Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 53
Текст из файла (страница 53)
В пневматической шине перекрещивающиеся слои нитей обрезиненного корда связаны между собой резиновыми прослойками. Так как резина обладает существенно меньшей жесткостью, чем нити корда, можно считать, что вся нагрузка воспринимается только нитями. Вместе с тем прослойки играют как бы роль узелков, связывающих нити перекрещивающихся слоев. Поэтому сетчатая оболочка является для шины хорошей расчетной схемой. Для получения наибольшей жесткости и прочности стекло- пластиковых оболочек их целесообразно проектировать так, чтобы основная нагрузка воспринималась стеклонитями, а не полимерным связующим.
При таком оптимальном проектировании также оказывается возможным исходить из схемы сетчатой оболочки. Если на стеклопластиковую оболочку, спроектированную подобным образом, действует нагрузка, отличающаяся от расчетной, в работу включается связующее, и расчетная схема сетчатой оболочки перестает быть приемлемой. Для сетчатых оболочек первостепенное значение имеет задача об определении их конфигурации при действии основной нагрузки (главным образом — давления), так как до приложения такой нагрузки оболочка (точнее — ее расчетная схема) вообще не имеет какой-либо формы, Далее, как и в случае обычных мягких оболочек, можно раесматривать задачу о деформации оболочки дополнительными нагрузками.
383 Наиболее полно разработана теория сетчатых оболочек вращения, которая имеет большое прикладное значение, так как к оболочкам вращения относятся резинокордные оболочки, используемые в машиностроении (пневматические шины, пневматические амортизаторы, муфты), а также оболочки летательных аппаратов, выполняемые из армированных пластиков. ~ 41. Равновесная конфигурация сетчатой оболочки вращения Рассмотрим оболочку вращения, стенка которой образована сетью из двух симметрично расположенных систем нитей (рис.
9. 1). Оболочку отнесем к гауссовым координатам з, «Р, где з — длина дуги меридиана от некоторой начальной параллели, а щ — угол, определяющий положение меридиональной плоскости. В произвольной точке оболочки нити еоставляют в меридианом углы — р, причем р зависит только от координаты з. При осесимметричном нагружении натяжение нитей обеих систем на данной параллели одинаково: Обозначим это усилие У = Ф (з). Установим зависимость между усилием в нитях Я и интенсивностями внутренних сил Т„Т, в стенках оболочки. Если шаг нитей равен й ('рис.
9.2), а число слоев каждого из направлений я, то участок дз, окружного аечения оболочки пересекает й — 'еоз р нитей каждого из направлений. Так как усилие й в каждой нити равно Ж, то суммарное направленное по меридиану усилие, воспринимаемое участком дз„ составляет М 2й — 'соР(1. Относя это усилие к длине сечения йз„найдем интенсивнОсть Т1, Т, = У вЂ”, соззр. (9.1) Аналогично, интенсивность силы Т, в меридиональном сечении Т, Ю ~„~ з1п'р. (9.2) Таким образом, для симметрично нагруженной оболочки отношение — '= с(~'~ (9.3) т, зависит только от угла наклона нитей р в данной точке. Составив обычные уравнения равновесия для безмоментной оболочки вращения, нагруженной давлением р и приложенной ЗВАЛ Рис.
9.1 Рис. 9.2 (9.4) (9.6) Так как 1 сИ ЫО сон О да !1г !!г = — (з1п О), (9.7) то первое слагаемое левой части уравнения (9.6) 1 1 1 Н . И вЂ” = — — (з1п 0) = — „(1пз1п О). Тогда уравнение (9.6) принимает вид — ! (1п з1п О) =, 2г — 1К г1г га + Ре(ир г Проинтегрируем его: !пв!ПВ= !и (~'-!- — ' ! — 1 — а~-!-1пА, откуда 1 $и'Р з1п О = А г'+ — е '! е Л,0 / (9.8) где А — постоянная интегрирования.
