Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 54
Текст из файла (страница 54)
1а 0 д2 р Вычислим величину ~ дг при шиннои геометрии нитеи: с Профили оболочек пневматических шин торообраз7Р7 ные. Нетрудно видеть, что для получения торообразного профиля (рис. 9.6) осевая нагрузка па оболочку должна быть сжимающей, причем Р = — РлГ' О О' /~/ О д где ГО радиус окружности р 9 на которой 9 — О. Если ввести обозначение —" = ).„то уравнение таких профилей в безразмерной форме можно получить подстановкой в уравнения (9.19) П = — ХО~. Имеются подробные номограммы равновесных профилей оболочек с шинной геометрией ', рассчитанные на ЭЦВМ. Более грубые номограммы, полученные графическим интегрированием уравнений (9.19), приведены в работе [45). Усилия в нитях сетки оболочки с шинной геометрией можно подсчитать, воспользовавшись формулой (9.1); тогда Ь Р,+Рига й ' 2асоаар 2иг а!и 0 2исоа» р Подставляя значение з1п 0 по (9.18) и учитывая, что „Х к 2й = м (~ — полное число нитей в окружном сечении оболочки), найдем Ра+рпй' соя~~ ч соеар ' (9.20) Из этой формулы следует, что усилия в нитях меняются по , профилю обратно пропорционально созар и, следовательно, мак' симальны на экваторе оболочки, где А7 „= Ро + рп1с» ч сов иа 5 42.
Малые деформации сетчатой оболочки ~ См. Бидерман В. Л., Бухни Б. Л., Николаев И. К Атлас номограмм рав'-'новесных конфигураций пневматических шин. М., «Химия», 1997. Зб с. $ 391 ~7» ' Рассмотрим малые деформации сетчатой оболочки от начального состояния, за которое примем осесимметричную форму оболочки, нагруженной давлением.
В этом состоянии нити левого (л) и правого (и) направлений ,'составляют с меридианом оболочки углы — р (см. рис. 9.1), где 'р = р (з). Воспользовавшись формулами теории деформаций, можно удлинение нитей выразить через деформации оболочки в меридиональном (з,) и окружном (е,) направлениях и деформацию сдвига т,,: е, = е,соз' р + в,з1п' р + у„з1п 2р; в„= — в1соз' ~+в, з1п 'р — у1,з1п 2р. (9.21) а Если нити нерастяжимы, то из усю ловий в„, =- О, в„= О следует, что на деформации оболочки, отнесенные к меридиопальному н окружному направлениям, наложены связи Рис.
9.7 в соз' р + в, з1п' р = О; у„= О. (9.22) Последнее равенство является естественным следствием того, что диагонали ромбовидной ячейки нерастяжимой сети остаются взаимно перпендикулярными. Равенства (9.22) справедливы только для нерастяжимой сети. Рассмотрим теперь равновесие элемента деформированной оболочки. Выделим элемент оболочки, ограниченный двумя парами нитей левого и правого направлений (рис. 9.7). Эти нити составляют между собой угол 2~' (индекс', как и в гл. 5, относится к деформированной оболочке).
Число нитей правого направления, пересекающих выделенный элемент, Ж„Мп 2~~ ~Ь,=й п где Й вЂ” число слоев данного направления; Й, — нормальный шаг нитей в деформированной оболочке. Конечно, пи при каких деформациях число нитей не изменяется, поэтому сЬ„= — — „з1п 2р сУ„, А (9.23) где й, р и Ж относятся к начальному состоянию оболочки. сЬ„„= — „з1п 2~ Ли.
й (9.24) 392 Аналогично, считая, что структура оболочки симметрична, найдем число нитей левого направления, пересекающих выделенный элемент: Введем единичные векторы 1+, 1„', направленные по касательным к нитям левого и правого направлений в деформированной оболочке. Тогда равнодействующая сил натяжения нитей, приложенных к выделенному элементу, 11=1„—,', (М,т',) Л.+Ъ „—,', (Л'„1,',) 11п или, после подстановки д~„драп, ~31 ( л л) ~ ~~~ ( и п)1 где дР— площадь элемента в начальном состоянии; йР— з1п 2р й, Ж„.
Кроме усилий в нитях, на элемент действует сила давления рйР'и', где ЙР' — площадь деформированного элемента; и'— единичный вектор нормали. Также действует дополнительная внешняя нагрузка Ч, которую будем относить к площади элемента в начальном состоянии. Уравнение равновесия элемента Н+ р дР'п'+ Ч йР = 0 й после подстановки значения Н и деления на — ЙР получает вид ь — (Л ~1л) + ~„' (и п1п) т й Р йГ и' — ~, Ч = О.
(9.25) д +, д +, 6 с~Р+ й Уравнение (9.25) представляет собой условие равновесия на- груженной давлением и произвольными дополнительными нагруз- ками сетчатой оболочки. С помощью геометрических зависимостей, приведенных в 9 21, можно векторы 1„1„, п, а также отношение — „, выразить + дР через векторы 1„$„п начального состояния и компоненты пере- мещения и, и, в. Зная закон упругости нитей, усилия в них можно выразить через деформации з„еп, которые, в свою оче- редь, связаны с перемещениями и, и, в.
