Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 42
Текст из файла (страница 42)
314 Уравнения совместности деформаций (5.34) можно записать, используя статико-геометрическую аналогию: Уравнения равновесия (7.2) можно теперь. пренебрегая малыми величинами, переписать в виде дТ1 дю + . = — Чй! дйг дай дт д.) ! дЛ1~ + — + — — = — ~' дйй дзй !) дйй (7.5) дйук! 1 Тй = йуй дйй р Таким образом, гипотеза (7.1) привела к тому, что в уравнения равновесия не вошли моменты М„Н. Отсюда видно, что гипотеза (7.1) эквивалентна 1-й гипотезе В. 3.
Власова. Исключая из уравнений (7.5) Я и Т„придем к одному уравнению, связывающему Т, и М,: ~4 где !й" — оператор В. 3. Власова; (7.7) Р— функция нагрузки; ~= — — + — + — '(к.). дй!, дв!, дй дуу дйй д4 (7.8) дйунй. дог (7.9) Вновь применим оиенку ~ —,~ )) ~ —,~, ие которой еле дует, что оператор — можно рассматривать как большой мно- дЦ дй житель по сравнению е —.
Тогда из сравнения выражений (7.9) дй1 следует, что !,Т,! » !,Т,1,. (7.1О) Из первого уравнения равновесия (7.5) следует, что касательная сила 5 по порядку величины занимает промежуточное положение между Т, н Т, б!б Уравнения равновесия позволяют оценить относительную величину усилий Т„ Т„ 5 в полубезмоментной теории.
Рассмотрим однородные уравнения (д, = у7, = дз — — О), Тогда из третьего уравнения (7.5) и из уравнения (7.б) можно выразить 7', и Т, через М,: Второе уравнение, связывающее Т, и Ме, получим из уравнений совместности деформаций (7.3). Исключая из этих уравнений х„х1е, придем к соотношению, (7.1 1) (7.14) зрз Так как мы установили, что 1 Т, ~ > ~ 5 ! > ~ Те ~, то из урав- нений упругости следует, что ~е,~ =)ре,~, т. е. в, и е, имеют одинаковый порядок, а у1е — меньший. Поэтому, учитывая гиподеее детее тезу (7.1), в выражении (7.11) можно пренебречь —,' и —" де) де~ де~ по сравнению а — и —.
по сравнению с —. Указанные пред'ее дт1е де1 де1 де1 дее ' небрежения соответствуют 2-й гипотезе В. 3. Власова. Тогда уравнение совместности примет вид ~ — ".,'+%Ъ, О, (7.12) ~1 где снова использовано обозначение оператора К '(7.7). Последним шагом является замена и, и е, их выражениями через М, и Т,. С учетом выражения (7.4) и оценки (7.10) получим к,= — е,= —. м, т, 0' Ей (7.13) Тогда для оболочки постоянной толщины вместо уравне- ния (7.12) можно записать 1 дМ, — — + — ют,'= а. 0 дь', ЕЬ Уравнения (7.6) и (7.14) являются основными уравнениями полубезмоментной теории цилиндрических оболочек. Введя вспомогательную функцию Ф (з„зе) и положив (7.15) систему уравнений (7.6), (7.14) можно свести к одному уравнению (7.16) Своеобразие уравнения (7.16) состоит в том, что оно имеет восьмой порядок по координате з, и только четвертый по коорди- нате з,; Поэтому с помощью полубезмоментной теории можно удовлетворить по четыре граничных условия на продольных кромках открытой оболочки (как в общей теории), но только по два условия на криволинейных кромках (как в безмоментной теории).
Следует обратить внимание на то, что упругие постоян- ные.оболочки В и Бй были введены в расчет только на самом последнем этапе при выражении ие и е, через Ме и Т,. Поэтому не представляет трудности обобщить полубезмоментную теорию для о р т о т р о п н о й о б о л о ч к и, обладающей различными упругими свойствами в продольном и окружном направлениях. Для этого следует только в полученных формулах под ЕЬ понимать жесткость стенки при продольном растяжении, а под  — жесткость ее при цилиндрическом изгибе в окружном направлении.
