Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 65
Текст из файла (страница 65)
(11.58) Так как матрицы 9(!> треугольные, то решение уравнений вида (11.57) не вызывает затруднений, Запишем в явной форме алгоритм этого решения: (!) ( ! (! ! 1) 1!) ). с, = —,(с, ' — о),,); (,)(>) !', ! — (.) (!) ( ! (; -1) (!) (;) (!) (с).— '1 — ())г — 1, сг — ())г — 1, 0)1 0) .! г — 1,! — 1 сно — )(!) Сг — 2 (Ст — 1 — ())г — '>, г — )Сг — 1 Иг —, )С! — О)! 2, О) э !'„ „ С) .=- (,С1 — ())11 Сг — О)(З СЗ ° ())1г -! ())>О,>.
(>> ( ! (! )-1> (!) (!) '(!') (!') (!);(!) Н)Ъ о)(!) 11 э 50. Методы прогонки Основные зависимости. Суть методов прогонки (или, иначе, методов переноса граничных условий) нетрудно понять из следующего рассуждения. Пусть исходное линейное дифференциальное уравнение имеет вид — у=Гу+й (11.59) где у — вект ор п неизвестных функций (вектор состояния) à — матрица (п ~ п) переменных коэффициентов; и — — вектор нагрузочных членов. Граничные условия в начальной точке (т условий, и < л) можно записать так: (11.60) Н.у (О) — г0.
где Н, — прямоугольная (т Х и) числовая матрица; г,— оп-мерный вектор. Общее решение уравнения (11.59) можно представить в виде (см. 9 48) у(х) У(х)с+ у,(х), (11.61) где 1' (х) — фундаментальная матрица (и х и) решений однородного уравнения; у, (х) — вектор частного решения неоднородного уравнения (11.59); с — вектор и произвольных постоянных. Подчиняя общее решение (11.61) граничным условиям (11.60) при х — О, найдем Н,у (0) с + Н,у, (0) = г„.
(11.62) Метод С. К. Годунова представляет собой удачную. модификацию метода начальных параметров, позволяющую применять его и в задачах с краевыми эффектами. При практическом использовании метода С. К. Годунова следует иметь в виду, что вычисляемые в процессе ортогонализации скалярные произведения векторов состояния физического смысла не имеют.
Поэтому результат ортогонализации (но не результат расчета в целом) существенно зависит от выбора масштабов отдельных компонентов вектора состояния. Для повышения точности расчета при минимальном числе узлов ортогонализации целесообразно выбирать масштабы так, чтобы числовые значения компонентов вектора были близкими по порядку величинами. В сечениях, где приложены сосредоточенные нагрузки„соответствующие компоненты вектора состояния имеют разрывы заданной величины.
Эти разрывы учитываются при вычислении вектора частного решения у,. Так как решения однородного уравнения остаются непрерывными, формулы (11 57) для пересчета по-~ стоянных интегрирования сохраняют свою силу. Матричное уравнение (11.62) устанавливает т линейных зависимостей между постоянными с; (компонентами вектора с).
Исключая вектор с из соотношений (11.61) и (11.62), придем к уравнению Н,У (0) г' ' (х) у (х)— — Но~ (0) '~ ' (х) уо (х) + Ноуо (0) = го (11 63) Уравнение (11.63) показывает, что и компонентов вектора состояния у (х) в произвольной точке связаны и линейными соотношениями, вытекающими нз граничных условий при х = — О.
Соотношения (11.63) можно записать в более общей форме Н (х) у (х) =- г (х), . (11.64) где Н (х) — матрица размерности и х п. Формула (11.64) представляет собой граничное условие (11.60), «перенесенное» в произвольную точку х. Методы практического вычисления матрицы Н (х) и вектора г (х) называются методами прогонки. Эти методы состоят в том, что для матрицы Н (х) и вектора г (х) получают дифференциальные уравнения, которые затем интегрируют при начальных условиях Н (О) = Н,; г (0) = г,. Таким образом, задача переноса граничных условий сводится к задаче Коши.
Для получения дифференциальных уравнений, определяющих Н (х) и г (х), продифференцируем уравнение (Г!.64): Н' (х) у (х) + Н (х) у' (х) = г' (х). Заменив у' его значением из исходного дифференциального уравнения (11.59), получим (аргумент х далее опущен) (Н' + НГ) у = г' — Нд. (11.65) Представим некоторый вектор, которому равны как левая, так и правая части равенства (11.65), в виде х= Кг= КНу, (11.66) где К вЂ” произвольная зависящая от х квадратная (т Х.т) матрица. Тогда уравнение (11.65) можно заменить двумя: (Н'+ Нг — КН) у = О; г' — Нд — Кг = О.
(11.67) Равенства (11.67) должны выполняться при любых линейно независимых векторах у, являющихся решениями уравнения (11.59). Поэтому матрица, на которую множится у в первом из уравнений (11.67), должна быть нулевой, т. е. Н'+ Нà — КН =О. (11.68) Таким образом, получаются следующие дифференциальные уравнения, определяющие прогоночную матрицу Н и вектор г: Н' = — — Нг+ КН; г'- Нд+ Кг. В эти уравнения входит произвольная матрица К, и, следовательно, задача не имеет единственного решения. Причина этого состоит,в том, что соотношение (11.64) можно заменить равносильным Н,(х)у(х) = г,(х), где Н, и г, связаны с Н и г зависимостями Н, (х) = 8 (х) Н (х); г~ (х) = 8 (х) г (х); здесь 8 (х) — любая неособенная матрица размерности т Х т. Таким образом, произвол в выборе матрицы К в, формулах (11.68) связан с тем, что условия (11.64) могут быть записаны бесчисленным множеством способов.
