Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 63
Текст из файла (страница 63)
На первый взгляд кажется, что можно неограниченно уточнять расчет, выбирая достаточно малый шаг й. И это было бы справедливо„если бы расчеты велись абсолютно точно. На самом же деле, чем меньше шаг, тем меньше добавка Лу = И(у, 1) на каждом шаге и тем больше относительная ошибка округления, неизбежная в связи с ограниченностью разрядной сетки машины. Поэтому на практике методом Эйлера в чистом виде не пользуются, предпочитая более сложные методы, позволяющие, однако, вести интегрирование с большим |нагом.
Существенное уточнение получается при использовании метода Эйлера с итерациями. Суть этого метода состоит в том„ что, опреЫу деднв редвернеел а р~длн енные вн вен у Евд и — „ по формулам (11.32) и (11.29), затем повторяют расчет ужепо формуле (11.33), приняв за средйее значение полусумму $ (У„г,) н 1(у,, 1,). Такой пересчет повторяют несколько раз, так, что последующее (й = е) приближение вычисляется через предыдущее по формуле Я" = у + 2 11(уо, 1о)+1(И' " Я. Если оказывается, что после нескольких пересчетов У1~> продолжает заметно меняться, то это значит, что шаг интегрирования й взят чрезмерно большим, и следует повторить расчет при меньшем значении Ь.
При машинном интегрировании систем обыкновенных дифференциальных уравнений наряду с рассмотренным выше методом Эйлера с итерациями применяют методы Рунге — Кутта или Кутта— Мерсона, с которыми можно ознакомиться в работе 18). При использовании этих методов на основе стандартных программ нет необходимости вникать в детали.
Заметим, что большею частью в стандартных программах предусматривается автоматический выбор шага интегрирования Ь для обеспечения заданной точностй. Итак, задача Коши для системы дифференциальных уравнений, разрешенных относительно первых производных искоыых функций, в принципе всегда может быть'решена (мы не касаемся здесь важного вопроса о накоплении ошибок в процессе интегрирования (8)). $ 48.
Метод начальных параметров Наиболее простым (но не всегда применимым) способом сведения краевой задачи к задаче Коши является метод начальных параметров. Рассмотрим уравнение Н д„у = ГУ+ и' (11,34) 1 ~1х у (11.35) Таким образом, можно написать л -. у(х) = у,(х)+ ~ с;у,(х) (11.36) Напомним, что у (х) вектор, имеющий п компонентов, поэтому формула (11.36) в сущности имеет вид Уье Уа,н Уь1 л +Хс (11.37) Ул, 1 а1ла Б. 'Ь Бидерман где у — п-мерный вектор искомых функций; à — матрица.
(и х Х и) переменных коэффициентов; ~ — вектор правых частей. Решение уравнения (11.34) должно быть подчинено -и граничным условиям на границах интервала. Будем считать, что т условдй сформулировано в начале (х = хе) и и — и = г — в конце (х = 1) интервала интегрирования. Известно, что общее решение неоднородного линейного урав, нения п-го порядка (11.34) может быть представлено в виде суммы какого-либо частного решения у, (х) неоднородного уравнения и линейной комбинации п линейно-независимых решений у, (х), у, (х), ..., у„ (х) однородного уравнения Эту формулу удобно записать в матричной форме, если ввести в рассмотрение матрицу решений однородного уравнения (11.35): Уь 2 Уь 2 ' ' ' Уь .
' ' ' У2, У2,1 У2,2 ''' У2,1 ''' У2,п 2'(Х) = (11.38) У11,~ Ул,2 ''' Ул,1 "'' Улп и вектор постоянных интегрирования С = (С2, С, ..., С;,, С„~. Тогда, (11.37) можно записать в виде у (х) = ур (х) + 7 (х) с. (11.39) Векторы у, (х) и у; (х) можно найти, решая задачу Коши. Так как у, (х) — любое частное решение неоднородного уравнения (11.34), то для него можно задать любые начальные условия, Й, в частности, нулевые: ур (хр) = (О 0 ...
0$. (11.40) Значение этого вектора в любой точке определяется численным интегрированием уравнения (11.34) при начальном условии (11.40). При выборе начальных условий для векторов у,. (х), являющихся решениями однородного уравнения (11.35), надо позаботиться об их линейной независимости. Проще всего этого добиться, при нимая матрицу решений 7 (хр) единичной„т. е. 1 О" О~ О О у (хр) (11.41) При этом любая пара из векторов 0 1 У2 ("Р) = Уп(:12) = у ( р) 458 взаимноортогональна, что обеспечивает их линейную независимость. Матрица (11.38) решений 2' (х), удовлетворяющая начальным условиям (11.41), называется матрицей фундаментальных функций для уравнения (11.35) или матрицей перехода.
