Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 62
Текст из файла (страница 62)
'В этом случае вектор 2 2 состояния у целесообразно представить в виде двух векторов размерности — каждый: у = а — -, при этом под у, понимается Уа 2 Уа вектор перемещений, а под у, — вектор сил (или наоборот). Последовательность компонентов в каждом из векторов выбирают такой, чтобы работа сил, приложенных в сечении к одной из частей системы, на соответствующих им перемещениях была пронорциональна скалярному произведению векторов: А-(уу) =уту =у'у Именно так были составлены выше уравнения изгиба балки и изгиба круглой пластины. Для балки~ у = (гв, 4', Ф МЬ у| = (гв, б1; у = Ф М); А = (узун) = ы4+ ОМ. Для пластины у, = ~ге, б); у, = Яг, М,г); А = 2тгг (вЯ + ОМ,) = = 2п (у,уа). Под у, можно также понимать вектор сил, а под у, — вектор соответствующих им перемещений.
Если для консервативной упругой системы вектор неизвестных выбран указанным выше способом, то матрица коэффициентов Г в основном дифференциальном уравнении (11.11) удовлетворяет определенным соотношениям, установленным впервые К. А. Китовером г. Приведем эти соотношения. Разбив вектор состояния на векторы уг, у, удовлетворяющие условию (11.14), представим матричное дифференциальное уравнение (11.11) в блочной форме: (11.15) или И нх У~ муз+ а~Уз+ ~~' н ,1х Уа = Гмут+ Гаауа+ Яь (11.15а) ' Сообщение К. Л.
Китовера содержалось в его докладе на 1Х Всесоюзной > конференции по теории пластин н оболочек (Ленинград, 1973 г.). 451 где Г,; — квадратные — х — блоки в матрице коэффициентов дифференциального уравнения (11.11). Для этих блоков можно ' доказать следующие соотношения: Первое из этих соотношений показывает, что блоки Г„и Г„, , стоящие на главной диагонали матрицы Г, получаются друг нз друга транспонированием и изменением знака, а из двух других -соотношений следует, что блоки Г,а и Га, являются симметрич-' ными.
Подчеркнем, что соотношения (11.16) справедливы для кон: сервативных задач статики и только в том случае, если скалярное .' произведение векторов у„ у, пропорционально работе внутрен- них сил в сечении на соответствующих им перемещениях, причем один из векторов представляет собой перемещения, а другой— силы.
Так как при выводе основных дифференциальных уравнений задачи все элементы матрицы г вычисляются независимо, то соотношения (11.16), во-первых, позволяют проверить правильность вывода, во-вторых, они почти вдвое сокращают число независимых элементов матрицы Г, что можно использовать для сокращения времени счета и зкономии памяти вычислительной машины при решении сложных задач. Приведем краткий вывод соотношений (11.16), которые следуют.из принципа взаимности работ.
Предположим, что внешние распределенные нагрузки на систему отсутствуют. В этом случае вектор состояния определяется однородными дифференциальными уравнениями, соответствующими уравнениям (11.15а): Н вЂ” у~ = гну~+ Гав 0х — Уя = гму~+ ~иуя. Й дх (11.17) Система уравнений (11.17) и-го порядка удовлетворяют и линейно независимых векторов у (х). Обозначим два из них через у,~~)=у~х)=~ — ~ — ф; у„~х)=х(х)=3-' —-- Рассмотрим участок системы, ограниченный сечением х. При состоянии системы, характеризуемом вектором у, = у, в этом сечении имеются перемещения у, (х) и силы у, (х), а при состоянии, характеризуемом вектором уп = х, — перемещения г, (х) и силы х, (х).
Запишем условие взаимности работ при этих двух состояниях: ут (х) х (х) — хт (х) у„(х) 1- А„, — А,„= 0 (11.18) где А„и А.„— взаимные работы краевых сил (т. е. сил, приложенных в сечении х = О). Формула (11.18) свидетельствует о том, что любые два решения однородного уравнения (у и х) удовлетворяют тождеству т (х) х, (х) — хт (х) у,, (х) = ут (О) х, (О) — хт (О) у,, (О) — -- сопМ.
Это соотношение можно использовать для контроля точности численного решения. Равенство (11.18) справедливо при любом х, поэтому его можно продифференцировать по этому аргументу (А„и А„от х не зависят): у~! ' ' с~ '" ~Ь ' ~ ' йх — х +у ~ х — ~ — х ~ у,— „~ у =-0, (11.19) 452 где в обозначениях векторов для краткости опущен аргумент х.
Векторы обоих рассматриваемых состояний (у и х) удовлетворяют однородным уравнениям (11.17). С помощью этих уравнений входящие в условие (11.19) производные от векторов можно выразить через сами векторы. Таким образом, получим: [(Г„ут) + (Г1ауа) )ха+ у1 [Га1кт+ Гаауа[ — [(Г1тх~) .[- Векторы у и х — произвольные решения уравнения (11.17), т. е. за них могут быть приняты любые из п линейно независимых векторов. Поэтому уравнение (11.20) может выполняться только в том случае, если по отдельности выполняются равенства (Г„у)тх, + утГ„к, = О; (Гтауа)™а (Г1аха) уа = 0> У~тГа1г.; — гттГ„У, = 0; (Г„х,)ту, + хтГ„у = О, (11.21) Каждое из этих равенств также должно выполняться для всех и линейно независимых векторов решений уравнений (11.17).
