Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 38
Текст из файла (страница 38)
)2 дз ' '1 (5.110) Е~ з Елз дд 12()+р) и )2(1+р) дя~ * (5.11 1) ДаЛее учтем, что дП, ЕЬЭ д:Ю, 92=02 =02 ° дЯ, )2 (1+ и) д~2 (5.112) Первые два уравнения равновесия (5.108) принимают вид дТ, Фи д8 р — '+ Ы вЂ” + — +д,-О; дз, ~ д5~~ дв, (5.113) дТ дЗ 1 + — + — Я2 + Д2 = О. дал дз~ Р Из третьего и четвертого уравнений, исключая Я, и учитывая зависимость (5.112), получаем длМ1 Жл 1 1 + — Т2+ дз — О. для двл Р Заменив М, его значением по (5.110), получим окончательно длМл Еьз дав % 1 )л — ' — — — + — — т + ~), О, (5.114) дл2 12 дЪ4 д8$ Р 2 3 В последнем, пятом уравнении равновесия (5.108) выразим 9, через Щ и заменим Н выражением (5.111); тогда дМ ЕР д~дл — — О;+ . дал В () +)л) д~~ и~л1 (з~) соз Ллзб Ф=Г о ~, п<л1(з~)з1пЛлз1, л=1 ~в~л) (зз) з1п Ллз1; л=1 Далее воспользуемся разложением искомых функций и нагрузок в тригонометрические ряды по длине 1 оболочки.
Расположив начало'отсчета з, на одной из криволинейных границ оболочки, примем: ~Ь~ = ~ "921~) (я2) 3!пази 1=1 Т~ = ~~ Т~1и (з~) з!п Л~з!,' й=! 5 = ',)„' 5но (з~) соз Л~я! 1=1 и т. п. Подстановка разложений в уравнения равновесия (5.113)— (5115) приводит для каждого номера и к обыкновенным диффе- ренциальным уравнениям: д5<И 2 Ж, = ЕУ,ри,~! — рЛ~Т2 но — р,~1, ЫТ~ оп 1 (Ь~ = Л~ 5я ) — — Я2 (й ) д2 [й ! ю Р (5 115) Ф2 (~) ЕД 1 2 ~Ь 12 = — ЪР<и + — Т2 1в + РЛКСМ~ нп — Чз 1ц' Р— ЛР~1ц +.
Ь(~п дМ„„Ыз ~й, в !!+Р! Еще четыре уравнения получим из геометрических соотношений и соотношений упругости. Так, из равенства ди до у = — +— д5, д5д после замены у„его выражением через 5 и подстановки тригонометрических рядов следует Ни<~~ 2 (1+ Р! (Ьз ' ' = — Лип<и+, 51~! ° на (5.117) дО Ю Из равенства з = — + — определяем дя, "~и) 1 Р2 — '' = РЛ~и1а1 — — к!~1+ — Т~ 1~1. (5.! 18) д~~ Р еа 1 дв Из формулы 6, = — о — — находим Р д~, 6ЬИЭ 1 — = — П1Ц вЂ” й2 1ВН д~р Р (5.119) Ал где Л, = —.
Усилия Т„, Щ, в виде разложения пример, М~ и нагрузки д„д, также представляем по синусам, а 5, д, — по косинусам; на- Наконец,.из формулы де 12 (! — р') 1~ (~ И ) :леду ет Уравнения (5.11б) — (5.120) составляют полную систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно вектора состояния у ~ (и<~ >, п~р> ы<~ь бд(~ь 5(ран Т2<Фь (~2(Аь М2Й)~ ° В развернутом виде система уравнений представлена в табл. 5.3. Эта система пригодна для расчета оболочки, радиус кривизны р и- толщина Й которой зависят от координаты з,. На прямолинейных краях оболочки должны быть сформулированы по четыре граничных условия, наложенных на-перемещения и, о, в, д„или соответствующие им силы 5, Т„(О, М,, Гл ава 6 Безмоментнзя теория оболочек Безмоментная теория, более простая, чем общая теория обслочек, имеет большое практическое значение.
