Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 57
Текст из файла (страница 57)
В то же время деформации, вызываемые краевыми нагрузками, ортогональными к 1, х, у, о 1т. е. все слагаемые формулы (10.11), кроме первых четырех], затухают на длине порядка размеров поперечного сечения. Следовательно, «бимоментные» напряжения представляют собой систему самоуравновешенных напряжений, которая медленно (вопреки классической формулировке принципа Сен-Венапа) затухает по длине тонкостенного стержня открытого сечения. Хотя быстро затухающие напряжения (соответствующие а„ в„...) влияют на прочность стержня вблизи мест приложения нагрузки, их расчет уже не может быть выполнен с достаточной точностью на основе гипотезы о неизменности формы сечения.
В теории тонкостенных стержней эти напряжения не учитываются. Подставляя в формулу для бимомепта выражение (10.9) и учитывая равенства (10.8), найдем связь бимомента с углом поворота ф Ц Е11,» ~ О>2ь Аз Вычисленный по всей площади сечения интеграл ) в'и Йз = 1 Ф Р называется с е к т о р и а л ь н ы м м о м е н т о м и н е р ц и и с е ч е н и я. Используя эта обозначение, получим формулу В = Е3„~", (10.12) после чего нормальные напряжения в поперечном сечении могут быть представлены в виде л и. м„ в а= — + — 'у+ — "х+ — и.
г.«гу гсе 413 Вычислим касательную силу 5 в срединной поверхности стержня. Запишем уравнение проекций приложенных к элементу дТ ду стержня сил на направление г: — '-~- — =- 0 (предполагаем, дг дк что продольная нагрузка д, = 0). Отсюда 5 1 дт1 1з 1 (г1 дг ?1роизвольную функцию )' (г) можно определить, так как па продольной кромке стержня (з =- з,) 5 = О. Тогда 5 5 = — — ~ — ~Ь дТ~ д~ Бю или, после подстановки значения Т, по (10.9), М„ Я 5 = — —" 1 хй йа — — ' ~ уй г(э — Е~>"' ~ айги, 1у ~ 1х Ба Бр ~а дЛ1, дМ„' йЕ =Му=Ох, —" — - — М;==-Яу.
д8 Интегралы ~ хй сЬ = 5~,; ~ уй дз =- 5,'" представляют собой статические моменты относительно центральных осей х и у площади части сечения, ограниченной его краем и нормалью, проходящей через точку М (заш грихована на рис. 10.5). Тогда 5= — (-~ — 5„++5,'+в~ 5,*,), г(10. 14) где 5„* =- ~ ай Йа. 50 Касательные напряжения, вызываемые силой 5, т (10.15) как правило, несущественны (как и в полубезмоментиой теории) 414 где все интегралы вычисляются от крайней точки сечения з == а, и учтено, что М' = 0 в связи с отсутствием нагрузки д,.
Из условий равновесия элемента длины стержня следуют известные зависимости между изгибающими моментами и поперечными силами Ур Рис. !0.5 Рис. 1О.а и их можно не учитывать. Однако создаваемый силой 5 крутящий момент может быть значительным.
Вычислим величину момента, создаваемого силами 5 относительно центра жесткости сечения Р: М.= — ~5. 1з, (10.16) 5о где интеграл вычисляется по всему контуру сечения: г — длина перпендикуляра, опущенного из центра жесткости на касательнуго к средней линии сечения; гдз = Йв — дифференциал главной секториальной площади, Знак минус в формуле (10.16) связан с выбором положительного направления для крутящего момента (рис. 10.6). После подстановки в формулу (10.16) значения силы 5 по '. (10.14) получим Мз — ~' ~ 5' Да + —" ~ 5," Йо + Е5Р'" ~ 5„' Йз .