Разделив эти векторы на две группы по — векторов в каждой, составим и из них две матрицы У и Х размерности и Х вЂ” каждая, — а за- 2 п а тем разобьем эти матрицы на квадратные — „х 2 блоки У1, У„Х„Х;. Входящие в равенства (11.21) векторы у„х, (1 = 1, 2) можно рассматривать как какие-либо столбцы соответствующих матриц. Так как равенства (11.21) справедливы для каждого столбца этих матриц, они справедливы и для самих матриц.
Так, первое нз равенств (11.21) можно представить в виде (Г У1)тХ + УтГ Х О Выполняя транспонирование в первом слагаемом этого равенства ', получим У~~ГтХ,+ т(Г„Х, =0 или Напомним, что (АВ) = В А 453 Ут(Гт [ Г )Х 0 Отсюда, так как матрицы У, и Х, не особенные, следует первое из соотношений (11.16). Второе равенство (11.21) после замены векторов у„х, соответствующими матрицами получает вид УтГт Х ХтГт У 0 (11.22) $= —; у~= —; у~= Ь; уз — — 1 у4=, (11.24) з 1 ~ з 2 э 3 Е~~ з 4 Е~д где 1 — некоторый фиксированный линейный размер (например, полная длина балки); ЕцУ, — некоторая фиксированная жесткость (например, жесткость какого-либо сечения балки). В безразмерных переменных дифференциальные уравнения (11.8) примут вид ~уд . ~~Чя Еа ~о .
Фз — =У' — = — У' — = У с% ." % Е1 ~' 6 н0~0 , ~з Е0~а ' с$ — = — Уз или, в матричной форме, д~ = Гу+к ф (11.25) 454 Транспонируем полученное равенство ХтГ„У, — УтГ„,Х, = О. Сложив это равенство с предыдущим, получим 7т (Рт — Г ) Х вЂ” Хт (Гт — Г ) 7 = О. Введем обозначение ~а (Гл Г~а)Хи теперь можем записать уравнение (11.22) в виде чт Отсюда следует, что матрица 8 (11.23) антисимметрнчная.
Но при произвольных У, и Х, матрица 8 может быть антисимметричной только в том случае, если она нулевая. Отсюда вытекает условие Г'г, — Г„= О, т. е. второе из соотношений (11.16). Из третьего равенства (11.21) точно так же вытекает условие симметричности матрицы Г„, а из четвертого — снова, соотношение (11.16) между матрицами Г„и Г„. Нетрудно видеть, что соотношения (11.16), связывающие элементы матрицы Г, выполняются в рассмотренных выше примерах уравнений балки на упругом основании или круглой пластины.
Они выполняются также в уравнениях, описывающих деформации оболочек вращения (см. ~ 16, 26). Безразмерные переменные. В приведенных выше примерах компонентами искомых векторов являлись размерные физические величины (перемещения, силы и т. п.). При числовом расчете предпочтительно применять безразмерные переменные. Переход к безразмерным уравнениям легко осуществляется с помощью введения масштабных множителей.
Рассмотрим этот переход на примере уравнений изгиба балки. Введем следующие безразмерные:. величины: где У (У1~ У2~ У31 У4) 1 О 1 О О о о о о о о ,ц4 Ео~о о (11.2б) ~~в Еаза о то их скалярным произведением называется величина (уг) = ут х = гт у = у1г1 + уйгз + ° ° ° + у„г„. (11.27) Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то такие векторы называют ортогональными. Нормой вектора называется квадратный корень из его скалярного квадрата $ (уу) =1' у1+уя+ +уй. (11.28) 5 47. Численное решение задачи Коши Задачей Коши называется задача об определении решения обыкновенного дифференциального уравнения при заданных начальных условиях.
Так, в частности, задачей Коши является задача об определении закона движения тела при заданном его положении и заданной скорости в момент 1 = 1,. В матричной форме задача Коши формулируется так: найти решение уравнения Н вЂ” „у=1(у 1) удовлетворяющее условию (11.30) Простейшим способом численного решения поставленной задачи является метод Эйлера. Он состоит в следующем. 455 В этом случае не только компоненты вектора у, но также все элементы матрицы Р и вектор и безразмерны.
Другой прием перехода к безразмерным переменным рассмотрен в ~16. Для векторов у (х), составленных из безразмерных переменных, можно, как и для обычных векторов, ввести понятие скалярного произведения. Так, если имеются два и-мерных вектора у = 1у1 у2. " ~ ул)1 х =- 1а» аз~ " > зе)~ Подставив значение у, в правую часть уравнения (11.29), находят ~~ у ~у=у, = 1(уев го) (11.31) Выражением (11.3Ц определяется столбец производных всех компонентов вектора у при 1 = 1,. Затем приближенное значение вектора у при 1, = 1, + й (й — шаг интегрирования) можно определить по формуле у~г=~ = у1 = уо+ "т(уо го) (11.32) Конечно, такой расчет является очень грубым, так как в действительности значение вектора у в точке 1, определяется не выражением (11.33), а формулой у1 = уо + "1 (11.33) где $ = — „~ 1(у, 1) Л вЂ” среднее значение производной на интеруе вале 1,<~<1,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