Таким образом, векторное уравнение (9.25), эквивалентное трем скалярным, в конечном счете, определяет компоненты пере- мещений и, и, ы и, следовательно, геометрию нагруженной обо- лочки. Однако практическое решение задач такого рода затруд- нительно в связи с их нелинейностью. Некоторые приемы число- ' вого расчета на внешние нагрузки пневматических шин предло- жены в работе 1311, Далее выведем линеаризованные уравнения, описывающие ма- лые перемещения оболочки от начального состояния.
393 Рис. 9,8 Выразим векторы 1,", 1;,, ориентированные вдоль нитей, через векторы 1'„1,', направленные вдоль линий, которые до деформации совпадали с меридианом и параллельным кругом. Выражения этих последних векторов через компоненты деформации были получены в 9 21. На рис. 9.8, а изображен ромбовидный элемент структуры сети в начальном состоянии, на рис. 9.8, б — тот же элемент после деформации. Запишем в векторой форме условие замкнутости заштрихованного на рис. 9.8, б треугольника: Л1 з1п Р (1 + з2) 19 + ~11 (1 + еп) 1п д1 соз Р (1 + е1) 11 = О. Отсюда ((1 + е1) соз Р 11 (! + е2) з1пД 121 и 1+Ел Аналогично, 1л — — ..., 1(14-е!)соз1г1+(1+а2)з1п~(~~, ьл где зл и з, определяются по формулам (9.21).
В уравнениях равновесия удлинениями нитей всегда можно пренебречь по сравнению с деформациями а„з, в направлении диагоналей ромба. Поэтому приближенно векторы 1'„и 1,' можно определять по более простым формулам 1л = — (1 + Е1) СОЯ Р $1 — (1 + Е2) З1П Р 12 ', 1„—.— (1 + ед) соз р11 1- (1 — , 'е~) з1п Р 1.. (9.26) Кроме того, считая при составлении уравнений равновесия пити нерастяжимыми, мы должны предполагать, что выполняются 394 условия (9.22), и, следовательно, векторы 11 и 1~, направленные по диагоналям элементарной ячейки сети, ортогональны.
Без предположения о нерастяжимости нитей уравнения равновесия выведены в работе (14). В соответствии с формулами (5.9) и (5.11) (1 + з1) т1 = (1 + е1) 1~ + вА — д~п = 11., (1 + е~) 1а = гоА + (1 + е2) $2 — 62п = 1„(9.27) где (полагая а=з, р=ср, А =1, В=-г) ди и~ ди соз0, зш 0 е,=- — + —; е,= — + и+ ю; дз А'~ ' где г г ди ди соз 0 (О1 = — (о, =- —— о; дз ' где г и дю згп 0 ды д1-— — — — —, б,= о —— (9.28) дз ' ~ г где ' Векторы 1~ „1' отличаются от приближенных выражений (5.16), (5.17) для 1',, 1,,' только тем, что в них удержаны величины е„е„ которые в линейной теории оболочек считались малыми по сравнению с единицей. Подставляя выражения (9.27) в формулы (9.26), получим 1л 1 + 2' и 1 2> (9.29) где 31 = К соз р — соз р 1(1 + е~) 11+ а42 — О1п1; !2 = 12 з1п р = з1п р 1оА + (1 + ез) 1~ — б~п), Введем обозначения — (Л',+ ~„) =-Ж вЂ” (У вЂ” У„) = — 1.г (9.30) Тогда уравнение (9.25) принимает вид гоз р — (Л 1 -)- Лг 1 ) + ып р — (М 1 — Л Ф ) + Ь Ы + 6 + — р — п' — — ц = О.
й йР А 305 и в уравнении равновесия (9.25) перейдем от производных по длине . нитей к производным по меридиональному и окружному направлениям. При этом учтем, что д1 д7 д~ — =- — соз р+ — з1п р; д1 дз г д~р д7 д1 дг д1П дз — соз р — — з1п р. г д<р Подставив в это выражение (9.29) и (9.30), придем к уравнению дР+ (9.31) дЕ+ Входящий в уравнение (9.31) вектор — и' можно вычислить Ю по формуле д, и' = (1 + е!) (1 —,— е2) (1! х 1.) =- 1! х 1~ = (1 х 1) =Ф. Б!и р сОБ 11 Векторное уравнение (9.31) спроектируем на лежащие в поверхности деформированной оболочки направления 1„ 12 и нормальное к поверхности направление 21).
Заметим, что векторы 1„ 1, направлены по диагоналям элементарной ячейки сети, и в соответствии с допущением о нерастяжимости нитей можно считать 1, и 1. ортогональными. Умножая скалярно уравнение (9.31) на 1„1„212, получим следующие равенства: 1в( — сов 2-)- — ввп2)-'с я (1, — 'сов 2-)-1 — „' ввп2) -'; — -Р (1,— 'сов2Ц-),—.— 'ппц) Ц- —,„ц!,=0, )232) 12 соя 1) ! в)п)в) + 5 12 ! соз 12, 12 8!и!в! 2' дО дР,.
