Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Пусть теперь полюс перенесен в центр жесткости Р, координаты которого (в системе х„у,) равны а, р. При полюсе Р секториальная площадь а = (ур йх — хрйу) или, учитывая, что ур — — у, — р; хр — — х, — а, 5 а = — ~ 1(у, — р) Йх — (х, — а) ду1 = , о =- а — Р(х — х.)+~(у — у.) (10.25) где через х„у„х, у обозначены координаты точек О, и М. Поскольку в полученную формулу входят только разности координат, то можно считать, что х, у, х„у, — координаты точек в главных осях. Для того чтобы полюс Р был центром кручения, необходимо выполнение равенств ~ ахй дз = 0; ~ ауйдз = О. р р Подставляя сюда выражение о по (! 0.25) и выполняя интегрирование, получим ~ охй сЬ =- ~ о,хй дз — р ~ х'й Йз+ + ~3х, ~ хй сЬ + и ~ хуй дз — иу, ~ хй сЬ, Рис. иьв 420 где интегралы вычисляются по всеи длине средней линии сечения.
Интегралы ~хй!(э == Яр, ~ хуй!1з —,7аи равны нулю, так как оси х, у главные центральные; ~ х'й дз =- У„. Поэтому из условия ) ихй да =- 0 следует, что координата р центра жесткости Р определяется равенством 1 (1 = — ~ !!1,х1г сЬ. ! ~ 1 (10.26) Аналогично, из условия ~ нуйдэ = О следует, что ! и:= — — 1!н уйдз. l и (10.27) Формулы (10.26) и (10.27) определяют положение центра жесткости.
Заметим, что при переносе начала отсчета секториальной площади О к секториальной площади добавляется постоянное слагаемое. Поэтому, чтобы построить эпюру главной секториальной площади, удовлетворяющую всем условиям (10.8), поступают следующим образом. Вычислив секториальную площадь ы' при произвольном начале отсчета и при полюсе в центре жесткости, определяют необходимую добавку к пей о!р для получения главной секториальной площади !н = О! + и!о (10.28) из условия ~ ь!1! дз = ~ в'й сЬ+ ваР = О, откуда !ро = 1 г1 Р ,(10.29) Вслед за определением главной секториальной площади вычисляют секториальный момент инерции У„= ~ !!'Й Йз и функ- 14 В. л.
Бидерман 421 цию 5'„=- ~ айда, необходимую при расчете касательных сил. ао Если средняя линия сечения — ломаная, то на каждом участке а изображается прямой линией и для вычисления интегралов можно использовать графоаналитическое правило Верещагина. Рассмотрим несколько примеров определения секториальных геометрических характеристик тонкостенных профилей. 15бгм уча,г г сгг г Рис. 10.!О Пример 10.1.
Определить секториальные геометрические характеристики стержня, сечение которого представлена на рнс. 10.10, а (толщина 0,3 см.). Первонально совмещаем полюс и начало отсчета секториальной площади в точке А на оси симметрии. Соответствующая эпюра аг показана непосредственно на рис. 10.10, а. В точке С от равна удвоенной площади треугольника АВС, а в точке  — удвоенной площади фигуры АВС!г. При повороте радиус- вектора по часовой стрелке секторнальная площадь возрастает.
Для определения координаты а центра жесткости (он расположен на оси симметрии) надо вычислить момент инерции Х„и интеграл ~ в,уй ~з: Р 10з 10з 4з .(з = 2 5 О,З. 5з + 0,3 — + О,З = 123,4 смз; ю,уй сЬ = 2 0,3 ~ — 25 5 5+ 26 5.3,5+ — 15.3 З~ = 385 смз; 1 ' 1 2 ' 2 1 а = — — 1 езуй ~Ь = — 3,! 2 см. Расположив полюс в центре жесткости и начало отсчета в точке А на оси симметрии,.строим эпюру главной секториальной площади (рис. 10,! О, б) и эпюру Я„= ~ юй йз (рис.
