Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Еще один раз ее нужно решить для определения решения неоднородного уравнения. В результате интегрирований определяют значения этих векторов на правом конце интервала интегрирования. Далее, из г граничных условий на этом конце находят постоянные с, в выражении г у(Π— у.(1)+ Е с.у Я. а следовательно, и сам вектор решения при х = 1.
Затем обычно требуется определить векторы решения в промежуточных точках интервала интегрирования. Это можно сделать двумя способами. Во-первых, поскольку постоянные с~ уже определены, можно воспользоваться непосредственно выражением (11 43). Однако такой способ требует запоминания значений векторов у„у„в характерных точках, что излишне загружает память машины. Поэтому чаще рассчитывают вектор у (х) в промежуточных точках путем еще одного интегрирования неоднородного дифференциального уравнения — „„у= Гу+а при начальном условии у(х0) — х0+ ~~~ сффй=1 Такой прием позволяет также проверить точность проведенного расчета по тому, в какой мере полученный в результате интегрирования вектор у (1) удовлетворяет.
граничным условиям. Метод начальных параметров является наиболее простым способом сведения краевой задачи к задаче Коши. Но он применим лишь тогда, когда дифференциальное уравнение (11Л4) не имеет одновременно как быстро убывающих, так и быстро возрастающих решений, т. е. когда отсутствуют краевые эффекты.-- 461 В противном случае точность расчета быстро уменьшается с увеличением интервала интегрирования, и часто численный расчет по методу начальных параметров оказывается невозможным.
Объясним причины этого явления. 1. Среди решений однородного дифференциального уравнения имеются решения как возрастающие с увеличением независимой переменной, так и убывающие. Заданным начальным условиям соответствуют решения, содержащие как возрастающую, так и убывагсщую части. При числовом расчете, начиная с некоторого значения независимой переменной, убывающие части становятся настолько малыми по сравнению с возрастающими, что практически из решения исчезают (так как точность числового расчета ограничена). Поэтому решения с одинаковой возрастающей частью (но разной убывающей) становятся- прн достаточно большом значении аргумента линейно зависимыми (папример, два разных решения однородного уравнения изгиба балки постоянного сечения на упругом основании у, = = сЬ тх.з1п тх, у, = зЬ тх зрп тх при большом аргументе ста- 1 новятся неразличимыми: у, = у, = — е~' з1п тх при тх)) 1).
Это приводит к тому, что система алгебраических уравнений для определения постоянных интегрирования становится плохо обусловленной, т. е. ее определитель представляет собой малую разность больших чисел. 2. При быстро возрастающих по модулю и часто меняющих свой знак функциях резко снижается точность самого численного интегрирования. Для преодоления трудностей, связанных с наличием быстро возрастающих и быстро убывающих решений дифференциального уравнения, разработаны специальные расчетные методы.' Ниже рассмотрены три таких метода — метод ортогонализации С.
К. Годунова и два варианта метода прогонки. Способы, связанные с за-, меной дифференциальных уравнений разностными, не приведены. 5 49. Метод ортогоналиаации С. К. Годунова С. К. Годунов предложил метод ортогонализации, который позволяет получать численное решение краевых задач для линейных дифференциальных уравнений, когда наряду с убывающими имеются и быстровозрастающие решения [281. Суть метода С.
К. Годунова состоит в том„что весь интервал интегрирования разбивают на участки, на каждом из которых проводят численное интегрирование исходного дифференциального уравнения так же, как и при использовании метода начальных параметров. Длины участков выбирают такими, чтобы в пределах одного участка решения однородного уравнения оставались линейно независимыми. При переходе от участка к участку матрица решений подвергается линейному преобразованию, так что век- у (х) = уо" (х) + ~ с),)чу~" (х), где с), — г постоянных для )-го участка. (!) (11.47) В выражение (11.47) входят только г постоянных (ври системе дифференциальных уравнений п-го порядка), так как решения у, (х), у, (х) построены так, что и граничных условий при х = О выполняются автоматически.
Выражение (11.47) можно записать в форме (11.45), введя матрицу у(!) у(!) у(!) у(() У~, ) У2! 2 ° У2~ У~, о (!) (!) ... (!) (!) (х) )у! э у2 з'""~ уг ) уО (!) ) (!) (!) (Л (!) Уп,) ' Уп,з (!) (!) у,~ -у,,а~ (!) (!) и вектор Тогда у(х) = — у(!) (х) с(!) (х! ) < х «х!). (11.48) Из условия непрерывности рс)пения в точках деления х, следует 1*(!) (х;) с(() =- Ъ'((+)) (х!) с(!' ( '). (11.49) Переходим к изложению метода построения решений т'(!). Но первом участке О < х < х, (! — — 1) ре)пения дифференциальнога уравнения строят точно так же, как и при методе начальных параметров.
С этой целью выбирают систему г линейно независимых торы частных решений однородного и неоднородного уравнений становятся ортогональными. Таким образом удается сохранить линейную независимость решений уравнения на всем интервале интегрирования. Во избежание чрезмерного возрастания численных значений решений однородного уравнения на границах участков вводят нормирующие мно?кители.
