Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Для цилиндрической стенки 0 = — радиуса Я уравнения (10.37) получают вид Ие~ д ЖИд — = Ж; сиз Я ' й Для плоской стенки (О = 0; дз — Нг) справедливы следующие уравнения: Ые, 1 Щ . с10 М~. НУ Еа — — — ес ~о '17 — — — — = д; — = ЕЬз,у. (10.42) 0М~ Ф .. Щ Иа11 Й ~о ' ~ ' Й. Эти уравнения можно привести к зависимостям ~Р~ Ф вЂ” — — $ = сопз(. Игз г В ' — = сопз1; Не, ИУ ЕЬ вЂ” = — 82. ~Г Го При з = а по симметрии должно быть О = Я ~' = О.
4Ьд (Й Рис. 10.18 Первое из этих уравнений изгиба стенки в своей плоскости совпадает с уравнением изгиба, балки жесткости Р под действием Ф поперечной силы —. Второе и третье уравнения показывают, ~о что при изгибе в своей плоскости стенка ведет себя как брус малой кривизны, испытывающий изгиб и растяжение.
Если бы мы руководствовались не приближенными, справедливыми для стержня малой кривизны уравнениями (10.37), а точными уравнениями (10.35), то для плоской стенки получили бы уравнения осесимметричного изгиба круглой пластины и уравнение растяжения и изгиба кольцевой пластины в своей плоскости. При отношении внутреннего радиуса пластины к наружному, близком к единице (как для стенки бруса малой кривизны) разница между «балочными» уравнениями (10.42) и уравнениями для пластины несущественна.
Рассмотрим примеры расчета тонкостенных стержней, составленных из плоских и цилиндрических стенок. Стержень таврового сечения (рис. 10.18). Для цилиндрической стенки, располагая начало координат на краю,. имеем следующие условия при з = 0: М, = 0; У = О. Следовательно (см. зависимости (10.38) ), рав- Й~с, ~Рз, ны нулю — и —. ,1 а,1 з В общем решении дифференциального уравнения (10.39), выраженном через функции Крылова (см. ~ 12), сохраняются только два члена: е, = С,К (рз) + С,К~ (рз). Отсюда следует уравнение — 4С,К, (Х) ~ С,К, (л) = О, (10.43) В точке соединения цилиндрической полки с плоской стенкой профиля рз — - л и — (К7®+4К ж К (Ч (10.44) Распорная сила в этой же точке Кэ ~ ~ к ()) 4(К~-(1) К~ ())+4К~ ® К~ ®) с (10.45) По симметрии плоская стенка изгибается только в своей плоскости (1, — 0; 6 = 0; М, = 0).
Интегрируя первое и третье уравнения (10.42) и полагая, что », — радиус нейтрального слоя, в котором е, = О, получим: 1 1ЬР (» »о) 44 . д<р Е)1 111 Р У4 = — — ( — — »,» — А), йр 1 2 "о (10.46) Постоянные С„»„А найдем из следующих условий. 1. На внутреннем краю стенки (» — — й — Ь) отсутствует распорная сила У ~, н ~ = О. 2. На внешней границе стенки (» — ц) продольные деформации стенки и полок одинаковы: е~,~, 1~ = е:,.
3. Распорные силы в стенке и двух полках уравновешены: Мс~г=н + 2Уо 0 (й — Ь)4 Из первого условия А =- », (й — Ь) —— 2 Второе и третье условия можно представить в виде и (Л»4) 4» (х) гК4 (~)+ 4К4(»") К4( )1' 1ЬР -= — 8ЙЛФ'С „' (К1 ().) К4 (Х) + 4К. (Х.) К4 () )) 1 436 в котором использованы правила дифференцирования функций Крылова (см. с. 147) и введено обозначение Х = ()а =- = ~'3 (1 — р) Полученная связь С, и С, позволяет выразить е, через одну постоянную: е, = С, ~К1 (рх)+ ' ) К,(ра)~.