Решения, полученные на основе безмоментной теории, если они оказываются медленно изменяющимися и удовлетворяют граничным условиям на контуре оболочки, мало отличаются от точных.- Если эти решения не удовлетворяют граничным условиям, наложенным на нормальные перемещения, углы поворота или соответствующие усилия, то часто можно получить достаточно точный результат, учитывая дополнительно краевой аффект, Кроме того, как и в симметрично нагруженных оболочках вращения (гл. 3), медленно изменяющиеся решения безмоменткой теории можно рассматривать как приближенные частные решения уравнений общей теории. ~ 29. Уравнения безмоментной теории и теории чистого изгибания оболочек Уравнения равновесия безмоментной теории можно получить из уравнений (5.59), опустив в них члены, содержащие'моменты: — (Т 1В) + —, —. (ЗА') — Т~ + АВп, = О; -д 1 д д — (Т,А) + — — (БВ') — — „Т1 + АВд, = О; (6,1) т, т, — — — — + Чз = О.
й1 й, При безмоментном напряженном состоянии три неизвестные внутренние силы (Т„Т„Я) определяются тремя уравненкями равновесия. Таким образом, можно сказать, что задача расчета безмоментного напряженного состояния является статически определенной, если заданы необходимые граничные условия для усилий. дсс 1 дА ис ! е = — + — — о+ — = — (Т,— р,Т,); А да АВ дсс ссс Е!с е = — + — — сс+ — = — (Т,— !сТ,); ' (6.2) И 1 ЗВ ' са 1 В д~ АВ да Иа Е!с Уравнения (6.2) также имеют второй порядок (после исключения сас из первого и второго уравнений получаются два дифференциальных уравнения относительно и и о, каждое первого порядка). Таким образом, система уравнений в частных производных, состоящая из уравнений (6.1) и (6.2), имеет четвертый порядок.
Для ее интегрирования в каждой точке контура оболочки должно быть задано два граничных условия. Граничные условия могут быть наложены на тангенциальные перемещения и, и или на соответствующие им силы (Т„Я на границе а = сопз1; 5 и Т, на границе р = сопзЦ. На перемещение сес ограничения накладывать нельзя, так как соответствующая этому перемещению поперечная сила в безмоментной теории не учитывается. Уравнения равновесия (6.1) имеют только второй порядок, поэтому по крайней мере часть граничных условий следует задать в перемещениях. Лишенная необходимых закреплений безмоментная оболочка является геометрически изменяемой '. Пусть внутренние силы определены из уравнений (6.1) с соответствующими граничными условиями.
Тогда решение уравнений (6.2) складывается из частного решения неоднородных уравнений (и', и', цс') и общего решения следующих однородных уравнений: ди* ! дА .„со* а! = — + — — о*+ — = О; А да АВ д(! ссс д* ! дВ М = — + — — аи'+ — = О; В д(! АВ да 1~, (6.3) "— Вд А Ад В -О* ' Исключение составляют аамкиутые оболочки положительной кривизны, например сферическая. Уравнения в частных производных (6.1) составляют систему второго порядка. Перемещения определяют интегрированием соотношений, связывающих деформации срединной поверхности с перемещениями и силами: .Уравнения (6.3) описывают деформации оболочки без растяжения -срединной поверхности (изгибание, чисто моментное напряженное состояние), а также перемещения оболочки как жесткого целого. Суммарные перемещения и = и'+ и', и = о'+ о* должны быть подчинены геометрическим граничным условиям, и из этих условий определяют произвольные функции, входящие в и*, ц*.
Для того чтобы оболочка под нагрузкой могла находиться в безмоментном состоянии, условия ее закрепления должны исключать не только перемещения оболочки как жесткой, но и перемещения, связанные с изгибанием. Для этого граничные условия в перемещениях должны быть такими, чтобы однородные. уравнения (6.3) не имели ненулевых решений. В противном случае, при больших изгибаниях, нет оснований пренебрегать моментными членами в уравнениях равновесия, и безмоментная теория неприменима.