в )' д1,, д12 дц ' 1'др~ ) (, д2 р рдрР,) -)- Р ( 1. — ' сов 2 )- 1, — „' ввп 2 ) — „ц),:= Ц) .Я (ц . ' сов)1 сц — 'ввп!) д1, д1, дя р д)1) -)-Р(ц — 'сов)1+ц ' ввп2)ц- — рцц-,'— — „цц=ц. (9.33) Дифференцируя с помощью деривационных формул (4.56) векторы 1„1, и учитывая, что р = 14 (э), получим следующие значения производных: — ( — '-1- ') и) совр; з1пО ) ~ д0, з1п — д;) 1а — ( — — и ) пгсоз ~1.
1, где. г ~) де, ( сп50 з1п 0 1, где г ~ г ~/ — ~ —",+(1+.) ""'] 1 — з1п~ ~3 (- — зрп ~ соз (1 + Я < — ' з1п~ (3 + дЯ, дР ( де, где дз 1 гд1р -~- (ф-~- ф) н~п~~соя~) (-и 1 — "'~ и~пасов~-)- + ~, соз'р(1+2е,)+ ~(е, — е~), + —,д + 2 Г соз 0 де., + — — д, з1прсозр + — д,— О, да з1п В 1 й ь (( — -~- ~;) сог'~ -~- ( ~- к~) и~п' Я -~- + 2Рх„з1п р соз р — — р — — д, = О Ь Ь 2~ 2й 3— (9.34) 397 Так как в дальнейшем будет проведена линеаризация уравнений (9.32), при вычислении входящих в эти уравнения скалярных произведений сохраним только слагаемые нулевого и первого порядка относительно компонентов перемещения. Поступая таким образом и деля почленно первое из уравнений (9.32) на (1 + 2е,) соз р, второе — на (1 + 2е,) з(п р и третье — на (1 + + 2е, + 2е,), приведем уравнения (9.32) к виду д5 дР 0 ~ф де ' гдгр — соз'~+ — з1п р соз р + 5! — з1п' 'р — з1п р соз ~ — + г ~Й (' де, до, й ~ где~ дя /~, / -1-Р ~ — '+ — ' — — '~ з1прсоз р -)- — д — — О; 2Ь где д„д„д., — дополнительные нагрузки по направлениям 1„ 1,, и; ддг е,, д8 соз8 е1 Мп8 де 1~д ' ' ~.дс~~ ' г е дд, о, д8, сов 8,„, в, Гпп 8 и12 + о~ т В начальном осесимметричном состоянии оболочки о, = д, = = д, =- О; Я =- Л'; Р = О и перемещения отсутствуют.
При этом выполняются уравнения равновесия ЙУ Г. 2 соз8 — соз2 р — М р1п' р — + з1прсоз р — „~ = О; ор 1 1 де 1 (9. 35) Как нетрудно видеть, эти уравнения не отличаются от зависимостей, с помощью которых в предыдущем параграфе определялась .равновесная конфигурация оболочки вращения, нагруженной давлением. Положим, что при нагружении оболочки дополнительными нагрузками усилия в нитях изменяются и становятся равными ЛГ = Л' + ЛЛ'„; ЛГ, =- ЛГ + ЛУ„, причем изменения усилий малы. Тогда (9,3б) где Б == 2 (ЛЛ', + ~Л'„); Р =.
2 (ЛЛ',— ЛЛ',) — ~алые величины. Подставляя значения Я и Р в уравнения (9.34), пренебрегая произведениями дополнительных усилий 5, Р на величины, зависящие от перемещений, и учитывая, что У удовлетворяет уравнениям (9.35), получим следующие линеаризованные уравнения равновесия: дз ~ , дБ т ~ду — соз' р + — з1п р соз р — 5 ~ ~з1п' р + з1п р соз р — ~ ~+ - Г соз 8 ~ф 1 е ) + ЛГ д соя р + ~(е — е.) — + д + 398 Й( — сов'~ ~- и~о'!~) !-У!( — ( — — —,)— ы ди')1, 2 ! й — )„" з1п'~> — — дз —— О.
(9.38) ! до сои 0 и «д~р «!с1 д~ю з1я 0 Г ди «'д~р' + «1, «д<~ Следует иметь в виду, что зависимость от э величин й1, г, р, О, — , й, входящих в коэффициенты уравнений (9.38), опреде- ~1 ляется по равновесной конфигурации оболочки (см. 2 41). Полученная в работе !П2) система уравнений (9.38) с переменнымн коэффициентами является довольно сложной и допускает только численное интегрирование. Путем разложения решения в тригонометрические ряды по угловой координате ср и последующего численного интегрирования полученных для каждого члена ряда обыкновенных дифференциальных уравнений Б. Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