Деля почленно второе из этих уравнений на первое и учиты- 4 ЕЬ вая, что 4р:= —,, ра == Х, придем к равенству Ь Й вЂ” Г о 66 = 2 6 Оо, где 1 К~(~,) Ко (л)+ 4Ко (Х) Ко (Х) 1 оЬ 2Х+ о1п 2Х Х д (ц 4д4(Цд" р') Х 2+сй2Х+соо2л Из уравнения (10.47), полагая в правой его части в соответствии с предположением о малой кривизне стержня — ' = 1 на- Я 3 ходим расстояние от полок до нейтральной оси: 6261 "' = 2 (ьа, + 2ч а) ' (10.49) Далее определяем постоянную К~ (М 1 Ф1 К,(1,)+4К (1)К (Х) г Ф вЂ” „з' . — — 2Ю'о Р, =2 ~ Ейе сЬ = — 20й' о После подстановки значения Л1о Р, = 2о1а — — (Я 1 сф~ оо "Ф по (10.45) и С, получим — го) Ей. (10.50) Если бы поперечное сечение стержня не искажалось, то вслед- 1 дФ ствие изменения кривизны оси стержня на величину — — полки, го "Ф находящиеся на расстоянии (Я вЂ” го) от нейтральной оси, получали бы деформацию е ='ао = — — (Я вЂ” у ) и возникающее 1 Ф~) в них усилие составляло бы Р» = 2аЕЬво = 2а — — Я вЂ” го) Е11.
1 й~ го дФ Сопоставляя эту формулу с формулой (10.50), видим, что величина о) представляет собой коэффициент использования сечения цилиндрических полок. 437 после чего все усилия, напряжения и перемещения оказываются известными. Подсчитаем, воспользовавшись формулой (10А1), суммарную окружную силу, воспринимаемую цилиндрической стенкой стержня: Вычислим изгибающий момент в сечении стержня. Так как стержень испытывает чистый изгиб„то положение оси, относительно которой вычисляется момент, несущественно.
Выберем в качестве такой оси линию, проходящую через нейтральный слой. Тогда „(г — г,) б1 +Р, (Р— го) л —.ь (напомним, что распределенным моментом М, в цилиндрических полках -пренебрегаем). Подставляя значения е, = = — (г — го), Р, и вычисляя 1 са1~ 2с интеграл, найдем % =и†(10.51) где Г = — "' 1(й — го)з+ (го+ 6 — Я)о) + Ч2аЬ (й — го)' (10 52) Об Рис. 10.19 438 Так как величина — — представляет собой изменение кри- 1 (Ь(~ ~о й~ визны оси стержня, то формула (10.51) показывает, что жесткость при изгибе тонкостенного кривого стержня такая же, как стержня с недеформируемым сечением, имеющим момент инерции У'.
Нетрудно видеть, что 1' — это момент инерции относительно центральной оси эквивалентного недеформируемого сечения, которое отличается от действительного шириной полок 1заштриховано на (рис. 10.19)1. Величина Я вЂ” г, по формуле (10.49) определяет положение центра тяжести эквивалентного недеформированного сечения. Таким образом, в расчете на жесткость деформируемое сечение тонкостенного стержня может быть заметно эквивалентным недеформируемым с полками шириной т1а. Коэффициент использования полок т1 определяют по формуле (10.48).
Он зависит только от величины Х = ~~3(1 — р.о)= 11'д ~(й и представляет собой отношение суммарной окружной силы в полке к той силе (Ейаоа), которая развивалась бы в ней, если бы деформация была постоянна по ширине полки. Зависимость коэффиай ай циента т( от отношения — представлена на рис. 10.20. При — >5 1с(й 1сЬ можно пользоваться осимптотической формулой 1' Гь х; вр — ае В этом случае эффективная ширина полки а,ф —— — Ча = 1 рКЙ не аа псих от действительной ее ир ны. 'вр — пй р Наприженин в срединной поверхности о, = Ее, распределены в соответствии с эпюрой, показанной на рис. 10.19.