После фактического построения частного решения неоднородного уравнения у, (х) и матрицы решений однородного уравнения 7 (х) коэффициенты с;, входящие в общее выражение (11.35), определяются из п граничных условий нри х = хр и х =- 1. Именно так поступают обычно при аналитическом решении краевых задач.
При численном расчете, когда построение каждого из решений требует интегрирования дифференциального уравне- ния, объем вычислений может быть существенно сокращен. В самом деле, так как начальные значения всех векторов у; (х,) известны заранее 1до интегрирования — см.
(11.41Ц, то и граничных условий при х х, представляют собой т линейных уравнений, связывающих а постоянных с;. Поэтому только п — т = г постоянных независимы. Введем новую систему решений однородного дифференциального уравнения уа (х) (й = 1, 2,'..., г); причем векторы уа (х) являются линейными комбинациями векторов фундаментальных решений у; (х), и новое частное решение неоднородного уравнения у, (х), подчинив их начальным условиям уа (ха) = хд: уо (хо) = хо (11.42) где векторы аа, хо выбраны так, чтобы они были линейно независимыми, а выражение у(хо) =хо+ Х сох а=1 удовлетворяло бы граничным условиям при х = х, при любых значениях постоянных са.
Тогда выражение т у (х) = у, (х) +,~~ сну, (х), (11.43) содержащее только г =- и — т решений однородного уравнения и постоянных са, будет удовлетворять условиям при х = х„а граничные условия при х = 1 позволят определить г постоянных са. Из векторов уа в этом случае можно составить прямоугольную п х г матрицу Уъ| Уьа ''' У1, Уа,1 Уо,о '' Уа,~ Ул, 1 Уа, а ' ' ' -Уп, к Уь1 Уьа ''' Уь~ Уьа Уа,1 Уа,а ''' Уа, Уа,о 1 с,= (с,1 с,>...> с„1). Уа~1 Ул,а '' Ул,1 Уо,о Тогда формула (11.43) может быть записана в виде у(х) =у,(х)+7(х)с, (11А4) где с = 1с„с„..., с,) — столбец г постоянных.
Возможен также другой вариант записи формулы (11.43). Для этого введем матрицу т'„включающую решения не только однородного, но и неоднородного уравнений, и вектор с„составленный из постоянных са и единицы, а именно: Тогда у(х) =Уос . (11.45) Эта запись будет использована далее, в ~ 49. Построение системы векторов хз (й 1,.2, ..., г, О) несложно. При этом, чтобы обеспечить их линейную независимость, целесообразно'выбирать их взаимно ортогональными. Рассмотрим построение системы начальных значений векторов на примере изгиба балки. Система дифференциальных уравнений (в безразмерной форме) имеет вид (11.25).
Запишем граничные условия на левой опоре (х = 0): а,уд + азуз = а; рдуз + роуз = р, (11.46) которые соответствуют 'упругому закреплению конца балки, где приложены также сосредоточенная. сила и момент. Выберем начальные значения решений однородного уравнения у, (0) = х„ у, (0) = х, так, чтобы оии удовлетворяли однородным условиям (д = 1, 2) идгд,д + азиз,; = О; 11дхз,з + Рзгз„— — О. Можно принять хд= (а„О, — а„О); 1 $ иод + сс4 1 (О, Р„О, — рд~. ~Г~з + 112 Нетрудно видеть, что эти векторы взаимно ортогональны и норма каждого из них равна единице. Начальное значение х, вектора неоднородного решения у, следует выбрать таким, чтобы оно удовлетворяло неоднородным граничным условиям (11.46). Кроме того, целесообразно выбрать его ортогональным векторам х„х,.
Таким образом, для компонентов х, получаются четыре уравнения: адхд, о + азиз, о = а; Рдхз, о + (дзхо, о = Р' а,гд, о — адамо,о — — 0; 11згз, о — рдгз,о — — О, из которых находим ад .Рд В а;+ из Рд Рз в. з,о=,з1 за ~зо= рз1р1 Р. Рассмотренный случай граничных условий при х = О наиболее сложный. В других случаях построение векторов х проще. 460 Например, если сечение балки х = 0 заделано, то граничные условия имеют вид д,(о) = о; д, (о) =- о. Тогда можно принять следующие значения векторов х: х~ —— (0,0,1,0(; х,=(0,0,0,1(; х„=(0,0,0,0(. Таким образом, решение линейной системы а-го порядка, удовлетворяющее т граничным условиям при х = х„всегда может быть представлено в виде (11.43), содержащем лишь г = п — т решений однородного уравнения, удовлетворяющих начальным условиям у~(х,) = х,. Для определения этих решений г раз нужно решить задачу Коши.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
