Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 51
Текст из файла (страница 51)
На внешнем контуре (г = Ь) должно быть выполнено условие Ха = 1, которое при случайном выборе параметра Х, на внутреннен контуре нкпо нятьсн не будет. Понтону требуется подобреть - См. Давиденко Д. Ф. Об одном методе численного решения систем пелииейимх уравнений.
— «Докл. АН СССР», 1953, т. 93, №4. Зо9 и — в соответствии а уравнением (8.7), получим два дифферен-. сеЛт бд Tб циальных уравнения, определяющих — и — е помощью ко- бЬ торых можно расширить систему. (Примененный здесь прием близок по идее к предложенному Д. Ф.
Давиденко методу решения нелинейных уравнений путем сведения их к дифференциальным '.) Таким образом, получаем систему уравнений: такое значение Х, !,=о, при котором граничное условие на внешнем контуре выполняется. Задачу можно решить с использованием метода Ньютона †Канторови, подробно описанного в ~ 17.
Выше рассмотрен случай, когда диафрагма, будучи плоской, не натянута. Если диафрагма закрепляется в обойме с начальным натяжением, причем Х~ = М = Хо, то расчет выполняется точно так же, но изменяются граничные условия. В этом случае при г = а и прн г = Ь Хо =)оо. Для диафрагмы без жесткого центра, нагруженной только давлением, расчет последовательных положений диафрагмы при различных давлениях может быть выполнен прямым решением задачи Коши без поиска начального параметра. Это оказывается возможным потому, что в уравнения (8.8) не входят толщина мембраны и другие ее абсолютные размеры. При расчете нзотропной мембраны поступают следующим образом.
Интегрирование начинают на некотором малом расстоянии от полюса (з = ! о). При назначении начальных условий в этой точке учитывают, что вблизи полюса деформированная диафрагма имеет сферическую форму некоторого радиуса Я'. Задавая некоторое значение деформации в полюсе Х, = Х = Хо, находят соответствующее значение Т, = Т, = й), (Х„Хо). Принимают также начальное значение радиуса кривизны оболочки в полюсе И'. Выбор этой величины несуществен, так как определяет лишь масштаб расчетного построения профиля нагруженной мембраны. Угол 0 в точке з = г, принимается равным 8о го ~оР В' 2Чо Оо, ~о) ' При указанных начальных данных интегрируют систему (8.8) до той точки, в которой Хо = 1.
При этом фиксируют полученное значение радиуса г„ величины Х, и 6. Так определяют профиль мембраны радиуса г„ нагруй!енной некоторым давлением. Увеличив все размеры профиля в отношении Иг„получают профиль мембраны заданного радиуса К. Соответствующее этому профилю давление на мембрану Р= "ли Р=~Ч!()!о )!о) — о о !~,!~ ° Таким образом рассчитаны представленные на рис. 8.2 профили мембраны из так называемого неогуковского материала, упругие характеристики которого удовлетворительно описывают свойства разины при не слишком больших деформациях.
Для этого материала зависимости (8Л) имеют вид / К.1 1 1 ! оз Хзкз 1 зто 0 Ц7 090б ОВ 10 12 1Ч'И Рис. В.2 Рис. 8.3 Профили, показанные на рисунке, соответствуют различным значениям Х0. В рассмотренной выше задаче благодаря закреплению краев вся диафрагма испытывала двухосное напряженное состояние. Иная картина будет в том случае, если край диафрагмы может перемещаться в радиальном направлении. В качестве примера рассмотрим надувную конструкцию, склеенную из двух плоских круглых мембран (рис.
8.3, а). Прн надувании она приобретает овальную в меридиональном сечении форму (рис. 8.3, б, в), причем вблизи места склейки образуются хорошо видимые складки. Проведем расчет этой конструкции, предполагая, что материал нерастяжим и что везде имеет место одноосное напряженное состояние (как мы увидим далее, эти две гипотезы взаимосвязаны). Уравнения, определяющие эту задачу, отличаются простотой. Положив в уравнениях равновесия Т, = О, приведем их к виду Т, т, 281ПВ ' й1 * — =Р Исключив из этих уравнений Т„ получим 1 2 в1п О (8.9) г Уравнение (8.9) связывает одни только геометрические величины и определяет конфигурацию одноосной оболочки вращения, нагруженной давлением.
1 йв (6 Учитывая, что — = — и — =соз О, приведем уравнение (8.9) са 2 в1пз Н(и1п Щ Ыг к виду — соз О = — или Й" г з1па г Интегрируя это уравнение, находим з1п О = Сг', где С— постоянная интегрирования. Если обозначить радиус зкватора надутой оболочки через й, то С= — и з1пв= —.
ЯЗ длб Выразим в виде квадратур координаты точек меридиана 'чи ' оболочки — !б б б'~ — ( члч' Полная высота оболочки (см. рис. 8.3, б) о о Длину дуги полумеридиана, равную радиусу и мембраны, определяют по формуле л гб я 1 Усилие Т, изменяется вдоль меридиана по закону Т, = Ф~' 2вшО 2к Из этого выражения видно, что вблизи полюсов Т, оо, Этот результат является естественным следствием предположения о нерастяжимости материала. Если учесть растяжимость материала, то обнаружится, что вблизи полюса образуется зона двухосного напряженного состояния, где конфигурация оболочки определяется зависимостями (8.8) при Р = О. Ближе к периферии имеет место одноосное напряженное состояние.