13 в. л. Бидерман 385 к торцу осевой силой Р„ Т, 2!тг з1п О = Р„+ рлг', г обнаруживаем, что два неизвестных усилия связаны тремя урав- нениями (9.8) — (9.5). Исключая из этих уравнений усилия, получим зависимость, связывающую только геометрические параметры оболочки, 1 ! н 1 2г 1БО ~, +~~ ~ . г +!и,(г!,о' Так как ,1з с(г1 0 + рт р — Моп Е (9.9) з1пр= —, с (9.10) где с — параметр. Так как з1п р' не может превышать единицы, то минимальный радиус оболочки (радиус центрального отверстия в ней) нс может быть меньше с.
При геометрии, определяемой выражением (9,10), ~ар' 11 тр' р —— 1 — в!и' В рп — с' Ссррй р срй' ч/ с~ — "й = ~ . =-1п р1~ 1 — — =1п(совр). р ~ (г' — с') с р' Подставляя это значение интеграла в формулу (9.8), находим р а з1п 0 = — (г + — ~. сов р ПР Постоянная А связана с максимальным радиусом оболочки Я с Срис. 9.3). При т = я и!п П = 1; р = р, (е1п р, — — ); слелосов Цв веселово, А = =(' 4) Итак, угол 0 определяется равенством Ро рй+ ррр сои р,„ . лепр=в Р~ сов р ЩР (9.1 1) то определение уравнения меридиана оболочки г = г (г) сводится к квадратурам при известной зависимости угла р от радиуса. Эта зависимость определяется технологией изготовления оболочки и в различных случаях различна.
Ниже рассмотрены два практически важных случая расположения нитей в оболочках. Нити расположены по геодезическим линиям поверхности оболочки. Эта геометрия характерна для оболочек, изготовляемых намоткой натянутых нитей на оправку, имеющую форму поверхности оболочки (например, для стеклопластиковых оболочек, получаемых спиральной намоткой).
В этом случае нити укладываются по кратчайшим расстояниям, т. е. по геодезическим линиям. Уравнение геодезических линий на поверхности вращения имеет вид где Сб -а уУ бб сов~ = 1уу 1 — —,; сов ()„= ~ 1 — —, Если ввести безразмерную координату р = —, обозначить Г отношение параметра геодезической линии с к максимальному радиусу оболочки Я через сб, а отношение внешней осевой нагрузки Р, к давлению на площадь диаметрального сечения через П = — ',, то формулу (9.11) можно также записать в виде (у'+ П 1' 1 — бб' (9.
12) Из этой формулы видно, что в безразмерных переменных форма профиля зависит только от двух параметров рх и П. Осевая координата г определяется зависимостью (9.9). Запишем ее для безразмерной координаты ь = —: )~ б]~= б1р или р".=С, +. 1 б]р. ]У ) — яп'О ,] Р1 — Мп Е Эта формула неудобна, так как на экваторе оболочки 0 =— 2 и подынтегральное выражение имеет особенность. Поэтому профиль оболочки удобнее рассчитывать, используя в качестве независимого параметра вместо р безразмерную длину меридиана о= —.
При этом нужно проинтегрировать следующие уравнения: ЫО б! ]У 1 — сб' 12Р4 — ббб (ЗРб+ П)] "' "(У (1 + П) ((уб — «')~г~ — = соз.0. ф б(О ==э(п0 б$ бакр (9. 13) 13' . причем первое из этих уравнений есть следствие равенства (9.7). Если начало отсчета а разместить в плоскости экватора оболочки, то начальные условия для интегрирования системы (9.13) будут следующими: 0 = — "; р = 1; р" =О. Профили сетчатых оболочек с нитями, ориентированными по :. геодезическим линиям, приведены в работах [35, 01]. Как следует из первого уравнения (9.13), меридиан геодезической оболочки у' б(О ':имеет точку перегиба ( — = 0) иа Гбеараа ериом) расстои и ~ уйу от оси симметрии У оболочки с днищем, нагруженной только давлением (П = О), чГ з точка перегиба расположена на окружности радиуса р~ =- 1 — а (рис.