1р ~ оо г Вычислим входящие в зто выражение интегралы: ~Го о~с 5 5 ~5уйв =- ) ) х515Ь 51с5 =со~ х51сЬ~ — ) о5хйдз= — О, ор 55 55 55 к 'Где учтены равенства 5д —— - 0 и (10.8); 5Ъ ) 5„"йо = — 0; 5р 55 55 5 ~5.*1 = ~ ~МЬ Ь. =а~вЬаь~" ~ а11Ь=- оо оо оо 55 Р Таким образом, окончательно Мз = —. ЕУ5,515'", (10.17) где ӄ— секториальный момент инерции сечения; У = ) ю'Й сЬ.
415 где тз . напряжение стесненного кручения; Л4 — 5~ ,l(~ Интенсивность распределенного крутящего момента Н определяется по формуле Н = (1 — р,) Рн„. дд, Для цилиндрической оболочки х„=-— Поскольку сечение стержня поворачивается как жесткое на угол ф, то д, = — ф (положительные направления отсчета 'ф и д, противоположны). Поэтому Н =- — (1 — р) Рф'. Соответствующие моменту Н касательные напряжения (напряжения чистого кручения) распределены по толщине стенки по линейному закону, причем максимальные по величине напряжения 61Н1 , / Е У ф ~ 2(1~ ) Полный крутящий момент в поперечном сечении стержня складывается из момента Мп, обусловленного распределенными моментами Н, и момента Мз сил 5: М„, =- Мн+ Мз.
Принимая для крутящего момента положительное направление в соответствии с рис. 10.5, получим Ми — — — 2) Н дз. Коэффициент 2 в этой формуле учитывает момент касательных напряжений, нормальных к средней линии сечения. Как доказывается в теории упругости, при кручении этот момент в точности равен моменту напряжений, параллельных средней линии. После подстановки значения Н получаем (10.18) М„= й,7.ф', где 5~ У.=- —,' ~йзй Яа (интеграл вычисляется по всему контуру). Учитывая значение Мн по (10.18), формулу для максимальных касателы1ых напряжений чистого кручения можно записать в виде (10.20) 416 С учетом зависимости (10.17) формула (10.15) для касательного напряжения, вызываемого силой 5, получает вид Ях 1 э Яу 1 э т= — — — 5, — — — 5х+тз, 4 й 1 Приравнивая сумму моментов Мз и Мн полному крутящему моменту в сечении (вычисленному относительно центра жесткости), придем к равенству 61„ф — Е3,аф = М .
(10.21) В формулу (10.21), определяющую величину крутящего мо. мента, не входят поперечные силы Я„Ц,. Это объясняется тем, что поперечные силы при изгибе проходят через центр тяжести Р (таково одно из определений центра жесткости). Для статически определимого стержня крутящий момент в сечении — известная функция г. Поэтому равенство (10.21) представляет собой дифференциальное уравнение, определяющее угол поворота ар, так называемое уравнение стесненного кручения стержня, которое можно также записать в виде (10.22) где ~п 2 0~к Е3, 1,общее решение уравнения (10.22) имеет вид ф = фо + С2 + г.2 с)т п2з + г-2 з11 л2з> где ф, — частное решение неоднородного уравнения, а постоянные С; (1 — 1 —:3) определяются в зависимости от граничных условий.
Граничные условия могут накладываться на величину самого угла поворота ф, а также на величину депланации сечений (пропорциональной ф') или на соответствующий силовой фактор— бимомент, пропорциональный ар.". Различные варианты граничных условий и примеры расчета :.' рассмотрены в ~ 45. После того как угол поворота ф вычислен, можно найти моменты чистого и стесненного кручения: Мн — — 6У„ф'; Мз —-- = —.ЕУ„ф"', величину бимомента В = ЕУ„ф", а затем и напря:. жения, связанные с кручением, Мн М, 1 В тн — — — й; тя =- 5„—; у =- — . (10.23) Если, кроме кручения, стержень испытывает растяжение и изгиб, то касательное напряжение от поперечных сил Р.е * ~ Ь т = — — 5У вЂ” — — Б,— "ь ~.
