Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 67
Текст из файла (страница 67)
В за- 476 дачах расчета гармонических колебаний и устойчивости при применении метода факторизации могут возникнуть трудности, связанные с неограниченным ростоъ1 элементов прогоночных матрицы и вектора. При расчете колебаний с помощью матрицы податливости такая ситуация возникает в том случае, если частота, при которой производится расчет, является резонансной для выделенной части конструкции. При расчете с помощью матрицы жесткости это же явление возникает при частоте, антирезонансной для выделенной части системы.
Аналогичйые неприятности появляются н в случае, когда выделенная часть системы неустойчивая. С указанными выше трудностями можно бороться, чередуя расчеты с помощью матриц жесткости и податливости на разных участках интервала интегрирования.
Однако этот путь может оказаться недостаточно эффективным, если, например, значения резонансных и антирезонансных частот близки. В этих условиях определенные преимущества имеет изложенный ниже вариант метода прогонки, разработанный А. А. Абрамовым. Второй вариант метода прогонки (метод А. А. Абрамова). Метод А. А. Абрамова при всех условиях гарантирует от неограниченного роста элементов прогоночной матрицы. Дополнительным его преимуществом является возможность переноса любого числа граничных условий (а не только числа, равного половине порядка исходной системы дифференциальных уравнений). Для того чтобы обеспечить отсутствие неограниченного роста элементов прогоночной матрицы Н (х), имеющей размерность т Х х и [см. уравнение (11.64)), на нее накладывается требование НН вЂ” — НоНо:-=- сопз1, (11.84) где Нт — транспонированная матрица.
Матрица ННт — квадратная (т х т). Элементы ее главной диагонали д1; выражаются через элементы матрицы Н по формуле дп = ~й', 1+1 Таким образом, каждый элемент 1111 равен сумме квадратов всех элементов 1-й строки матрицы Н. Постоянство матрицы Нйт означает постоянство всех ее элементов, а значит и постоянство упомянутых сумм. Отсюда и следует ограниченность всех элементов матрицы Н (х).
Производная прогоночной матрицы Н (х) определяется по общей формуле (11.68): Н' =- — НГ + КН, где à — матрица коэффициентов исходного дифференциального уравнения (11.59); К вЂ” произвольная матрица. 477 Транспонируя приведенную формулу, получим (Нт) ГтНт 1 НтКт Теперь умножнм Н' на Нт слева, а (Нт)' на Н справа и сложим: Н'Нт + Н (Нт)' = — НГНт + КННт— НГтНт ( ННтКт (11.85) (11.86) Матрицу.(т х и), которой равны левая и правая части уравнения (11.86), обозначим буквой А.
Тогда НГНт — КННт =-- А. — НГтНт + ННтКт = А. (11.87) Из выражений (11.87) найдем К =- (НГНт — А) (ННт) ', Кт = (ННт) — ' (НГтНт + А). (11.88) Транспонируем второе из уравнений (11,88), учитывая, что матрицы (ННт) и (ННт) — ' симметричные и, следовательно, ((ННт) — ~]т = (ННт)-'. В результате получим К = (НГНт + Ат) (ННт) — '. Сопоставляя полученное равенство с первым из равенств (11.88), видим, что они могут выполняться одновременно только при А Ат Отсюда следует, что А произвольная кососимметричиая матрица. В дальнейшем принято А = О.
Следовательно, К =- НГНт (ННт) — 1, (11.89) Подставляя полученное значение матрицы К в (11.68), получим уравнения прогонки по методу А. А. Абрамова Н' = — НГНтФН вЂ” НГ; г' = НГНтфг + Нп, (11.90) Но в левой части полученного уравнения стоит производная от произведения ННт, которая в соответствии с условием (11.84) равна нулю. Поэтому и в правой части равенства (11.85) стоит нулевая матрица. Отсюда следует НГНт — КННт =- — НГтНт + ННтКт. где ф — постоянная матрица, вычисляемая заранее в зависимости от граничных условий при х = 0; ч =(нн) =(нн) Во мпогих случаях путем тождественных преобразований граничных условий можно сделать матрицу ф единичной. Решение задачи Коши для уравнений (11.90) (всего т (п -+ 1) скалярных уравнений) при начальных условиях Н (О) = Н„г (О) = го (11.91) позволяет перенести граничные условия (11.60), заданные при х = О, в произвольную точку.
В частности, осуществляя перенос граничных условий в крайнюю точку х = 1, получаем в этой точке т скалярных уравнений Н ® у (1) = г (1), которые вместе с (а — т) граничными условиями при х = 1 определяют вектор состояния у (1). При использовании метода Абрамова так же, как и при применении метода факторизации, значения вектора состояния в любой точке определяются встречной прогонкой, т. е. путем переноса в эту точку граничных условий как слева (т — условий), так и справа (п — и условий). Число дифференциальных уравнений, входящих в систему (11.90), примерно в 2 раза оольше, а прагые части этих уравнений существенно сложнее, чем для системы (11.75), (11,7б) метода факторизации.