9.4). Если оболочка нагружена давлением и на днище давление не передается, то Р, — — рлс', П = — а~. В этом случае угол 0 определяется формулой р 1/р2 ай з1п0 =- Р 1 — а' и меридиан в точке р =- а имеет касательную, нормальную к оси вращения.
Профиль меридиана для оболочки с меридиопальными нитями (а = О) имеет такую же форму, как для одноосной мягкой оболочки (см. рис. 8.3). . Усилия в нитях оболочки выражаются через усилие Т, по формуле (9.1), т. е. й 1 Р+р й 1 ~ 2й соь'!! 2пг ыпО 2!! соУ~ ' Заменив з!и 0 его значением по (9.11), получим Ро+ пРЯ2 1 Й 1 2пс сок Р 2А соя Р " Введем в эту формулу суммарное число нитей, пересекающих 2ас соз ~ любой параллельный круг оболочки: ~ = ' и 2й. Тогда ,! Р, + юсрй' ~ соя ]1., 19.14) Из формулы (9.14) видно, что в н и т я х, н а п р а в л е н н ы х по геодезическим линиям, усилие постоянно по длине. Рис. 9.4 Рис. 9Л Рис.
9.5 (9 15) Во втором случае синус угла наклона нити к меридиану з1п р=- — „,~~ . (9. 16) При формировании и вулканизации оболочка деформируется осесимметрично. Поэтому углы д~р в обоих случаях одинаковы. Пренебрегая растяжимостью нити, можно считать, что и й не меняется. Поэтому из уравнений (9.15) и (9.16) з(п р = — з(п а, откуда 7ч видно, что в готовой оболочке = у = сопз1. г (9.1 7) В дальнейшем такое расположение нитей, при котором синус угла, составляемого нитью с меридианом, пропорционален рас- 389 Поэтому сетчатые оболочки с таким расположением нитей являются равнопрочными. Нити имеют «шинную геометрию».
Каркасы резинокордных оболочек и пневматических шин изготовляют из обрезиненных кордных слоев, накладываемых друг на друга крест-накрест. Полученную таким образом цилиндрическую оболочку с нитями, лежащими по левым и правым винтовым линиям (рис. 9.5, а), затем формуют подачей давления во внутреннюю полость при одновременном сближении торцов и вулканизируют. В процессе формования и вулканизации фиксируется окончательная форма изделия.
Рассмотрим участок нити АВ длиной Ж в невулканизированной цилиндрической оболочке (см. рис. 9.5, а) и тот же участок в готовом изделии (рис. 9.5, б). В первом случае синус угла наклона нити к образующей цилиндра з1па = га ~Ь~~ ' й 28 1 — з!и" (! 1 — ХМ ' ~ ~ Иг = ! и,, = — — 1п(1 — у'г') = — — 1п(созр). 1 2 (;(Ьй. 1 Подставляя это значение интеграла в формулу (9.8), найдем следующее общее выражение для синуса угла наклона нормали к оболочке: з)п О = А 1 г + — ~ соз р.
2 .Р Постоянную А найдем из условий на экваторе оболочки г — — И; О = —; ! А=— ~ й~ + ) соя )!гг Следовательно„ ~о г~+ щ> созр з!пО = Р, соз|3~ лр (9.18) Г Снова вводя безразмерный радиус р = — и параметр осевои Я Рд нагрузки П = ",, представим эту формулу в виде з(пО= р' + П сов О ! + П соз ~~ ' где в соответствии с выражением (9.17) соз р = ~' 1 — р' з1п' ~~, Уравнения, определяющие форму меридиана оболочки, имеют вид ИО Н . р 2 — (Зр~+ П) к!о~(!у, — =- — (з!и О)— На ор (1 + П) соь ~! )/ ! рс з1ой ~~ — = созО; (р да — =- з1п О. с$~ йт (9.19) Если начало отсчета а расположено в экваториальной плоскости оболочки, то начальные условия для интегрирования системы таковы: о = О; О = — "; р =1; ~ =О. 390 стоянию точки от оси симметрии оболочки, будем называть «шинной геометрией» нитей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