Остановимся на определении остальных усилий и перемещений через вспомогательную функцию Ф. Усилие Т2 находится с помощью третьего уравнения (7.5): д'М, г д' з 72= РЧ2+ Р д22 = Р ~Ч2 — ~ д22 (1)ТФ)~ ° (7.17) Для определения 5 используем первое и второе уравнения (7.5): дЗ дТ1 УФ вЂ” = — — ' — Ч1 = — Е(1 —, — Ч1,' д22 д5, д22 д5 д 7 д2М ~ 1 дМ д — = — — (,Р— 1 — — — — — (РЧ2) — Ч вЂ”, (7.18) д21 д22 ~ д22 / Р д22 д22 ( д Г д' 1 1 д д' ~ Р 2( ~)1 + ( )1, (РЧ3) Ч2' — ~ д, ~ д,2 3 Р д , )2 да, 2 Из этих уравнений определяется Я с точностью до постоянной, характеризующей кручение оболочки.
По усилиям можно вычислить компоненты деформации срединной поверхности и параметр изменения кривизны 2(2: Т Т1, 2(1+121 М е2 — Р ' 7 ЕИ' Е(2 ' 12 Е(( ' 2 0 ° Я х= — '. Далее, для определения трех компонентов перемещения и, и, в получаем четыре уравнения ди ди <Ъ,(Ъ ' и д /о д(21 + =712 + д21 ' д22 д21 ' д22 Р 2' д22 '1, Р д22,(' дФ дФ д2Ф д21 ' д22 * ' д21 (7.20) 317 (7.19) Так как и уравнениях совместности пренебрегли некоторыми величинами, уравнения (7.19) оказываются, вообще говоря, несовместными; они становятся совместными только в том случае, если у12 = О, е2 = О, что соответствует 2-й гипотезе В. 3.
Власова. Возможность пренебрежения величинами 712 и е2 в уравнениях (7.19) следует также из гипотезы (7.1). Ппложин в формулах (7.19) р12 = О, еа = О, а также е1 = Т д2Ф вЂ” — — получим следующие выражения перемещений через функцию Ф: Для к р у г о в о й цилиндрической оболочки целесообразно перейти к безразмерным координатам (7.21) В этом случае, вводя оператор д' (') д' О )1~~()= д., + д, ° приведем уравнение (7.16) для вспомогательной функции Ф (а, у) к виду .
(7.23) где Р,= — — + — +— дд~ дч~ д~д ди д<р йр' ' Усилия выражаются через функцию Ф (а, ~р) по формулам ЕИ д~ф 0 Т= — — ' М,= — — ФФ 1 — У д~а т ~ Дз 1 0 д' Т2 ЙЬ Е4 д, а (111 Ф) (7.24) дЯ О /дэ д ~ дд~ — = — ( — + — ) ЖФ) — )~ — ' — )~Ч ' д г ~др др7' д~р дЯ ЕЬ д~<р Перемещения (по формулам (7.20)1 1 дФ ' 1 дФ. 1 д~Ф и — — ' и= — — — ' и3=— Я да' й д~р' Я д<р~ ' (7.25) Для замкнутой цилиндрической оболочки вспомогательную функцию Ф целесообразно представить в форме тригонометрического ряда по'угловой координате <р: Ф=,«~ Ф~~' (я)созЬр+ ~ Ф)о(и)з1пЬр, (7.26) 1=1 А=! В это выражение не включен нулевой член ряда, соответствующий осесимметричной деформации оболочки, так как для осесимметричной деформации полубезмоментная теория неприменима (ввиду гипотезы об отсутствии окружных деформаций).