Если геометрические граничные условия не ограничивают деформации изгибания, то оболочка с исчезающе малой нзгибной жесткостью является геометрически изменяемой. Поэтому при проектировании силовых оболочек большое внимание уделяют такому закреплению их краев, при котором исключена возможность изгибания. Наоборот, для оболочек, используемых как упругие элементы, которые должны иметь при дарной нагрузке наибольшие пере- . мещения, следует подбирать условия закрепления, не препятствующие чистому изгибанию. При расчете оболочек, испытывающих напряженное состояние, близкое к чисто изгибному, а, = а, = у„~ О, но усилия Т„ Т„ Б нельзя принять нулевыми, так как это приведет к нарушению условий равновесия.
В этом случае поступают следующим образом: а) интегрируют уравнения (6.3) и находят компоненты перемещения,' отвечающие условию нерастяжимости срединной поверхности (эти выражения включают произвольные функции); б) находят соответствующие параметры изменения кривизны х1, х„х„по формулам (5.33); в) по соотношениям упругости (5А6) определяют изгибающие и крутящие моменты; г) определяют усилия Т„ Т„ Я, интегрируя уравнения равновесия (5.59), которые теперь не отличаются от уравнений безмоментной теории, так как входящие в них моментные члены уже известны.
Нетрудно видеть, что система уравнений чистого изгибания имеет (как и в безмоментной теории) четвертый порядок (второй порядок имеют уравнения перемещений (6.3) и уравнения равновесия). Поэтому и в данном случае точное выполнение всех граничных условий оказывается невозможным. Для оболочек вращения с произвольной формой меридиана путем разложения искомых функций в тригонометрические ряды 291 по угловой координате задача расчетз безмоментного напряженного состояния может быть сведена к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений (см. $ ЗО, ЗЦ.
Для цилиндрической и конической оболочек можно получить общие интегралы уравнений безмоментной теории, не прибегая к разложению в ряды (см. 2 32). $ 30. Безмоментная теория оболочек ЯРа)ЦЕНИ Я Уравнения равновесия принимают вид — (Т г)+ —.— сов ОТ +го, =О; д аа а т ар — *+ — — (Ягз)+Цз = О; ат, др ~ дв (6.4) — + — з)аО= да, т, т, Р1 а уравнения, связывающие перемещения о деформациями, ди ю 1 з, — + — = — (Т вЂ” рТв); дз В~,,ЕЬ а — + — и + — и = — (Т, — )вТт); (6,5) до сов 6 в1п 6 1 тйр т ЕЬ "= — + — ~ — )= ди д о 2 (1+и) Стандартным приемом решения системы уравнений (6.4) и (6.5) в частных производных при толщине Ь, не зависящей от координаты у, является сведение ее к системе обыкновенных дифференциальных уравнений путем разложения искомых функций и нагрузок в тригонометрические ряды по угловой координате <р'.
' Общее решение уравнений (6.4) я (6.5) без разложения в ряды может быть получено для цилиндрической я коняческой оболочек постоянной толщины (см, З32). ' Отнесем оболочку вращения к системе меридианов (а-линии) и параллелей (р-линии), причем в качестве координат выберем длину дуги меридиана (а = я) и центральный угол, составляемый данной меридиональной плоскостью с начальной (р = 1р). В этом случае (см.
2 19) до 1 вьч 6 д А = 1' В = г,, — = — — = — — = соз 8. — 1 — 1,~~ — д 1 )1 — —,1 д Положим д; (в, ф) = ~ д,„р,совйр+ ~ 1(',1„з1п Ьр; д=о й.=-1 М ОЬ дв (в, ф) =,«~ д21ц з1п Ьр —,«~ 4ф> сов Ьр; ,ь=1 А=о ~7з (в* ф) = Е Цвр~сов ЬР+ с~ Чзи> в1п вф: ~=о 1=1 Т1 (в, ф) =,~~ Т~<»~сов Ьр+ ~~ Тф, в1пЬр,' А=о 1=1 ТЯ (вю ф),~~~ Тв ио сов Йф + ~'~ Т~ д1 в1П Йф' ~=о 1=1 о (в, ф) = ~)~~ ~1Ф) в1пвф — ~ Бй~ совЬр; 1~1 ~=о (6.6) и (в, ф) = ',~~ инп сов Ьр + ',)',.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