Итак, весь интервал интегрирования О «х < 1 делят на ручастков О <х х„х, <х <х,,...,х„,, <х <х„=1. На каждом из участков (номер участка 1) строят систему г векторов решений однородного уравнения у(!' (х) (й — — 1, 2, ..., г) и вектор решения неоднородного уравнения уо(!) (к) (как в и предыдущем параграфе, и — порядок системы уравнений, т и г = и — и— соответственно число граничных условий, заданных в начале и в конце интервала интегрирования). Полное решение на 1-м участке векторов х>, ' (й =- 1, 2, ..., г) и вектор я31'~ так, чтобы выражение Г у (О) = хз ' + ~3 сдх'„ 3=1 (11.50) при начальных условиях уз(0) =хп; (3> а также решают, задачу Коши для неоднородного уравнения Й Ж УЗ = г Уп + Я ' (11.51) при начальном условии уо (0) = х3 .
13> В результате интегрирования находят матрицу решений в точке х=х,: у~>> (х>) =!!у>11> (х ), у11> (х,), у1'> (31) у30> (х>)!! = У131 У1,2 ''' Уьп У>,о У2,1 У2,2 ''' УЗ,З УЗ,З Уп 1 Уп 2 ' ' ' Уп и Уп о Составляющие эту матрицу векторы у; = (у1о у„, ..., у„;) (Š— 1, 2, ..., г, 0) подвергаются затем. ортогонализации и нормированию по следующим формулам (в этих формулах аргумент х1 и верхний индекс, соответствующий номеру участка, опущены): О>11 = У (У1У1) ' 1 г1 = — У,; «>11 г,' п>12 (31У2) > п>22 ~ (У2У2) О>12ф 1 х2 =- —. (У, — х1о>12); 22 2 2 ° 0)13 = (Х1УЗ); п>23 = (ЕЗУЗ); п>ЗЗ = ~ (УЗУЗ) — О>13 — п>231 удовлетворяло граничным условиям при х = 0 при любых значениях сз.
Затем на первом участке г раз интегрируют однородное дифференциальное уравнение ~х уй 1 Хз '= — (Уз В10)13 Х20)23) 1033 1 7г = — (У х)(01г — х20)2~ — — х 10) -1. 3) 0)гг (1)10 (~1У0)' ~)20 (~2У0) ' " ' 0)г0 (хгу0) ~0 = Уо в1 0)10 ~20) 20 . в~0)~а (11.52) где в круглые скобки заключены скалярные произведения векто- ров (х у3) =- ~~ а ту(3 1=1 В результате по формулам (11.52) вычисляют («+ 1) векторов х3 (13 = 1, 2, ...., «, О), образующих матрицу (1) (1) (1) (1) 21, 1 З1, 2 ' ' ' Я1, г 21, 0 (1) (1) З2, 1 22, 2 (1) (1) 22, 1' а2.
0 (11.53) (1) (1) г„ , г„ 0 (1) (1) а0, 1 20.2 и величины 0);;, образующие треугольную матрицу 0)11 0112 0)13 ' 0)1Г 0)10 0)23 0)23 ' ' ' (02г (030 ЫЗЗ 0~3К С030 й(1) = (11.54) ! (Огг 0)г0 Верхние индексы при Х и Я определены эти матрицы, Из формул (11.52) видно, что заны зависимостью указывают точку (х1), в которой матрипы У(1) (х1),х)) и О(') свя- 4бб у(1) (, ) ~(1),1(1) (11.55) причем векторы х обладают следующими свойствами: 1) скалярное произведение любой пары разных векторов (в(г3) =- 0 (1 + Й), следовательно, эти векторы ортогональны; 2) норма каждого из векторов к3 (Й = 1, 2, ..., «) (г1г3) = 1 (13 = 1,2, ...,«). Векторы в~3~ ()3 = 1, 2, ..., «) принимают за начальные значе1 ния при решении задачи Коши для однородного уравнения (11.50) на втором участке х) ~ х ( х1, а вектор х!) — для неоднород- (1) ного уравнения (11.51).
После интегрирования находят векторы у>,') (х2) (й = — 1, 2, ..., «) и уо(') (х1), составляющие матрицу 1'('>. Эти векторы снова ортогонализируют по формулам (11.52), причем вычисляют матрицы Х(з) и Я(~). Затем при начальных условиях, определяемых векторами х('), интегрируют однородные и неоднородные уравнения на третьем участке, снова проводят ортогонализацию и т. д.
В результате интегрирования на последнем р-м участке находят векторы у~~р~ (1) (1( =- 1, 2, ..., «, О), составляющие матрицу у(р) (!) Граничные условия при х = 1 позволяют найти «постоянных, входяших в выражение у (1) — т' (1) с (11.56) где с' ' = — (с~ ', с,'"', ..., с,' ', 1), и, следовательно, сам вектор решения у (1). Далее можно последовательно определить вектор решения во всех точках деления х;. При этом использу:от у. юш е (11.49) непрерывности решений.
Подставляя в него у (х;) — Х (>+!) (!) У(!)(х) = Х(!)Й(!> найдем Х(>>й(!)с((> = Х'!'с()+'>. ! 3 Отсюда следует, что векторы постоянных на соседних участках связаны зависимостями Я(!)с(>> =- с((+'>. (11.57) Поскольку вектор постоянных па последнем р-и участке найден из граничных условий (см. (11.5б) ) и определены треугольные матрицы Й, решая уравнения (11.57) последовательно в р — 1, р — 2, ..., 2-й, 1-й точках деления, можно найти векторы с(!) и векторы решения краевой задачи у(х;) = Х(!)с(>+1> (1=0, 1, 2,..., р — 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