Функции Ф~ определяют напряженно-деформированное со[м стояние, симметричное относительно образующей ср = О, а функции Ф)," — кососимметричное. Все внутренние и внешние силы и перемещения в зависимости от свойств их симметрии определяются разложениями: для симметричных величин (и, а, Т„ 7 2з ~2> Ч1з ЧЗ) 1'= ',~~ 1~~,"(а) соз Ьр+ «~ ф'(а) з1п Ьр; 1=1 1=1 для кососимметричных величин (ц, 5, дз, О,) <р= ~ <р~'~(а) з1п Ьр — ',)', ~4" (а) созЬр, 1=1 1=1 д 4 + ~ (~ ) рва ~ ~~ (~) у;дэ Из (7.27) где "% пн 2 ~1цп = а +~Ч2ии й ~73 он ° 0 Лля изотропной оболочки Й4 (Р— 1)~ 48 (1 — рР) у ,211, „' обозначая Ь' яз~ (7.28) приведем уравнение (7.27) к форме [14Фу~ 4 рЗ да~ + ~ ~ 11 ел' (7.29) По виду уравнение (7.29) совпадает о уравнением осесимме- тричного изгиба цилиндрической оболочки, и его общее решение Ф» = Ф» + С1К1 (тих) + С2Кя (т~а) + + С,К, (т,а) + С4К4 (тФ, (7.30) где Ф~ — частное решение неоднородного уравнения (7.29); К, (1 = 1 —;4) — функции А.
Н, Крылова (см. $ 12). Постоян- 3!9 Так как величины с верхним индексом (з) связаны между собой такими же зависимостями, как и величины с индексом (с), мы в дальнейшем приведем формулы только для случая симметричной относительно нулевого меридиана деформации, опуская верхний индекс. ' Каждая из функций Ф~ (а) определяется обыкновенным дифференциальным уравнением, которое получается подстановкой разложения (7.26) в уравнение (7.23): 0 а з 77 92 ро й (Й 1) у~4 1 ь 72 (а) Йцз (аг й (1г 1) а Фау й ~ )'~ 1 Ла да' Для амплитуд компонентов перемещения получаем 1 ~%~ й йз иа = — —; и, = — Фь; нг, — — г1г„.
й ~а, д (7.32) Как следует из сопоставления характеристических показателей дифференциального уравнения (7.29) о = (1 1) та с характеристическими показателями уравнения моментной теории цилиндрической оболочки (см. ~ 27), полубезмоментная теория правильно описывает медленно изменяющиеся по а деформации оболочки только при 1 С Й ( ~г — . ч/ ~~ Нижняя граница объясняется тем, что при я = О полубезмоментная теория неприменима, а при и = 1 более правильное решение для медленно изменяющихся деформаций дает безмоментная теория, в которой учитываются деформации уга и е,.
Верхняя граница обусловлена требованием более быстрой изменяемости в окружном, чем в продольном направлении ф )~ пг,). В случае необходимости удовлетворения нетангенциальных граничных условий на торцах оболочки полубезмоментная теория может быть дополнена краевыми эффектами, рассчитываемыми в соответствии с теорией, приведенной в ~ 36. В качестве примера использования полубезмоментной теории рассмотрим ту же задачу, которая рассматривалась выше, в ~ 32 на основе безмоментной теории. Пример 7.Н Определить напряженно-деформированное состояние цилиндрической оболочки длвной 21, нагруженной постоянной по длине нормальной нагрузкой, изменяющейся в зависимости от угла у по закону оа (и, ф) = Ч созйф, В краевых сечениях оболочки а= + — ) запрещены продольные и окя) ружные перемещения, В данном случае имеется лишь один член ряда — Ф„ определяемый из уравнения д4гв оа ли' ' г ~~ей -'- ч"' 'вг = "1 °вЂ” ные С, определяются из граничных условий на краях оболочки.
Эти условия формулируются так же, как в безмоментной теории. Амплитуды усилий, соответствующих м-му члену разложеннц определяются по формулам т,„,= —,—,',; М,„,= й (й 1),1;, ! ! !21 —" Оз !т — — — 4ч! 3 й з з !зз' Частное решение уравнения имеет вид )зз ! ! з Ооз Ооз 4т1 Ей 3 Ейз 36!7 ' Учитывая, что нагрузка и закрепление оболочки симметричны относительно среднего сечения а = О, сохраним в общем решении (7.30) только четные функ- 1 ции К! (та) = сЬ та соз та и Кз (та) = — зп та з(п та. 2 Тогда ф~5 Ф, = — — !1 + С,кз (т,а) + С,Кз (т,а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