Это обстоятельство позволяет наложить на прогоночную матрицу Н дополнительные требования, с тем чтобы численное решение задачи Коши для уравнений (11.68) было устойчивым. В практике применяют два варианта метода прогонки. Первый из них (метод факторизации) первоначально разработан для уравнения второго порядка И. М. Гельфандом и О.
В. Локуциевским [27), второй — А. А. Абрамовым [11. Первый вариант проще второго, и получаемые значения прогоночной матрицы и вектора имеют четкий физический смысл. Недостатком его является то, что он не всегда применим и в некоторых задачах (преимущественно при расчетах на устойчивость и колебания) элементы прогоночной матрицы могут неограниченно возрастать, что затрудняет расчет.
Метод А. А. Абрамова этого недостатка не имеет, однако требует существенно большего по объему счета. Первый вариант метода прогонки (метод факторизации). Рассматриваемый метод может быть использован в том случае, если порядок п системы дифференциальных уравнений (11.59) четный л и на каждом из концов интервала интегрирования задано — граничных условий. При этом принимается следующая форма прогоночной матрицы, имеющей размерность — х а: Н (х) = 11 [ — Ь (х) (/, (11.69) Ги и~ где 1 — единична а ~ — Х -~- ~ матрица; Ь (х) — матрица л и — Х вЂ”.
2 2 469 у1(х)~ у(к) = .— -1, у.,(х)~ (11.70) то основное уравнение прогонки (11.64) можно записать в виде '1 1 , '— Ь (х) // --- ~ = — г (х) у1(х) 11 уа (х) илн у, (х) = Ь (х) у, (х) + г (х). (11.71) Естественно, что и граничное условие (11.60) при х = 0 должно быть задано в форме у1 (0) = 1.,у, (0) + г, (11.72) (другая форма граничного условия при х = 0 не вносит принципиальньп осложнений; этот вопрос будет рассмотрен далее). Представление прогоночного соотношения в форме (11,71) позволяет придать матрице Ь (х) и вектору г (х) определенный физический смысл. В большинстве задач строительной механики и, в частности, теории оболочек а-мерный вектор состояния у (х) состоит из — компонентов перемещений н — обобщенных внутренних сил.
2 2 Разбиение вектора у (х) на два вектора у, (х) и у, (х) может быть выполнено произвольно. Если, однако, принять, что вектор у, (х) есть вектор перемещений сечения х, а у, (х) — вектор внутренних сил в этом сечении, то в соотношении (11.71) матрица Ь (х) будет представлять собой матрицу податливости части конструкции, лежащей по одну сторону от сечения, а вектор г (х) будет выражать те перемещения, которые имело бы данное сечение прн отсутствии в нем внутренних сил.
Наоборот, если у, (х) — вектор внутренних сил, а у, (х)— вектор перемещений, то матрица Ь (х) есть матрица жесткости отсеченной части конструкции, а вектор г (х) — вектор сил, которые возникли бы в данном сечении при условии его полной заделки. Именно два рассмотренных случая применения прогонки (метод податливостей и метод жесткостей) чаще всего используют в практике. Вообще говоря, вектор у (х) можно делить на два вектора у, (х) и у, (х) произвольным способом [16).
При этом также нетрудно установить физический смысл каждого элемента матрицы Ь (х) н вектора г (х). 470 Если соответственно разбить а-мерный вектор состояния у (х) на два вектора у, (х) и у, (х), состоящие из — компонентов каждый, т.
е. Г ',Р2 ! Р21 ! Р22 а вектор правых частей я — на два вектора размерности †, каж- 2 дый, т. е, (11,73) (11.74) Заметим только, что кпереименование» векторов у, (х) и у, (х) связано с перестройкой последовательности уравнений системы (11.59) и с соответствующей перенумерацией элементов матрицы Г и вектора д. Поскольку вектор у (х) представлен как совокупность двух векторов у1 и у„ запишем в блочной форме н другие величины, входящие в исходную систему уравнений (11.59): Матрицу Г коэффициентов этих уравнений разобьем на квадратные ! —" м 2 х — ) блоки 2 / Теперь подставим (11.69) в первое из уравнений (11.68): 1 !!0', — Ь'!~ = — !!1,' — Ь~~ ~, ~ + К ~~1,' — Ь~. ~Г21~Р22~ Отсюда получим два уравнения: 0Р1+ЬР21+К вЂ” Ь' = — Г12 + 1-Р22 — КЬ. Определив из первого уравнения матрицу К = Ä— ЬР,1 и подставив ее во второе, получим дифференциальное урацненне, определяющее матрицу Ь (х): Ь вЂ” (Є— 1.Р,1) Ь вЂ” ЬГ„+ Г1,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