10.10, в). Величину Х, вычисляем, пользуясь правилом Верещагина, т. е. умножая площадь каждого участка эпюры зз на ординату ее под центром тяжести и на толщину стенки: ' ( 5 15,67 2 56, 3,12 15,67 2 1,88 9,4 2 9,4+ 33,76 + ( ' ' ~9,4+ — (33,76 — 9,4) ~ = 1355 смз. Величина 7„, характеризующая жесткость стержня при чистом кручении, составляет 7„= — ~ йзсЬ= — '(10+2 5+ 2 3) = 0,234 смз. 1 г, ОЗз 3 3 зз 422 Рис. 10.11 Пример 10.2. Определить секториальные геометрические характеристики незамкнутого кольцевого сечения (рис. 10.10, а).
Предварительно размещаем полюс в центре окружности О, а начало отсчета секториальной площади— в точке А. Величина секториальной площади здд в произвольной точке М равна удвоенной площади сектора ОАМ, т. е. в = дсз~р. Вычислим л л еддуЬ бз = ~ КздрК в1п ~рЬЯйр = Я4Ь ~ ~р в!и (р бр = 2лЯдЬ; и — л — л л ~ Яз з)п рЬ)со~р= )даЬ. и л Координата центра жесткости Р ~ еддуЬ бз Г а=— 1х Значение главной секториальной площади найдем, пользуясь формулой переноса (10.25): ед = дед+ ау = Яз~р — 2)с )с з1п ~р = )сз ((р — 2 з)п (р).
Эпюра главной секториальной площади изображена на рис. 10.11, б. Секториальный момент инерции Ъ а гл ,l, = ~ едздбз = ЯзЬ ~ (<р — 2 з)п ~р)вар,'= — (лз — 6) лЯзЬ 3, 2 Ыйхг. и — Я Существенный интерес представляет определение секториальных характеристик для прокатных профилей. Здесь прежде всего следует выделить профили типа уголка и тавра.
В этих профилях центр жесткости располагается на пересечении средних линий полок, и секториальная площадь для любой точки средней линии сечения равна нулю. Следовательно, плоскость сечения таких профилей при кручении не искажается. Эпюры главной секториальной площади для двутавра, швеллера и зетового профиля приведены на рис.
10.12, где а и Ьд— высота и толщина стенки, (д и Й вЂ” ширина и толщина полок профиля. Все размеры — по средней линии. 14з 423 а'а~ зэк аа а+ад~ х гав'аь, Рис. 10.12 Ниже рассмотрены примеры, показывающие применение полученных выше формул в практических расчетах. Пример 1О.З. Требуется рассчитать стержень, изображенный на рис. !0.13, один конец которого заделан; а другой нагружен моментом ЗИ. Геометрические характеристики сечения вычислены выше на с. 422. В данном случае крутящий момент М р постоянен по всей длине стержня и равен %. Поэтому частное решение дифференциального .уравнения стесненного кручения ,р ~~ тз,р~,н2 М„г 6/и Чй имеет внд ф — — г, а общее его решение о — 01 И Ф вЂ” — г + С, -',- С, сп та + Са зй тг . а,(н Постоянные интегрирования найдем из следующих граничных условии: при г = 0 (свободный торец) 1р" =- О; при г =- 1 (заделка) ~р=:0; $' — 0 Условие ф' — О является следствием отсутствия депланаций (и = — ф'ез) на заделанном конце, а условие ф"~~ †о — следствием отсутствия нормальных яапряжсний на свободном торце (а = Е~>"а).
Определив постоянныс, получим окончательно следующее выражение для угла поворота: 911 ( 1 — г зйт1 — з)зта] Я,1 1 1Ь1 Угол поворота нагруженного сечения стержня (г = 0) .Р . (ОЛЗ 424 здесь второе слагаемое в скобках отражает влияние стеснения продольных перемещений на угол закручивания стержня. Для рассчитываемого стержня !см.