Граница между зонами одноосного и двухосного напряженных состояний определяется условием Т, = О. С увеличением внутреннего давления вона двухосного напряженного состояния расширяется. ~ 40. Малые деформации мягких оболочек вращения, предварительно нагруженных давлением. Рассмотрим предварительно нагруженную давлением мягкую оболочку вращения, к которой затем прикладывают малые дополнительные нагрузки. Предположим, что напряженное состояние оболочки остается двухосным.
За исходную примем конфигурацию нагруженной давлением оболочки, считая ее известной. Эта конфигурация осесимметрична. Известны и начальные усилия в оболочке Т1, Т,, удовлетворяю. ~~ аз У а1 Рис. 8.4 щие условиям равновесия для исходного состояния. Бесконечно малый элемент оболочки в исходном состоянии изображен на рив. 8.4, а: размеры г, йз и интенсивности усилий соответствуют исходному (т, е.
деформированному' давлением) состоянию. В результате приложения дополнительных нагрузок элемент деформируется, и усилия на его границах изменяются. Проекция деформированного элемента на касательную плоскость показана на рис. 8.4, б. Направления усилий Т, 5 на границах элемента согласованы в направлениями коордйнатных линий на деформированной поверхности, а их интенсивности отнесены к размерам элемента в исходном состоянии. Из условия равенства нулю суммы моментов всех сил относительно нормали к элементу 5, (1 + в,) = Ю, (1 + е,). (8.10) Так как дополнительные деформации оболочки полагаем малыми, примем 71 = Т1 + ТЪь 72 ~ 72 + 72ч Зю 8 (1 + 82)~ Ба = З (1 + вт), (8.11) где Т„Т,, 8 — величины первого порядка малости по сравнению в Т1, Т2.
Векторы сил, приложенных в сечениях з = сопз1 (ЬР ) н <р сопз( (ЛР,) элемента, ЛР1 = (ТА + ЯА )г ЙР; ЛРг = (3211~+ 7~1~д) <Ь, где 11 и 12' — единичные векторы, касательные к координатным + + линиям на деформированной поверхности. Кроме этих сил, к элементу приложена сила давления рфп, где и+ — вектор нормали; д~ = гйрсЬ (! + е,) (1 + е,) — площадь деформированного элемента, а также малая дополнительная нагрузка интенсивности ц. Таким образом, вектор внешних сил, приложенных к элементу, составляет 1дА+ + 721~2 + (р + дз) п~1 (1 + в~) (1 + + е,) пйрЩ где д„д„д» вЂ” составляющие нагрузки ц, 373 В уравнение равновесия д ~Р (а+ д ~Р (р+ д д Й~~ д1~+ д$~+ д1~+ + Т» — +5,» — +52 — + Т,— + + (пз»+ р» (1+ е, + е,)) п+ = О.
(8.13) При вычислении производных от единичных векторов деформированного состояния воспользуемся их выражениями (см. гл. 5) через векторы 1„1„п исходного состояния: 11 = 11 + 10112 61и~ + 12 = 12 '+ М211 — дыми; =и+'А+Мь в которых сохранены лишь линейные в зависимости от перемещений слагаемые. Для оболочки вращения до ди сова и дэ . а= — ' а= — — — о' д;= — — — ' дз ' ~ гсср с ' ' Я, дз с дж д = — — —. Н, »др' (8.15) Дифференцирование выражений (8.14) проведем по формулам (4.55); тогда — = — — и; — ' = соз 0 1э — — — О; д» ! д1~ . д$~ (Мд Ж К~ ' д~р ~' дь ' д(р дп ! дп а Я, д'р = — соз01 — з1п0и; — = — 1,; — = з1и01,. Заменим векторы 1„1„и их выражениями через векторы 1~, + и+: 1~ = 1~ — сн(г + ~.
~и + т ~ + 12 12 (6211 + 02и 1 + + + и= и — дА — бА ° + + + ") (911! + ч212 + (р+ дз) и 3 (1 + е~) (1 + е~)» с(ср й = О (8.12) входят разности сил ЛР~, ЛР„приложенных к противолежащим границам элемента, и вектор внешней нагрузки. После подстановки в уравнение (8.12) значений ЛР„ЛР„ сокращая на дауда и опуская величины второго порядка малости с множителями д,е, и е,ес, получаем Эти выражения можно получить, обратив формулы (3.14) а сохранением лишь линейных слагаемых.
В результате проведенных вычислений получим следующие зависимости: дз й 1 д1+, + до~ — — (а~ + а2) соз О 1~ + ~ соз О + — ~ — о з1п Й 1+ + дф ), -1- ~ О, соз Π— — — о, з1п О ~ и,' дд, д<р (8,16) д1," дь+~ — = ~ — соз О + О~ з1п 0+ — ) 1~ + (и~ + в~) соз 0 1+ д(р др 2 — ~з1пО+ — '+ о соз О) и+. д~р д (Т;~) дд~ д~ д~р + —. — Тз ~ соз Π— О~ з1п Π— — ~ + д,г~ 1 д<р / + Т~ (со~ + в2) соз 0 + дзг~ 1+~ — (т;( — '.+ д, )+т,(Я~ПО.). ',"'+б,совВ) ' (8.17) — д~ — рг~1+,+в,)) п О. Внесем в (8.17) значения усилий (8.11) и проведем линеаризацию выражений в прямых скобках, пренебрегая произведениями дополнительных усилий на величины, зависящие от перемещений. При этом учтем, что начальные усилия удовлетворяют уравнениям равновесия, т, е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
