Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Выпишем условия прн г = 0: С+С =0; С =О. Отсюда следует, что Ст =- Сз = О. Теперь граничные условия при г = ! могут быть записаны в виде %А1 % 1 як — + С, з!1 т! — — — (т6 — з!т тЬ) = О, як т 427 за |па 57/61 ,п~ /аа |г||пагппи ) ~ъ„!Т ~ м м/ Рис.
10.16 Из этих уравнений находим Ь %А =%— % 1 й|лЬ 6У„пг й |л! Таким образом, окончательно угол поворота определяется уравнениями: прн О( гС а %!|'Ь й |лЬ вЂ” — — — — й |лг); о~я э)з и|! при а<. г( ! % ! Г Ь эй|лЬ гр = — — ~ — |лг — — ай |лг — и (г — а) + аи пг (г — а) 1 бl я пг й пг! Соответствующие этим уравнениям эпюры Ми, Мз, В н ф изображены па рис. )О.!6. $ 45.
Изгиб кривых тонкостенных стержней 428 'Тонкостенные кривые стержни представляют собой в сущности оболочки, причем, если ось стержня круговая, — то оболочки вращения. Однако и в этом случае благодаря большой, по сравнению с размерами сечения, длине стержня в расчете могут быть сделаны некоторые упрощения.
Следует заметить, что наиболее сильное допущение теории прямых тонкостенных стержней (см. ~ 43) — гипотеза о неизмен- ности формы сечения — для кривых стержней неприменима. Наиболее хорошо изученной является рассмотренная в этом параграфе задача о чистом изгибе плоских кривых стержней в 8 плоскости кривизны. Впервые задача об изгибе кривых тонкостенных стержней возникла, в связи с расчетом кривых труб (компенсаторы' трубопроводов), в начале ХХ в., когда было экспери- ам ментально установлено, что деформации этих труб иногда в несколько раз превышают вычисленные в соответствии с обычной теорией изгиба бруса. Изгиб кривых труб рассматривался Карма- н ном 160), который дал приближенную формулу для оценки жесткости.
Приближенное решение задачи об изгибе эллиптических труб получено В. И. Феодосьевым (53). Для стержней, составленных из цилиндрических и плоских стенок, решения приведены в работе [45). При болыпих перемещениях задача рассматривалась Э. Л. Лксельрадом 12!.
Рассмотрим чистый изгиб тонкостенного стержня с круговой осью в плоскости начальной кривизны, причем предположим, что сечение стержня симметрично относительно плоскости кривизны (рис. 10.17). В этом случае деформации всех поперечных сечений стержня одинаковы, так же как и при осесимметричной деформации оболочки вращения (предполагается, что усилия, создающие моменты на торцах, распределены так же, как и внутренние силы в любом поперечном сечении стержня).- Однако эта задача отличается от рассмотренной в гл. 3. Там центральный угол дср, занимаемый элементом оболочки, оставался неизменным, так как оболочки были замкнутыми по окружности.
Здесь, в связи с из- Ыф гибом, угол д<р получает приращение ~(ф причем отношение — „ для всех элементов постоянно и может служить мерой изгиба стержня. В связи с этим значение окружной (для стержня — продольной) деформации будет теперь определяться формулой (г+ ~) (йЧ+ сЬР) — г ЫЧ $, йФ (10 32) гор г ' сар где $ — радиальное перемещение (изменение радиуса параллель- $ р г йр ного круга); малое слагаемое в опущено. По сравнению с.
соответствующей формулой (3.7) гл. 3 в фон- ( ф муле (10.32) появлялось дополнительное слагаемое —. ~йр Кривизна сечения, нормального к меридиану, которая до де- 1 Мпв ';-. формации составляла — ==, после деформации станоЯ~ г 429 вится равной — = 1 з1п (О+ д) о+»+$ , где д — угол поворота нормали (изменение угла О при деформации). Изменение кривизны в связи с малостью д и $ можно представить в виде 1 1 з1п (О+О) з)п О х,— — — —— ).>+ Яз»+ $» д — зра О. созО $ г (10.33) В гл..3 вторым слагаемым этой формулы пренебрегали, так как отношение — представляло собои малую деформацию е,. $. » В рассматриваемой задаче ез определяется формулой (10.32), н потому, считая — ' малым по сравнению с изменением кривизны х„можно принять (10.34) Формулы (10.32) и (10.34) отличаются слагаемыми с множителем — от соответствующих формул гл.