с. 422) l„-= 1355 см"', У„=- 0,234 смг. Е Полагая — = — — 2,6, найдем Ч / Ж/з 'Л Г 0,234 г'г = ~г' — з — Р' =.— 8,15 10 а см "; ЕУ„, г' 2,6 1355 т! = 8,15 10 ' 100 = 0,815; !Л 0,815 =- 0,6?О. Поэтому в данном случае Таким образом, в рассматриваемом примере угол закручивания стержня составляет лишь 17,5К от угла, на который закрутился бы стержень при отсутствии стеснения. Вычислим величины крутящих момсггго, обусловленных напряжениями чистого и стесненного кручения: й! — БУкФ' = % сЛт1/' Мз = — ЕУ<,гР" =- Ы сЛ лг! Бимомент в се1гениях стержня Эпюры изменения МВ, Мч, В и гР показаны на рис.
10.13. Переходим к определению напряжений в стержне, полагая вй = 1Оа Н см. Вблизи нагругкенного конца в поперечном сечении стержня имеются только касательные напряжения. Напряжения чистого кручения, соответствующие моменту 7/, Чн 0,2622 0,26.10ь т =- — — й = — ' й = ' 0,3 = 3300 Н/см'.
/к ./и 0 234 Касательные напряжения стесненного кручения находим по формуле используя построенную на рис. 10.10, в эпюру Я, . Максимальное напряжение т в сечении з= 0 0,74Й! «0,74 104 Л/ оьг 03 1355 22,1 =400 Н/см . 27 лаз~!'гм' /ам г З7О /амг н/гм 2 и/ам 2 Рис. 10.!4 Распределение напряжений т и т показано на рнс. 10.14, а, б. Рассмотрим теперь распределение напряжений у заделки. В этом сечении возникают только касательные и нормальные напряжения стесненного кручения (т = О).
Напряжения г находятся так же, как и в сечении з= 0 (с той разницей, что Л4ч = %), а нормальные напряжения — по формуле В б = Е1руез = — а. ,/р Для получения эпюры нормальных напряжений следует эпюру ы (см. рис. 10.10, б) умножить на величину В 0,67!В 0,67 104 1„аь/„8,15 10 '1355 Эпюры напряжений и, т в заделанном сечении приведены иа рис. 10.14, в, г. Как видно из рассмотренного примера, наибольшую роль, с точки зрения прочности стержня, играют нормальные напряжения стесненного кручения. Касательные напряжения стесненного кручения т, как уже указывалось ранее, несущественны. Пример 10.4. Рассмотрим кручение стержня, оба конца которого закреплены так, что не могут поворачиваться, но могут свободно депланировать.
426 Внешняя пара приложена внутри пролета (рис. 10.15). На фигуредействие опор заменено реактивными моментами %А. %В На левом участке стержня (О( г (а) крутящий момент А4кп = = %А. Здесь общее решение дифференциального,уравнения стесненного кручения имеет вид ф = — г+ С, с!з тг+ %А 6/к + Са зн тг + Ст, (10.30) причем при г= 0 должны 'быть выполнены граничные условия ф~ о — 0; фи~ 0 Рис. 1015 На правом участке (а ( г = 1) крутящий момент изменяется на величину % и составляет %А — % = — % и На границе участков должны совпадать значения ф ф' и ф" (так как одинаковы значения угла поворота, депланацин и нормальных напряжений стесненного кручения). Все эти условия можно удовлетворить, если принять на правом участке = — г + Сг сп тг+ С, й тг+ С,— %А 6 к (10.ЗЦ % 1 — — — (т (г — а) — з!1 и (г — а)) .
61к В самом деле, выражение (10.31) является решением дифференциального уравнения тз Ф"- зф'= — — (%А — %). Кроме того, оно отличается от выражения (10.30) для ф на левом участке только слагаемым % 1 — — (т (г — а) — зп т (г — а)), 6 (к которое на границе участков (г = а) обращается в ноль вместе с первой и второй 'производными. На правом конце стержня при г = ! должны быть выполнены условия ф = = О, ф" = О. Вместе с условиями при г = 0 эти условия позволяют определить постоянные Сг — Сз, а также реактивный момент %А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
