Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 66
Текст из файла (страница 66)
(11.75) Из второго уравнения (11.68), после подстановки в него значения К получим уравнение, определяющее прогоночный вектор г' =- (Ä— ЬР„) г — Ьк2 + к1. (1! .76) Численное интегрирование уравнений (11.75) и (11,76) при начальных условиях (см. формулу (11.72)1 Ь(0) =Ь2, г(0) =г, (11.77) П 1'Л всего — ( — + 1~ скалярных уравнений~ решает вопрос о переносе граничных условий (11.71), заданных при х = О, в произвольную точку. В результате решения задачи Коши для уравнений (11.75) и (11.76) будут получены значения Ь (!) и г (1) и, следовательно, соотношение у, (1) = 1.
(1) у, (1) + г (1), представляющее собой 47! у, (1) = — Ь„. (1) у, (1) + г„(1), либо можно'воспользоваться тем, что вектор решения при х =- 1 уже вычислен, и принять 1., 1т) = 0; г, (1) = у, (1). После проведения прогонки справа налево в каждом из расчетных сечений получаются два матричных соотношения у, (х) = Ь (х) у, (х) + г (х); у, (х) =- Ь,, (х) у, (х) + г, (х). (11.78) Из этих соотношений (и-скалярных уравнений) нетрудно найти у, (х) =- (Ь (х) — Ь, (х) ! ' (г, (х) — г (х) ); у, (х) = Ь (х) у, (х) + г (х). (11.79) Матрица (Ь (х) - —. Ь, (х)] не особенная. При расчете по методу податливостей она представляет собой взаимную податливость левой и правой частей конструкции, при расчете по методу жесткостей — суммарную их жесткость.
Преимуществом рассмотренного метода определения векторов состояния в промежуточных сечениях является значительная экономия памяти ЭВМ. В качестве примера, позволяющего понять суть данного варианта метода прогонки, рассмотрим расчет балки на упругом основании. Дифференциальные уравнения задачи в безразмерной форме имеют вид (11.25), а — скалярных уравнений, связывающих компоненты п-мерного вектора состояния у(1) для сечения х = Ь Другие — соотно- 2 шений дадут граничные условия при х ° Ь Таким образом, получается полная система алгебраических уравнений, определяющих а компонентов вектора состояния в сечении х — Ь Для определения значений переменвых в промежуточных сечениях разработано несколько различных приемов 1181.
Удобнее других метод, называемый методом встречной прогонки. Суть этого метода такова. При решении задачи Коши для уравнений (11.75) и (11.76) запоминаются значения Ь и г в тех сечениях, в которых предполагается вычислять вектор состояния. Затем систему уравнений (11.75), (11.76) интегрируют еще раз но уже справа налево (Их < 0), и вычисляют новые значения Ь, и г„в каждом сечении. При этом начальные условия для Ь, и г при х =- 1 могут соответствовать действительным граничным условиям при х 1, если их можно записать в форме В развернутом виде эти уравнения можно записать так (сравните с. сокращенной записью (11.59) ]: 0 1 0 0 ' О О О Йа ~, о о о О- Π— 1 О(~ 0 0 +~ ух 0 ' у~ Уз у~ (11.80) Уз где х ю..
' Ф' — — Ч~= — ' Ув=б Уз= ~-,~ У~ е,г ~о~~ о и И4 Еисми Ф' й,=-; 7га= — — "", 'у =-,— причем Й,, Й„д, — известные функции $. Положим у~ ~уэ У~= ' Уа=~ уя ~у4 у Я) = ь (1) у. Я) + Г а) представляет собой матрицу (безразмерную) податливости левой части балки, а г Д) — вектор безразмерных перемещений сечения х этой же части балки, вызванных внешней нагрузкой на нее. Нетрудно убедиться (см. рис. 11.1), что знаки элементов матрицы Е ($) следующие: 1„> О; 1,, = 1„> 0; 1„> О.
Заметим, что при интегрировании уравнений (11.75) справа налево матрица 1, ($) будет представлять собой податливость правой части балкй, и знаки ее элементов будут другими: 1у1~ С Ою 1~~я 1~2~ > 0! (у22 Порядок компонентов в у, соответствует порядку компонентов в у,.
Поперечная, сила Я (ее безразмерный аналог у,) совершает работу на перемещении и (у,), а момент М (у,) — на перемещении д (у,). Как видно из уравнения (11.80), в данном случае клетки матрицы Р 0 1 ~0 0 Ъ, 0 '0 0~ О О' " !О ~' -' О О' " — 1 О и составляющие вектора д о — ч, И~ = к2 0 0 При принятой нами нумерации компонентов у матрица 1.($) в выражении Подставляя значения матриц в дифференциальные уравнения (11.75), (11.76), получим после перемножения матриц' М11 + 112 + 121 721111с12 + 122 ~ ~"1111121 + ~22 ~1112"21 + 22 ~1~11г1 + ~2 + ~11Ч1 11 й1121г1 + 1' Ч1 1'1 Ж Га Эти.
