Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Так как брус имеет малую кривизну, пренебрегаем различием в кривизне наружной и внутренней полок и считаем деформации контура сечения симметричными (рис. 10.23, б). Рассмотрим сначала деформации плоской стенки швеллера. С полок на стенку передаются моменты М„(рис. 10.23, в). Используя отмеченную выше аналогию между изгибом плоской стенки стержня и балки жесткостью О, = —,, найдем связь между еаз 1 12(! „„2) ' Л'1 Ь моментом М, и вызываемым им углом поворота д,: д,=- — ' 1 Переходя к рассмотрению цилиндрической полки швеллера и располагая начало координат на ее краю, будем иметь следующие граничные условия: Эти условия можно также представить в виде: д!де~ д(~я~ при з = — 0 — „,,' =0; —,,' = — 0; д(ед д.дЬ дд дед при а=а е,=е, Й вЂ” = — — дд* — ' ь п,(д 1 где е, — величина окружной деформации в месте соединения О )д' полки и стенки; Лдд Из условий при я = 0 следует, что на полке е, меняется по закону е, = СдКд (рз) + С,Ки (ре).
-Условия при з = а приводят к зависимостям СдКд ('") + С2К2 (~) ео) ! — 4СдК~ (Х) + СлКд (Л)1 — — „з Л ( — 4СдК, (Х) — 4С,К, (Х)1, где Х = ра. Определяя отсюда С, и С„находим е, в зависимости от з: Кд (Л) Кд (Р~) + 4К4 ()) Кд (Р~) +4оЛ [Кз (Л) Кд 4~) — Кд (Л) Кд (Р~) К~д (Л) + 4Кд (и) К4 (Л) + 4ддЛ [Кд (Л) К~ (Л) — Кд (Л) Кд (Л)1 Ьаз где п = —. ддЬз ' Полное окружное усилие, воспринимаемое полкой, Р, = Е!д ~ е~ аз = Е!! еод)з(д, о где д1, — коэффициент использования полки; ! Кд (Л) Кд (Л) + 4К4 (Л) Ке (Л) + 4пЛ [КД (Л) — Кд (Л) Кд (Л)1- Л Кд (Л) + 4Кд (Л) Кд (Л) + 4пЛ [Кд (Л) К~ (Л) — Кд (Л) Кд (Л)1 или, после преобразований, "Ъ ! ен 2Л + я)и 2Л+ аЛ (с[д 2Л + соя 2Л вЂ” 2) Л 2 + с(д 2Л+ сов 2Л+ 2оЛ (ь[д 2Л вЂ” з(дд 2Л) Эквивалентное недеформируемое сечение показано на а' Ьй' рис.
10.23, г. Зависимость коэффициента д1, от — и и = — прио)дз ведена на рис. 10.24. Стержень тонкостенного прямоугольного сечения (рис. 10.25, а). Так же, как и в предыдущем случае, считая деформации контура сечения симметричными и рассматривая изгиб плоских стенок, можно найти связь между углом поворота касательной д и 443 г 2 1 Ч с г Ф~ Ряс. 10.24 изгибающими моментами в углах контура; о, я4а" Ей'! Ю„,= — ', где О, =- В, = 12 (1 и-1 Располагая начало отсчета а для цилиндрической стенки в ее середине, будем иметь следующие граничные условия: при з = О д =- О; йг = О; 6 при а=о еа=ео' После выкладок, не отличающихся существенно от рассмотренных в предыдущих примерах расчета, можно найти выражение е, а) Рис.
10.23 Рис. 10.26 в функции з и полную воспринимаемую цилиндрической стенкой окружную силу Рг = г)42пЕггвд, где г), — коэффициент использования стенки; 1 с1г2Х вЂ” сои2л+пк(й21+ иьп 2Ц 14 Х вЬ2Х+ и1и 2Х+2пХ. (сЬ21.+ сои 21) здесь ььз ~- . а и = —; Х = ра = 1' 3 (1 — (г') М Эквивалентное недеформируемое сечение (рис. 10.25, б) имеет ширину цилиндрических элементов 2г)4а. Графики зависимости а' ьч коэффициентов г)4 от — и от и =- —.
приведены на рис. 10.26. г~й ап'г При — „> 1,2 можно воспользоваться формулой г)4 —— 1 1+пй '4 г 1+2пг ' Все приведенные выше решения относятся к чистому изгибу кривых тонкостенных стержней, при котором все их поперечные сечения находятся в одинаковых условиях. Однако полученные результаты могут быть использованы и при поперечном изгибе, если изгибающий момент медленно меняется по длине стержня. В этом случае каждое поперечное сечение можно заменить эквивалентным недеформируемым сечением, рассчитанным по приведенным выше формулам. Разумеется, вблизи мест, где искажения сечения стержня затруднены (заделка, поперечные диафрагмы), возникают области местных напряжений. Однако протяженность этих зон невелика.