'а ; должно быть добавлено к напряжению тз, а нормальное напря- жение растяжения и изгиба У ~ Л4а Л4д а — + — у+=х— ~а ~д ',,к нормальному напряжению стесненного кручения о„. 1- 2/214 В. Л, Бидерман Из того обстоятельства, что кручение тонкостенного стержня сопровождается значительными продольными перемещениями, следует на основе принципа взаимности работ, что приложенная К стержню продольная нагрузка может вызывать его закручивание.
Пример такого нагружения представлен на рис. 10.7, а. Силы Р приложены в точках, где секториальная площадь не равна нулю. Поэтому в крайних сечениях стержня оказывается не равным нулю бимомент Вр = ) Т, (з) о йз = РнА, где вА —. величина секториальной площади в точке приложения силы (рис. 10.7, б). Так как крутящий момент в любом сечении стержня равен нулю, дифференциальное уравнение (10.22), определяющее угол поворота, является однородным и имеет решение ~ =- С, + С,сйтг + С, зЬтг Постоянная С„определяющая угол поворота стержня как жесткого, не представляет интереса, а постоянные С, и С, можно определить из граничных условий при г = О, 1.
В обоих этих сечениях задана величина. бимомента, т. е. при г = О, 1 Е,7„ф' = В,. Определив из этих условий С,, С, и полагая при г = — 0 ф = О, получим — 1з1~ тх — зЬт( + з)~ т (1 — в)). в т~е1, яь т1 Соответствующие эпюры ф, ф', В представлены на рис. 10.7, в, , а. Распределение напряжений, которое можно получить на основе приведенного выше решения, справедливо лишь на некотором расстоянии от концов стержня. Вблизи концов (на расстояниях порядка размеров сечения) напряжения существенно зависят от способа приложения сил Р. В заключение следует заметить, что во всех приведенных формулах принято следующее правило знаков: направление отсчета секториальной площади совпадает с направлением положительного крутящего момента, которое, в свою очередь, связано с направлением оси г правилом правого винта (рис.
10.8). Выше указывалось, что лежащая в основе расчета гипотеза о сохранении формы сечения стержня справедлива, если длина / чГЬ волны деформации в продольном направлении 1, )) Ь ~~ — „, где Ь вЂ” характерный размер сечения. Проверим теперь обоснованность этой гипотезы. В данном случае характер изменения решений уравнения (10.22) по длине ие синусоидальный, а экспоненциальный. Поэтому изменяемость Рис. 10.7 решения характеризуется не длиной 'волны, а размером участка 1/и, на котором решение убывает в е = 2,72 раза. Таким образом, следует проверить соблюдение сильного неравенства — )) Ь ~~ — или т ~ Ь (10.24) Но секториальный момент инерции имеет порядок Ь'й, а 1„— порядок ЬЬ'.
Поэтому 1~т имеет порядок Ь'/6, и для стержней, толщина стенки которых существенно меньше размеров сечения, неравенство (10.24) выполняется. Заметим, что для стержней замкнутого сечения 1, имеет порядок Ь'л, и для них неравенство (10.24) не выполняется. Поэтому для тонкостенных стержней замкнутого сечения теория стесненного кручения, основанная на гипотезе о неизменности формы контура, может давать удовлетворительные результаты только в том случае, когда стержень подкреплен часто расположенными поперечными диафрагмами [45]. Рис. 10.8 419 ~/г!4» 5 44.
Секториальпые геометрические характеристики и примеры расчета При расчетах тонкостенных стержней открытого сечения, кроме площади сечения и моментов инерции ее относительно главных центральных осей, необходимо также знание характеристик, связанных= с понятием главной секториальной площади, Для определения этих характеристик предварительно нужно найти центр жесткости Р и главную секториальную площадь а. Рассмотрим зависимость секториальпой площади от положения полюса и начальной точки отсчета.
- Произвольное тонкостенное сечение (рис. 10.9) отнесем к главным центральным осям инерции х, у. Выберем произвольно положение.полюса Р, и начала отсчета секториальной площади О,. Тогда величина секториальной площади в произвольной точке М равна удвоенной площади фигуры О,Р,М и выражается формулой о, = — ) (у, дх — х„ду), где криволинейный интеграл вь- ю числяется от точки О, до точки М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