Относительная трудоемкость метода факторизации и метода С. К. Годунова зависит в основном от числа участков, на которые приходится разбивать интервал интегрирования в последнем случае. Если это число не слишком велико, то метод С. К. Годунова, не требующий перестройки исходной системы дифференциальных уравнений, имеет определенные преимущества. Для разветвленных систем (например, для оболочек с разделительными диафрагмами) метод факторизации в форме метода жесткостей или податливостей позволяет особенно просто выполнить условия стыковки сопряженных элементов. Приложение Программа для расчета осесимметричной деформации оболочек на ЗВМ Программа реализует интегрирование системы дифференциальных уравнений осесимметричной деформации оболочек с ортогонализацией по методу С. К.
Годунова. С помощью программы вычисляются не только основные неизвестные, но также все внутренние силы, перемещения и напри>кения, Вывод на печать производится в каждой из точек ортогонализации (число таких точек — до 50). Программа составлена на языке Ллгол и реализовалась на ЭЦВМ М-220 с транслятором ТЛ1-М. В программе не использована библиотека стандартных программ. С небольшими,измененнями приведенной программой можно пользоваться и для интегрирования системы уравнений восьмого порядка при расчете несимметрично нагруженных оболочек вращения. Ниже приняты следующие обозначения: Ж вЂ” порядок системы дифференциальных уравнении; К вЂ” число линейно независимых частных решений системы, удовлетворяющих граничному условию на левом конце; Р = 1, 2, ..., К -- номер частного решения (частное решение неоднородной системы имеет номер К); Л'! — число произвольных постоянных (начальнгах параметров) задачи (А'! .=- К вЂ” 1); 5 = — О, 1, ..., 5К вЂ” помер точки ортогоналнзации и вывода на печать полного вектора состояния (совмещение узлов ортогонализации и вывода нс обязательно); ЯК вЂ” номер последнего узла ортогоналнзации, совпада>ощего с правой границей интервала интегрирования; У (1: Л>1 — при прямой прогонке вектор частного решения системы, удовлетворяющего граничному условию на левом конце„при обратной прогонке искомый вектор решения краевой задачи; 2 11: Л>, 1: К) — матрица ортогональных решений системы, формирующаяся в каждом узле ортогонализацни; ОМЕТЛ 11: К, 1: К) — верхняя треугольная матрица козффициентов ортогонализацни в узле; 1Г (1: Л', 1: 51) — (7ю (1: Лг, 1: К), Яг (1: Лг, 1: К), "- 2зк (1: Л', 1: К ) — блочная матрица для запоминания ортогоиальиых решений системы в узлах (Я! = — К х (ЯК+ 1)); ~' [1: К1, 1: ЯК[ — матрица коэффицнентов ортогонализации в узлах; столбец Я матрицы У представляет собой развернутый по строкам верхний треугольник матрицы ОМЕГАЗ [1: К, 1: К), за исключением ОМЕГА [К, К) = = 1 (1(1 — — (К вЂ” 1)(К+ 2)12)", ВЕТА [! .
Л'1, О: яК) — матрица произвольных постоянных в узлах ортогонализации; Е1 — символ, различающии прямую Е1 =- О и обратную Е1 = 1 прогонки; ХО, ХК вЂ” соответственно начальное н конечное значения независимой переменной; Х вЂ” текущее значение аргумента; Н вЂ” интервал между узлами ортоганализации (между выводами результатов); НС вЂ” автоматически выбранный шаг интегрирования; РЕОС= Н/НС вЂ” при первом обращении к блоку интегрирования' РЕОС = 1; У вЂ” символ, значение которого следует задавать равным нулю„если шаг интегриронания выбирается по абсолютной погрешности; при других значениях Е шаг выбирается по относительной погрешности; ЕРЯ вЂ” требуемая точность интегрирования; ЕРМО)г — погрешность интегрирования на шаге НС; Р [1: Л') — массив значений производных; Д вЂ” символ, равнын нулю прн интегрировании однородной системы и единице при интегрировании неоднородной системы; В [1: У1), С [1: У1, 1: У) — вектор свободных членов и матрица граничных условий на правом конце т.
Ниже приведены идентификаторы, используемые в программе расчета осе- симметричных оболочек вращения. ЕО и РΠ— постоянные масштабирования; ТЕТА =- 0 — угол между осью симметрии н нормалью к поверхности оболочки; ЗТ=- з!и 0", СТ =-сов 0; Н = гЕЕΠ— безразмерный радиус параллельного круга; в качестве независимой переменной используется либо безразмсрная дуга меридиана (х = Б!ЕО), либо безразмерный радиус (х = И), в первом случае множитель 6 =- 1, во втором б = — 1,'сов 0; ТОЛ = ЫЕΠ— безразмерная толщина оболочки; ЕН = ЕЬЕО/РΠ— безразмерная жесткость растяжения оболочки; Еда ЕНЪ = — — безразмерная жесткость изгиба оболочки; РО.ЕО Р.(з) Ф = 2 „— безразмерная осевая сила; Я "х =, — ' — безразмерная радиальная нагрузка а РО ' При решении конкретных задач часто можно обойтись без формирования массивов В и С, однако программа отводит место для них в машинной памяти, а для увеличения нормы частного решения неоднородной задачи до единицы целесообразно умножить нагрузочные члейы Ф и ЯН на !Оз — 10а, в затем в блоке обратной прогонки уменьшить компоненты полного решения в то же число раз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
