Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Поэтому, полученное уравнение можно записать в виде 0Ч ~Чч+ Чвф = дв. (7.65) Поскольку задача решается нами частично в перемещениях (в), частично в усилиях, то функция усилий с! должна удовлетворять условию совместности деформаций. В уравнения совместности деформации (5.34) входят параметры изменения кривизны, которые выражаются через в, и компоненты деформации, свяванные с усилиями, а значит и с функцией ф законом Гука. Но в первых двух уравнениях совместности (5.34) деформации входят только в виде второстепенных членов зЯ, а членами такого порядка по сравнению с к мы пренебрегли. Поэтому единственным уравнением совместности деформаций, которое следует выполнить с помощью надлежащего выбора ф, является третье из уравнений (5.34): 1 д 1 1 Г д дВ 1 д — — ! — ! — — ~ц,в~+ — е,-> — — <т„я ~1)+ АН да!А~ да да 2А др 1 д 11 Г д дА 1 д + — — ! — ! — — (~,.4) + — ъ+ — — (ъ,в')])— АВ др !Вь д~ д!12 В да ссв — — — — = О.
ссв (7.66) 1 1 д д — — ((Тв рт,) В1+ —, (Т-, — рТ,Н- + (5А)~= ~ ИТ,+Т,)В)+ (Т,+Т,)+ ~- с1+ в) [ — ~тв~ — ~ т, + — — ~яА)1). Подчеркнутое здесь выражение равно нулю в соответствии е первым из уравнений равновесия (7.53) (напомним, что принято дс = 0). Следовательно, д дВ 1 д — д. ('8)+ д '+ 2А дд (7 ")= В д = — — — (Т + Т,).
ЕЬ дсс Заменим е„е„у1в их выражениями через Т„Т„Я на основе закона Гука. Тогда (толщину й считаем постоянной) выражение в первых квадратных скобках в уравнении (7.66) получит вид д дВ „1 д дсс ( с )+ да с+ 2А д!! Точно так же выражение во вторых квадратных скобках в уравнении (7.66) можно привести к виду д дА 1 д, А д — — (е,А) + — е, + — — (у„В') = — — — (Т, + Т ). д~ др 2В да ЕЬ др + — + — = О. х, х~ й1 йа Используя обозначение (7.59) оператора Лапласа, преобра. вуем уравнение к виду еа ~(Т'+ Т')+ К + ~ 1 ~9 Далее заменим Т, и Т, их выражениями по (7.56); тогда (7.67) д д$ 1 дА д~~ 2$ Ада ( Ада ) АВ др Вд11 й1Я, Если выполняется условие (7.47), то последним слагаемым можно пренебречь, а остальные представляют собой оператор Лапласа от ф Т,+Т,=~Рф.
(7.68) Заменив х, и х, их значениями по (7.5!), с помощью таких же преобразований, как и при выводе'формулы (7.62), найдем причем оператор 7д имеет ту же структуру, что и в формуле (7.63). Таким образом, уравнение совместности деформаций (7.66) и уравнение равновесия (7.65) окончательно можно записать в следующем виде: (7.69) 0Ч 17 и + Ч~Ф = дз. По форме уравнения (7.69) не отличаются от уравнений В. 3. Власова. Разница состоит лишь в значении функции $, которая теперь связана а усилиями формулами (7.56). После подстановки этих выражений в уравнения совместности (7.66) получим (знаки изменены на обратные) Лля оболочек нулевой гауссовой кривизны разницы между изложенным вариантом теории и теорией В.
3. Власова нет. Существенно; однако, что для обоснования теории потребовалось только условие быстрой изменяемости напряженного состояния в одном направлении в форме (7.47). Уравнения (7.69) образуют систему восьмого порядка. Следовательно, решение этих уравнений можно подчинить таким же граничным условиям, как и в общей моментной теории оболочек (с той разницей, что Я = Я = 3).
1 1 2 Для плоской пластины — = — = О; Ч» = О, поэтому пер- 1 2 вое и второе уравнения (7.69) оказываются не связанными. Первое из них Ч»Ч»ф = О определяет функцию напряжений Эри, плоской задачи теории упругости, а второе ВЧ»Ч'и = д, описывает изгиб пластины. Зависящий от кривизны .оператор Ч» в уравнениях (7.69) характеризует взаимосвязь между изгибом и усилиями в срединной поверхности оболочки. 1 ! ! В частном случае сферической оболочки И! Й2 Й н Ч» — Ч. При этом, если оболочка отнесена к кординатам О, 2 ! %1 ! ~д' д 1 д' Ч'= ~, ~ д +с1яО дв + 'Ы'-й. д ' ~ (7'7О) Уравнения (7.69) получают форму — Ч'Ч'ф — — Ч2»э = О; ЕЬ Е (7.71) 0Ч'Ч'п1+ — Ч'Ф = Ь в - ЕН, ЕИ Обозначим Ч21р — — !6 =' — — в,.
» Тогда из первого уравнения (7.71) Ч»п1» = О; следовательно, в, — гармоническая функция, Вводя теперь во второе уравнение (7.71) Ч !р = — (1в — и,), приводим его к виду ЕЬ 0Ч'Ч21» + —, пг-= д, + —, ю0. ей .. еа Так как функция в, — гармоническая, решение этого уравнения а1 = ы*+ ы„где в' в свою очередь, удовлетворяет уравнению ВЧ"Ч'ы*+ —, !э* = д,. З41 Итак, для сферической оболочки уравнения пологих оболочек распадаются на: а) уравнение типа уравнеиия пластины на упругом основании (7.72) б) гармоническое уравнение 7'во' = 0; в) уравнение, определяющее функцию усилий, 17~р= — ы.