3. Все остальные ис- сЩ Йч> ходные формулы гл. 3 остаются справедливыми. Выпишем основные зависимости, сохранив обозначения, принятые в гл. 3. Геометрические соотношения: — = е,созΠ— де(пО; — == е з1пО+дсозО; ~1$ . ~1~ из йз оЧ >(О . созО яп О >1Ч> е=-- — + — х= — —; х=- — д+ > з ~(з ' ~ » » д<р Соотношения упругости: ЕЕ Еп Т, =, (е, + ре,); Т, =, (е, + ре,); М, = В (х, + рхз); М, =- Р (хз + )1хД Уравнения равновесия » (Т, з(п Π— Я соз О) = Ф; Т, соз О + Я з(п О = Л', — (»М) — Т, = 0; —, (»М,) — соз ОМ, — Я» = О, 430 . где Ф = — — осевая сила на единицу центрального угла Р (з) 2л окружного (для стержня — продольного) сечения. Если поперечное сечение стержня незамкнутое, то Ф ив з О.
Для стержня замкнутого сечения Ф =- сопз1, причем величина этой силы определяется из условия однозначности осевого перемещения ь при обходе контура сечения. При составлении уравнений равновесия учтено отсутствие распределенных нагрузок. Решение системы уравнений может быть получено методами, описанными в гл. 3. В частности, при произвольной форме сечения стержня и переменной толщине стенки можно использовать числовой метод расчета. В этом случае система дифференциальных уравнений относительно основных неизвестных ге„д, гУ, гМ„~ принимает вид (способ преобразования уравнений не отличается от рассмотренного в О 16) с1 ] 12 — (ге,) = — — р соз Ое, — дзшО+ соз'О.М+ + 1 — ф з!пзсозО Фф ЕЬ г йр Ф+ соз Π—; сй соьО 1 з1п О ~Щ дя г ~О ~ г Йр — = — 1 — О+ — М вЂ” Р, — (%)=ЕЬе2+рсозОЖ+р Ф; (10.35) — (М,г) = (1 — ы') П ' д+з1пО гй-~-рсозОМ,— ..
О.Ф+ (1 И)В ""О"'О "Ф; %~ и зш О е, + соз О д + з1п О соз Ой1 + 1 — И2 в1п'О + — Ф. Ей После подстановки выражений Т, и М, через основные переменные эта формула получает вид 11% з1п О соз О = ЕЬ'82 + (1 — ~$ ) В о + ~А соз ОМг + + п,з1пО Мт+ рз1пО Ф+(1 — р')1Э и — ~.
(10.36) Йр 431 Одновременно с интегрированием системы (10.35) может быть подсчитан полный изгибающий момент в сечении стержня путем интегрирования по всей площади сечения выражения ЛИ вЂ” =- Т;+ М,з1пО. . О 0 О ' 0 ! ( 1 0 у,—., О ,0 '0 у~ = и два решения неоднородных систем, При подсчете у, считаем Ф~ 11~~ Ф = 1 — = 0; при подсчете у Ф =О, — =-у (фиксированное йр Йг число). Решения у, и у, подчиняем нулевым начальным условиям в точке О =: — —. 2 Полный вектор состояния у = Су,+Су,—,Фу,+у,, Постоянные С„С„Ф находим из трех граничных условий в точке О = —" 2 Расчет можно выполнять, пользуясь программой для ЭЦВМ, приведенной в Приложении, внеся в нее небольшие изменения, соответствующие уравнениям (10.35), (10.36), и описав граничные условия.
432 Для стержня незамкнутого сечения в уравнениях (10.35) следует положить Ф: — О. При этом пятое уравнение, определяющее осевые перемещения, можно отбросить. Предположим, что сечение симметрично относительно плоскости кривизны, тогда интегрирование достаточно провести по половине контура сечения.
При этом на краю должны выполняться граничные условия У =- О, М, = О, а па оси симметрии— Ь = О, У = О. При вычислении однородных решений полагают — = О, а при интегрировании неоднородных уравнений дают с~~~ дф й~ дф !ч — некоторое фиксированное значение (например, — = т— Й~ =- 10 '). Интегрированием уравнения (10.36) находят соответ- ~~'ф ствующий данному значению — изгибающий момент (интеграл (йг по половине сечения должен быть удвоен). Для замкнутого сечения с1) + О.
