моментов введено правило знаков, принятое в сопротивлении материалов; положительнымп считаются моменты, вызывающие растяжение в первом квадранте сечения. Первые два интеграла в полученном выражении равны нулю, так как оси х, у — главные центральные, третий интеграл представляет собой момент инерции У площади сечения относительно главной центральной оси х.
Интеграл ) ауй~Ь можно сделать равным нулю за счет выбора положения полюса Р. Тогда момент М,=ЕУ Ча (10.6) Аналогично, при условии ~ ахй дз = 0 изгибающий момент относительно оси у М~ = ) Т1хйз = — Е7 'га. (10.7) Формулы (10.5), (10.6) и (10.7) справедливы при условиях ) айда=О; ) ауйг(а=О; ) ахйдз=О. (10.8) Р Р Три условия (10.8) позволяют выбрать начало отсчета О секториальной площади на средней линии сечения и определить координаты полюса Р. Точка Р, не совпадающая, вообще говоря, с центром тяжести сечения, называется ц е т р о м ж е с т к о с т и сечения (а также центром кручения или центром изгиба). Секториальную площадь, вычисленную при таком положении полюса и начала отсчета, называют г л на н о й секториальной площадью.
Заметим, что формулы (10.6) и (10.7) не отличаются от формул, связывающих прогибы и изгибающие моменты в элементарной теории изгиба массивных стержней. Существенно, однако, что в, и т1, в формулах (10.6) и (10.7) — это перемещения точки Р сечения — центра его жесткости. С учетом зависимостей (10.5) — (10.7) формула для интенсивности силы Т, в сечении получает вид Т, = й ( — „+ — ~ х + —" у + Еф"а ); нормальное напряжение в сечении о, =- — = — + — х -,.'— — ' д + Еф о. т> У Мд, Мх . Ф ь г (10. 10) Р, (~) Оч Й~ а; = (1 = 2, 3, 4,...), ь ~ Т1 (я) а дз ао) = 1 ачт ~гя здесь интегралы вычисляются по всему контуру сечения.
Выражения, стоящие в числителях этих формул, имеют смысл работы приложенных к торцу нормальных сил па некоторых осевых перемещениях: Т, (з) дз = М вЂ” работа силы Т, (з) на единичном посту- пательном перемещении сечения; Т, (з) хгЬ= М вЂ”, работа силы Т, (з) на единичном пово- г роте сечения вокруг оси а; Т, (з) у г(з = М, — работа силы Т, (з) на единичном пово- роте вокруг оси х; 412 Первые три слагаемых в этой формуле такие же, как при расчете на косой изгиб н растяжение сплошного бруса, четвертое слагаемое соответствует нормальным напряжениям, возникающим в связи с непостоянством по длине погонного угла закручивания стержня ~'.
Напряжение Еф "о называется нормальным напряжением стесненного кручения. Формулу (10.10) можно трактовать как разложение нормальных напряжений в поперечном сечении стержня по ортогональным (с весом а) функциям дуги з: 1, х, у, а. В концевых сечениях бруса заданные внешние нормальные силы Т, (з) могут быть распределены и пе в соответствии с формулой (10.10). В этом случае разложение по четырем функциям будет лишь приближенным. Чтобы получить точное представление заданных нагрузок, систему функций 1, х, у, а следовало бы дополнить до полной системы ортогональными с весом Й функциями оэ, (з), а, (з), ...
Тогда нагрузки на торце можно представить в виде Т, (з) = й (ав + а,х + а, р + а н + а,а, + а,со, - 1- ), (10.11) где коэффициенты разложения определяются формулами Фурье Р 7', (з) дя ') Т, (я) хЫа ) Т (з) у сЫ в Р аг —— а,=— а„= > 6~Ь ~ х~й~Ь ~ у~адя Р Р Т, (з) а г1з =-  — — работа силы 7, (з) на перемещениях, рав- ных главной сектор и аль ной площади. Такие осевые перемещения получают точки сечения при кручении стержня с единичным погонным углом закручивания.
Величина В (в Н м') называется бимоментом. Аналогичным образом можно истолковать и числители коэффициентов а,. (1 = =2,3,4, ...). Хотя формально все коэффициенты а в формуле (10.11) играют одинаковую роль, усилия, представляемые соответствующими членами разложения краевого усилия, по-разному влияют на деформации стержня. Приложенные к торцу стержня нормальная сила Аг и моменты М„Мд вызывают появление соответствующих силовых факторов во всех сечениях стержня. Приложенные в краевом сечении самоуравновешенные силы, пропорциональные <э (бимомент), вызывают медленно затухающие по длине стержня деформации (они затухают на длине порядка Ь'/й, где й — характерный размер сечения, Й вЂ” толщина стенки).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