В точках А и В напряжения можно найти по формуле йт = Ее„, используя (10.46), а изменение кривизны выразив через изгибающий момент. йИ М Таким образом, получим аА = —,, ов — — —,, где ИГА = А в тт (т — %'„= . — моменты сопротивления эквива1й — ко й'о — (й'ь — (р) лентного недеформируемого сечения. Рассмотрим напряжения, возникающие в полках стержня ,, в связи с их изгибом. Эти напряжения максимальны около точек сопряжения полок со стенкой (з = а), где возникает наибольший момент М,: м,~ = — кйт ~" ~ =гас, ай,;,~к,р,~к„~ц-р + 4у~й(Л,)) = );йр(р — г ) 1 й"'( 4ро Кй(~ьд Кз(Л)+ 4Кд(Л) ко йр К, '(Л) + 4Кй (Л) Кй (Л) Учитывая, что Š— Я вЂ” г,) = йтА представляет собой пай(й(й й(ф '-:: пряжение в точке А срединной поверхности, и преобразуя вырарджение для М, ~й „получим ай Мй = нА — Чат и. рта б '- где .1рт З сЬ2Л вЂ” соо2Л 1 — (йй.
2+ с(й 2Л + соо 2Л 439 в) Рис. 10.21 Напряжения агу наружной и внутренней поверхности (точки С и В па рис. 10.19) 6М, П1С = ~. == — ЧаОА' 6М О1О а2 ЧООА Изгибающий момент М, =- рМ„поэтому напряжения о2 в точках С и 0 т2 6М. о~с = — = оА (1 1111а) 2 а 62 о2„= — — „' + „, =- о (1+ пг1,). т 6М2 Стержень швеллерного сечения с полками, лежащими в плоскости кривизны (рис. 10.21, а), В этом случае, располагая начало для цилиндрической стенки на оси симметрии (рис. 10.21, б), будем иметь по симметрии граничные условия при 3 =- 0: д = 0; М = О.
Удовлетворяющий этим условиям интеграл уравнения (10.39) имеет вид 32 " С1~1 (1э) + С3~3 Фз) При з = а выполняются граничные условия Е2 вО М1 О (10.53) где е, — деформация полки в той же точке. Условие М, =- 0— следствие того, что свободная плоская полка сечения не воспринимает момента. В самом деле, так как сечение открытое, осевая НМ1 сила Ф = О. Поэтому (см. уравнение(10.42)) — „' = О; М1 =- =- сопз1. Но, так как на свободном краю полки М, == О, то он равен нулю везде. 440 Условия (10,53) приводят к равенствам С,Кд (Л) + С3А3 (Л) — еа, С 4К~ (Л.) + С,К, (?.) = 0 (). = Ра).
Воспринимаемая цилиндрической стенкой суммарная окружная сила 1см. формулу (10 41)1 Дзи Р,=ЪЯЬ( °,4л=- — 2ОР' —.,' ~ =2аЯ'ь4~ х 0 , К, (),) К, (Х) — ' 4К, (Х) К, (Х) К (1). 4К; (х) (10.54) где 1 ьй 2). -,'— Мп 2). 2Л. сн 2) + соя 2Л Из формулы (10.54) следует, что цилиндрическая стенка воспринимает такое же кольцевое усилие, которое воспринимала бы неискривляющаяся стенка шириной 2т).,а.
Таким образом, и в этом случае мыприходим к понятию эквивалентного недеформируемого сечения (рис. 10.21, в). а' График зависимости коэффициента т(а от отношения — „приведен на рис. 10.22. На рис. 10.21, б изображена эпюра распределения папряжеа' ния о, в срединной поверхности стенки при — =- 1. Из эпюры Жт видно, что средняя часть стенки почти пс участвует в работе бруса на изгиб. При больших отноше4г а- 'Л а~ ниях — ( — > 1,5 ) в средней ИЬ ~ ~й г ов части стенки возникают даже напряжения обратного знака. Около як полок, где напряжения в срединной поверхности максимальны, е~ напряжения, связанные с изгибом цилиндрической оболочки, отсутствуют.
Опасными точками являются крайние точки полок, напря- о аь 4г рс и 4а, у~и М жение в которых б '~ (Р р 10 Рис. 10.22 441 Определяя отсюда С, и С„получим следующее выражение для в,: К, (Х) К, (()Я) -1- 4Ки (),) К, ((Ь) К' (К) + 4К"-, (х) Рис. 10.23 М,=О; У=О; при з = 0 при з= — а где И" — момент сопротивления эквивалентного недеформируемого сечения. * Стержень швеллерного сечения со стенкой, лежащей в плоскости кривизны (рис. 10.23, а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