В этом случае следует рассматривать все уравнения системы (10.35). Расположив начало интервала интегрирования в точке О = — —,, а конец в точке О = — ', имеем в каждой из этих точек граничные условия д = 0; У=О; ~=0. Строим два решения однородной системы (10.35) (т. е. при Ф = О, — =- 0~, отвечающих начальным условиям в точке И Л~~ Ач Га ам> Ф вЂ” — — в„= Жз>пΠ— — соз О, > а. — ОсоБО; — = ЕМй, ЛХ (10.37) где у — расстояние точки сечения от какой-либо оси, нормальной к плоскости кривизны (папример, от оси, проходящей через центр тяжести сечения).
Поясним вывод первого из уравнений системы (10.37). Имеем ге,= — 1 ( — / —. й~> 1Ч> ' Дифференцируя, получаем — (ге,) =. — >- соз О с$ ~Ч> сЬ '- ~Ь ~й~> д~ Вводя замену — „= — д з1п 0 и полагая в левой части г =— =- г, — сопз1, приходим к первому из уравнений (10.37). Чрезвычайно простая по структуре система уравнений (10.37) интегрируется численно точно так же, как и исходная система (10.35).
Следует заметить, что при использовании упрощенных Следует отметить„что в приведенном решении не были учтены специфические особенности т о н к о с т е н н о г о с т е р ж н я. Поэтому это решение справедливо для стержней, толщина стенки которых не мала по сравнению с габаритными размерами сечения, или для стержней большой кривизны, размеры сечения которых не малы по сравнению с радиусами кривизны г. Для стержней малой кривизны, имеющих тонкие, по сравнению с размерами сечения, стенки, уравнения могут быть существенно упрощены, так как можно пренебречь: 1) при подсчете перемещений 1, 1 перемещениями, возникаю- щими в связи с удлинением меридиана е,; 2) силой Т, по сравнению с Т,; 3) моментом М, при вычислении изгибающего момента в се- чении; 4) изменением радиуса параллельного круга г в пределах сечения и считать г = — г„где г, — например, радиус окружности, проходящей через центры тяжести поперечных сечений стержня.
Гипотезы 1 — 3 соответствуют принимаемым в полубезмомент- ной теории цилиндрических оболочек (заметим, что в данном слу- чае в отличие от ~ 33 направление 2 — для стержня продольное, а 1 — поперечное). При указанных гипотезах уравнения, определяющие основные неизвестные, принимают вид (в отличие от уравнений. (10.35) в качестве первого основного неизвестного принято не (га,), а е,,— 1>1> ',' Й~> да, мп 6, соя>> Нф сИ М, д И~ дЮ Мд, ~~я 0 — = — а ' — =0 — =ЕМ,у НМ Едд, ддь . дд% 23 ~ Ф Д (10.38) Первые четыре уравнения этой системы эквивалентнйодному: которое не отличается от однородного уравнения осесимметричного изгиба цилиндрической оболочки.
При этом остальные переменные связаны с е, равенствами Пятое уравнение системы (10.38) свидетельствует о постоянстве осевого перемещения Ь для цилиндрической оболочки, а шестое определяет интенсивность окружного усилия, в ней Т, = Ейа,. С учетом уравнения (10.39) эту величину можно также предста- ~ Уе~ вить в виде Т, = — ВК' — „, .
Поэтому полная, воспринимаемая цилиндрической стенкой окружная сила (10.41) где подстановка означает разностЬ значений -Ъг- на краях Й'~э стенки. 434 уравнений (10.37) сила Ф оказывается равной нулю как для стержней незамкнутого сечения, так и для стержней замкнутого сечения, имеющего две оси симметрии. Аналитическое решение полученных уравнений для профиля произвольной конфигурации затруднительно. Для замкнутых профилей может быть использован прием разложения искомых функций в тригонометрические ряды по периметру сечения.
Таким образом, получаются бесконечные системы алгебраических уравнений относительно коэффициентов этих рядов. Ограничившись тем или иным числом учитываемых членов ряда, можно получить решение с требуемой степенью точности. Аналитическое решение легко можно получить, если стержень ограничен цилиндрическими и плоскими стенками постоянной толщи нй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