Ей Я (7.73) (7.74) имеет весьма большой коэффициент при последнем члене. Поэтому решением его являются быстро изменяющиеся функции координат. Уравнение 7'ф = — в описывает как безмоментное напря- ЕЬ й женное состояние оболочки, так и напряжения, возникающие в срединной поверхности в связи с перемещениями в*. При этом безмоментному состоянию соответствует решение однородного уравнения (так как в соответствии с (7.68) 7'~Р = Т, + Т„ а при безмоментном состоянии Т, + Т, = О).
Напряжения из- 342 Полное нормальное перемещение определяется формулой в = О' п)ф + Переменные з', ы„ф связаны между собой через граничные условия. При интегрировании уравнений (7.72) и (7.73) возникают соответственно две и одна произвольные функции, но на сум.марный прогиб в* + в, на контуре оболочки наложены только два граничных условия (на в и д„или на М„и ~„).
Однако те же произвольные функции, которые входят в выражение для ы*, входят и в частное решение уравнения (7.74), при интегрировании которого появляется еще одна произвольная функция. Лва тангенциальных граничных условия на контуре (на силы Т„, Я„или соответствующие им перемещения) позволяют внести определенность в нахождение всех произвольных функций. Рассмотрим полученные уравнения в случае ненагруженной оболочки (однородная задача). Как видно из уравнения (7.74),функция усилий ф (и сами усилия в срединной поверхности) зависит ат и', но не зависит от в,. Следовательно, перемещения и~, — это перемещения чисто моментного напряженного состояния (включающие также перемещения оболочки как жесткого тела).
Однородное уравнение, соответствующее уравнению (7.72), Г7ю*+ 12(1-') *=0 й~ь2 'тиба, связанные с перемещением игь,' н ссютветствующие этому же перемещению напряжения в срединной поверхности имеют одинаковый порядок. Это напряженное состояние А. Л. Гольденвейзер назвал смешанным '. Следует отметить, что решения безмоментной задачи и задачи чистого изгибания — медленно меняющиеся функции. Поэтому при их определении теория пологих оболочек может дать существенную погрешность, если только рассматриваемая область оболочки не мала по сРавнению с РадиУсом !А!,».
ДлЯ быстРо изменяющихся решений уравнения (7.72) точность рассматриваемой теории вполне достаточна. Поэтому для сферических оболочек можно рекомендовать расчет на основе безмоментной теории (см. гл. Б), дополняя его решением уравнения (7.72) при да = О и частным решением уравнения (7,74).
При этом граничные условия должны формулироваться для суммарного решения. Если нормальная нагрузка на оболочку да быстро изменяется, то частное решение на основе безмоментной задачи может оказаться недостаточно точным. В этом случае следует выделить быстро меняющуюся нагрузку и учесть ее в правой части уравнения (7.72) для ги'. Мы установили, что уравнения теории пологих оболочек для сферической оболочки распадаются на уравнения безмоментного состояния и уравнения смешанного напряженного состояния.
В работе А, Л, Гольденвейзера показано, что такое же разделение имеет место, если основываться на общей теории. В этом отношении сферическая оболочка является исключением. Для оболочек других конфигураций точно выделить безмоментное и быстро. изменяющиеся напряженные состояния не удается. Однако в ряде случаев это можно выполнить приближенно. Для цилиндрической оболочки, отнесенной к координатам з„ 1 *1 1 и имеем Л =В 1; — =О; 31 р В этом случае операторы 'д' дз .
7' = — + —,; да~ дз' 1 2 я 1 д' 2 Р да! и основные уравнения теории пологих оболочек принимают форму ! ! да дз '1а ! дав ( да дз '1я ! дзф 0 — + — !о+ — — = д ~д2 д.з) Р д,' ' Си. Гольденвейзер А. Л. Исследование напряженного состояния сферической оболочки. — «ПММа, е. ЧИ1, 1944, вып, 6, с. 441 — 466. 343 Для круговой цилиндрической оболочки, вводя безразмерны в координаты з,Я = а, з,/М = ~р, полагая д, = О и исключая функцию усилий ф, можно получить уравнение,, включающее только нормальное перемещение: ( д~ д2 14 И д4я — + — ) и+ 12(1 — р') — = О. дскб д<р~ ) й2 да~ Отыскивая решения этого однородного уравнения в виде м = е'" соз Ьр, получим для характеристического показателя а то же самое уравнение к которому приводила общая теория в предположении, что число волн я по окружности не мало.
В книге А. И. Лурье [Зб 1 на ряде примеров показано, что расчет не слишком длинных — ' ( 0,75 ~' — „) цилиндрических оболочек на основе теории пологих оболочек дает результаты высокой точности даже при медленно изменяющихся нагрузках. 5 36. Краевой эффект В ряде случаев напряженное состояние оболочки может быть расчленено на основное напряженное состояние (безмоментное и чисто изгибное) и на краевой эффект, возникающий вблизи границы оболочки или в местах резкого изменения ее геометрии или нагрузки.
Как и в случае осесимметричного краевого эффекта (см. э 14), в общей теории краевой эффект позволяет выполнить нетангенциальные граничные условия, которые не могут быть выполнены с помощью безмоментной теории. Так как уравнения безмоментной теории имеют четвертый порядок, а уравнения общей теории — восьмой, то ясно, что краевой эффект должен описываться дифференциальными уравнениями четвертого порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