уравнения соответствуют шести скалярным Д~11 2 н1~11 + 112 1 ~21~ щ '= 721111с!2 + 1221 д1,, бь '"1112~21 + ~21 с!122 сЯ 721121г1 + 121Ч1. (1 1.81) ~~21 721111121 т 122 ~1~ й. М11г1 + г2 1 111Ч1) с(с М =Сад-~-т Я =- с1121 (- Р; или 1 1 6(0) = — — 1И вЂ” — т. Со ' Сз 122 (О) = — Я вЂ” Р; 1 1 С1 сг Сравнивая эти зависимости с формулой ЕО7о ЕО7о ! и ~=0 1 О. 1 ЕОУО . с21 видим, что в данном случае пр ЕО7О . 1 1 1 При программировании сложных задач на ЭВМ делать такого рода преобразования нецелессобразно. Следует непосредственно программировать матричные соотношение (11.75), (1! .76). 474 При' практическом расчете число уравнений может быть сокращено до пяти с учетом соотношения взаимности 1„= 1„.
Начальные условия для интегрирования уравнений (11.81) должны соответствовать условиям закрепления левого конца балки. Например, если этот конец упруго закреплен в отношении линейных и угловых перемещений и нагружен внешней силой Р н моментом т (рис. 11.2), то внутренние диды и перемещения связаны зависимостями Очевидно, что начальное условие для матрицы податливости Е Д) нельзя сформулировать, если жесткость упругой опоры . -с, стремится к нулю (с, 0 или с, 0). В этом случае можно поступить двояким образом. Можно перенумеровать компоненты вектора состояния у так, чтобы вектор у, в начальном сечении не был нулевым.
Например, если конец балки х = О свободен, можно принять у, = Я, М~; у, = (ы, д~. Тогда матрица Е в выражении (11.71) будет представлять собои матрицу жесткости отсеченной части балки, и начальные значения всех ее элементов будут нулевыми. Общий способ расчета в случае', если граничные условия при х = О не могут быть записаны в форме (11.72), состоит в том, что на начальном участке интервала интегрирования О < х < х, решение отыскивается методом начальных параметров (длина этого участка выбирается достаточно малой, чтобы не было чрезмерного возрастания решений). и При этом численно находят матрицу — линеино независимых 2 решений однородного уравнения и столбец решений неоднород- ного 1Уь~ Уса ''' У 2 ,Уь о уа.
о уа,~ уа,з ''' у уо = ул,~ ул.з ''' у 2 (11.82) у (х) — ус + у„ где с — столбец постоянных. 2 Вычислив матрицу У (х,) и блоки |у, э =~ ~у, столбец у, (х,), разобьем их на Уьо ) где у, и Ъ", — квадратные ( — Х вЂ” ) матрицы. 475 Как и всегда при использовании метода начальных параметров, решения у4 и у, подчинаются таким начальным условиям, чтобы граничные условия при х = 0 выполнялись автоматически при любых значениях с в выражении общего решения (см. 2 48): Тогда выражение(11.82) 10 чвб при х =- х можно запи- 1 сать в виде бВ Р вго У1(Х1) =- У1С+ У1,0,' сб гчв в" Ь ~ у (х,) =-1',с+у,, ю Определив вектор по- стоянных с из второго 0 соотношения и подставив в первое, найдем -Ю О 1 г 1 б б б 7 .Ух У1 (Х1) = б 1(х1)(У2(х1)] (У2(х1) г .
гпз — Уг,о (х1)] + Уьа (х1) Сравнив это выражение с общей зависимостью'(11.71) метода факторизации„устанавливаем, что значения прогоночной матрицы Е и вектора г в сечении х, определяются формулами 1 (Х1) =- 1 1 (Х1) (Ъ 1 (Х1)] г (Х1) = У1,, (Х,) — й. (Х,) ув,о,(Х1).
- (11.83) Эти значения Е (х,) и г (х,) являются теперь начальными для интегрирования прогоночных уравнений (11.75), (11.76) при х ~ == х,. Может показаться, что метод факторизации, в котором интегрирование методом начальных параметров, исходной линейной системы дифференциальных уравнений (11.59) заменяется двукратным интегрированием нелинейных уравнений (11.75) и (11.76),. не имеет существенных преимуществ. Однако это не так.
Именно в тех случаях, когда вследствие краевых эффектов метод начальных параметров неприменим, метод факторизации приводит к хорошим результатам, так как элементы матрицы Е и вектора г меняются медленно и могут быть легко определены численным интегрированием уравнений (11.75) и (11.76). Это видно, например, из графиков, представленных на рис. 11.3, которые показывают характер изменения по длине цилиндрической оболочки постоянной толщины (радиус Я, толщина й) одного из решений однородного уравнения осесимметричной деформации у„(х) = з]1 йх Х Х з]п ]1х и элемента матрицы податливости, соответствующего перемещени1о, вызываемому единичной поперечной силой 1 с'о ]1х вЬ рх — сов рх 11п ]4х и '1г1]4б сЬ1 ах+ сов1 ах 4 1 Еббб где р' = ~/ 3 (1 — ]1') —; В =- 1/й ' 12(1 — Рб) ' Приведенный пример носит иллюстративный характер, однако опыт показывает, что метод факторизации позволяет без потери точности переносить граничные условия в наиболее неблагоприятных случаях статического расчета устойчивых конструкций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