Ее можно оценить, рассматривая цилиндрическую стенку как полубезмоментную цилиндрическую оболочку длиной а, шарнирно закрепленную на торцах и нагруженную на прямолинейной кромке. Как было установлено в 2 33, в этом случае своеобразный краевой эффект затухает на длине порядка у~Й1га'. Такова же примерно и зона влияния диафрагм, заделки и т. и. 445 Глава 11 Некоторые методы численного решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений Многие рассмотренные.в этой книге задачи статики тонкостенчых конструкций приводят к необходимости решать системы обыкчовенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.
В частности, к краевым задачам для таких уравнений приводит расчет круглых пластин переменной толщины и расчет зболочек вращения. Только в некоторых случаях уравнения с переменными коэффициентами разрешаются в элементарных или табулированных функциях; как правило же, могут быть получены лишь численные решения. Эффективные приемы получения таких решений связаны с применением ЭВМ. При этом оказалось, что даже тогда, когда точное решение может быть выражено через специальные функции, численные расчеты приводят к цели быстрее.
Расчеты с применением ЭВМ имеют значительную специфику. В этих расчетах широко используют матричную символику, что позволяет не только компактно записывать уравнения, но и облегчить процесс программирования, так как ЭВМ, как правило, снабжены стандартными программами для матричных операций. Следует отметить, что и при ручном счете матричная символика весьма полезна. В ~ 4б рассмотрены приемы представления дифференциальных уравнений в удобной для интегрирования на ЭВМ матричной форме. В последующих параграфах изложены способы численного решения полученных дифференциальных уравнений. Проще всего численно решаются задачи с начальными условиями (задача Коши), к которым относятся, например,,многие задачи динамики систем с конечным числом степеней свободы. Зная начальные условия — смещения и скорости всех точек в начальный момент времени, а также законы изменения возмущающих сил, можно определить и законы движения системы.
Однако большая часть задач, возникающих в строительной механике и, в частности, при расчете тонкостенных конструкций, относится к другому классу. Это так называемые краевые задачи, решение которых должно быть подчинено граничным условиям, сформулированным в различных точках интервала изменения независимой переменной. Краевые задачи решают обычно сведением их к задаче Каши.
Простейшим способом такого сведения является метод начальных параметров (см. ~ 48). В тех случаях, когда рассматриваемое уравнение имеет как быстро возрастающие, так и быстро убывающие решения (как, например, уравнения„описывающие деформации оболочек), метод начальных параметров не приводит к цели. Для преодоления возникающих вычислительных трудностей разработаны различные приемы (см. ~ 49, 50). 5 46.
Векторно-матричная форма линейных дифференциальных уравнений В курсах математики и в технических дисциплинах чаще всего дифференциальные уравнения приводят к такому виду, чтобы в них входила только одна неизвестная функция, Рассмотрим несколько примеров такого рода уравнений. ..":.;-'Уравнение изгиба балки' переменного "сечения, лежащей на упругом основании, Яа ~",)<-ь~=д, ~1~,и где в — прогиб; ЕУ вЂ” жесткость сечения; й — коэффициент постели; о — интенсивность нагрузки. Уравнение осесимметричного изгиба круглой пластины переменной толщины Рд ! Ю дг2 г йг (11.2) еь2 где б — угол поворота нормали; 11 = = ~~(1 — И') — цилиндрическая жесткость; Я вЂ” поперечная сила. При этом угол д связан с прогибом и, а поперечная сила— с интенсивностью нагрузки д зависимостями йа с~ — — — (Яг) = Ч.
й' ' йт (1 1.3) 447 Запись уравнений в формах (11.1), (11.2) имеет смысл только в тех частных случаях, когда законы изменения жесткости таковы, что решения этих уравнений выражаются через табулированные или элементарные функции.,В прежнее время в основном только такие уравнения и решались. Развитие вычислительной техники полностью изменило положение. С помощью ЭВМ можно полу.чить численное решение любого уравнения.
Но для применения ЭВМ форма уравнений типа (11.1) — (11.3) не является оптимальной. Все стандартные программы решения уравнений на ЭВМ рассчитаны на интегриррвание систем уравнений первого порядка. Переход к системе уравнений первого порядка может быть выполнен различными способами. Например, уравнение (11.1)— (штрихами обозначены производные жесткости) и обозначив д,, д2~, дз~ У1=и'; Уа= ~. 1 Уз=- ~., , 'У,=- у з, (11.5) получим й/~, Пуз .
Фз = — Уз' = Уз' ' ' '= дз' Ых " Их '' дх с1у4 'г (Е,!)" (ЕУ) ' — = — — У вЂ” —,Уз — 2 — У + —. (11.6) йх» Е/ 1 ЕУ ЕУ 4 Е1 Нетрудно видеть, что эта система дифференциальных уравнений первого порядка эквивалентна дифференциальному уравнению (11.1). Однако она имеет некоторые недостатки. Во-первых, в четвертое из уравнений (11.6) входят производные от жесткости ЕХ. Закон изменения жесткости может быть задан в табличной или графической форме, и дифференцирование такой зависимости затруднительно; при этом в некоторых точках первая и вторая производные жесткости могут не существовать.
Во-вторых, величины д, и У4 имеют особенности в тех точках, где терпит разрыв жесткость или ее производная. Все эти трудности могут быть устранены, если вместо (11.5) выбрать другую систему основных неизвестных. Примем йв дМ У1 — — ю; уз= — — — б; уз- — Я=- — —; Их ' дх „хз (11 7) Как видно, в этом случае у, = ы и у, = б представляют собой прогиб и угол поворота сечения балки, а д, = Я и д, = М вЂ” внутренние х силы в этом сечении. Полежительные, направления перемещений и сил показаны на рис.
11.1. Для одной из частей бруса (в данном случае левой) положительные направления сил и перемещений совпадают; как мы увидим Рис. ыл 448 уравнение четвертого порядка может быть представлено в виде четырех дифференциальных уравнений первого порядка. Записав уравнение (11.1) в виде Д4~ А3~,12~ ,1,,4 + 2 (Е~)' — „,, + (Е~) д ° + ~~ = Ч (11 4) далее, такой выбор правила знаков имеет определенные преимущества. Система уравнений, связывающих введенные переменные, такова: ор> .
ойа 1 . ойа 4ц, дх -' дх ЕУ ' 4х = Уе' = У4' = ~% Ж = Уа (11.8) дх В,данном случае производные от жесткости в дифференциальные уравнения не входят, а основные неизвестные у, и у, могут иметь разрывы заранее известной величины только в местах приложения сосредоточенных сил. Точно также дифференциальные уравнения (11.2), (11.3) изгиба круглой пластины можно привести к системе уравнений первого порядка, если обозначить Тогда получим равносильную (11.2), (11.3) систему Ф~ . ~~~г Иг ' аг г ьзг Уе' —" = — — У:+ — Уа' а + (1 р*) У +уа+ ~ у4 (11 ° 10) Для систем дифференциальных уравнений, разрешенных относительно первых производных искомых функций, весьма удобно применить векторно-матричную форму записи. Составим из искомых функций матрицу — столбец или вектор у Для векторов будем использовать также более компактную запись У 1У11 Уа» ' '~ Уи) Вектор, составленный из величин, характеризующих перемещения и внутренние силы в данном сечении х системы, называют вектором состояния.
Так в частности, векторы у=-(х, О, Я, М'1, у=-(ы, Ь, Яг, М,«) для балки и симметрично нагруженной пластины ' являются век- торами состояния. г для пластин могут быть приняты и другие определения вектора состояния (см. ~ 3, 4). Введя обозначение у для вектора неизвестных величин, можно теперь линейные системы уравнений (11.8) или (11.10) записать в матричной форме: (1 1.1 1) д -~-у= Гу+с, где Р— квадратная (и х а) матрица переменных коэффициентов; и — и-мерный вектор правых частей. Так, в случае изгиба балки [(см. уравнения (11.8) 1 порядок системы уравнений п = 4; 0 1 0 О 0 О 0— й 0 0 0 0 0 — 1 О Уа Уа Уз Уа (11.12) Г= У= 0 Для круглой пластины ((см.
уравнения (11.10)1 матрица Р н вектор д определяются равенствами 0 — 1 0 0 О О 0 1 О а Рг (11.1З) Г= О О 0 0 о <' — и') ~ г Г где у — матрицы-строки или транспонированные векторы. 450 При построении системы уравнений, разрешенных относительно первых производных искомых функций, порядок расположения этих уравнений может быть любым. Но при составлении уравнений относительно компонентов вектора состояния у целесообразно нумеровать компоненты этого вектора в определенном порядке. В большинстве задач строительной механики размерность и вектора состояния четная, причем среди п его компонентов имеется — перемещений и — силовых факторов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
