Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Поэтому они, остаются непрерывными даже для оболочки, кривизна которой терпит разрыв. Однако основным преимуществом системы уравнений в этой форме является то, что основные неизвестные, отнесенные к неподвижной системе координат, остаются непрерывными при произвольной форме меридиана, в том числе и для составных оболочек. Это позволяет не составлять для таких оболочек уравнения стыковки. Силовые неизвестные Х~~>, Е~~~, Я ~~~, М~ по испытывают разрывы заранее известной величины только там, где к оболочке приложены сосредоточенные на данной параллели нагрузки.
При произвольном й система уравнений (5.81) имеет восьмой порядок. При й = 0 система распадается на две — систему, описывающую осесимметричное кручение (она включает неизвестные ою и Я кч); и систему, описывающую осесимметричный изгиб оболочки. Эта последняя система совпадает с приведенной в $16 гл. 3.
При й = 1 порядок системы уравнений (5.81) также может быть понижен. Во-первых, могут быть проинтегрированы уравнения ран.ювесия. При я=1 суммарная нормальная к оси оболочки сила в окружном сечении оболочки (при нагрузке, симметричной относительно нулевого меридиана) Р = ~ (хансов ~р — '5~ и> з1п ~р) где = лг(х~п — 5~ п~). Поэтому ясно, что разность Х~п — Я ~и должна непосредственно выражаться через нагрузки, приложенные к оболочке. В самом деле, пользуясь табл, 5.2, устанавливаем,.что при я = 1 Ф а ~у (Хгп 51 п3)) = г (Ч2 <!) Чх и)) Таким образом, находим г — Р Х<п — Я~п = — „, = —, ~ (Вд-Чх в)гФ+ — „, где Р, — нагрузка, приложенная на краю з =- з,.
ь т ю о о ОР о СЭ ! о м У 4К ы СО э с н СР О3 о 32 о СЛ с и ~.л (Р Я а о с 'й ып Ю, ~ ь + й- !! 4- !! 4- 4~' !! ф ф- + -1-' МЪ 4- Я 'й '-Ь .е ~ и с и сР Я 93 с ~Ю ! Я ЙВ + 4~а ъ~. Ю о о, ".~ ~СЗ 1~ ф ! <~ и о ~Р Ю о о Я и !! Я о Ф.Р СГ и о х !! ! ° ~ $ц ! сР В о и ! !! !! 1 с о <В и о и Я ь.
4- !! ф !! ф Ч- 1- !! ф й. 1! ф Ч. !! 4- 271 откуда сз = гзх!з и>. (5.86) Параметр изменения кривизны изин также выражается через Ч' и сз: хзпц = —,, (Тз1пΠ— ОсозО). ! (5.87) Внеся в уравнения, приведенные в табл, 5.2, при Ь = 1 вместо Я1ц и Хбц выражения (5.83), а также переходя к искомым функциям Ч и сз, получим ЮР совй в!о О 1+!з — (! — р) —, 7 + —, 9 + — Ь (2+ (! — !з) созз О] Я !ц— 1 — Из в!а Осозй 1 — 1зз совз й ! — 1зз в!и Осовй ЕЬ М1(ц + — — Р+ — ~ — И; ЕЬ иг ЕЬ пг а6 - соз 0 1 — !зз ° 12 (1 — Из) — — )з — 6 + — з1п О соз 05! сц — ГМ! гц + оз с ЕЬ Езз 1 — !з' з!и йсозй 1 — !зз в1пвй + — ' Р+: — %; ЕЬ ш ЕЬ пт (5.88) В '!Е! гц ЕЬ Еаз в!а О соз О сов 0 — = — Ч" —— дз ~з 12 ~4 Π— (2 — !з) — 8! пц + Г сов О в!а й +!З з Р+Р з ~)! ЧЗП! аЬ!! Гц ЕЬз з!и Осовй ЕЬ' 2*(1+(з) совз О ~+ ,!з 12 гз 12 Ф соз О з1о 0 сов 0 + Оз,,ц+р —,М„„+ — Р— —,8)!. Зная Ч", !с1, Ю! 1ц, М! оц, нетрудно определить все силовые факторы в оболочке.
Приведем необходимые для этого зависимости Р е Хго — — Т гц соз О + Я! сц з1п 0 = — -«- 5~ гц', ОЛ 1 Лоц "-= Т1 гц з|п Π— ф пц соз О = —. — — М! гц, 273 Ч" = ге~ и», (5.85) Функция сз пропорциональная разнице между фактическим осевым смешением в кольцевом сечении и смещением при жестком повороте его нз угол Ю!1ц. С другой стороны, функция О непосредственно связана а амплитудой кручения ханц. Как нетрудно убедиться о помощью формулы (5.68), Усилие Т2<ц находят по формуле ЕЬ Та<» = 1гТ«ц+Ейаг<ц = 1<Т«ц + — Ч'.
(5.90) Палее вычисляют также д~,З М2 <ц = ~АМ< <ц + — хя <ц = ~АМ< <ц '+ ЕЧ 1 + —, (Ч' з1п Π— О соз О), (5.91) еь" 1 Н<ц ="й (1 — 1<) хг~ «1 = ' — О. 12 <1+ <г) Практически, во всех случаях кососимметричного (А = 1) нагружения оболочек вращения при статически определимых значениях Р и И можно сформулировать необходимые граничные условия для интегрирования системы (5.88) уравнений четвертого порядка. При задащ<ых нагрузках на торец оболочки известны значения В«ц и М«ц. Если торец жестко связан с недеформируемым фланцем, то Ч' = О (ввиду равенства нулю е,) и 6 = О.
Возможны и смешанные случаи задания граничных условий. Так, например, если торец шарнирно связан с жестким фланпем, то Ч" = О, Мг <ц —— = О. Поэтому для определения основных неизвестных Чг, 6, Я <», Мг <ц и выражающихся через них внутренних силовых факторов в оболочке достаточно проинтегрировать уравнения (5.88) четвертого порядка. При определении перемещений $ и ~ в отдельности удобнее всего исходить из уравнений совместности деформаций — з< <ц созО дг <ц з<пО; '%» <й (5.92) — = а«ц з1п О+ 0«ц соз О, <Ь где 1 — 1Р 1 — 1Р 1~ а«ц = —,„Т«ц — 1<ела <ц = —,„~ «ц — — Ч, а Т«ц определяется через основные неизвестные по формуле (5.89).
При интегрировании уравнений (5.92) возникают еще две постоянные, соответствующие перемещению оболочки как жесткой. Во второе из уравнений (5.92) введем 1 Ю«ц = —, (ь<ц — ~)' откуда следует з<п 0 Р 11а Т, <ц = соз О Я~ <ц — М <ц + — соз О + —., з1п О. (5.89) тогда это уравнение принимает вид «<<г<п'! в,<п сов 0 — — ) = — едпΠ— 6 й ~ г ) г гв откуда ~<п =С<г+г~(е<<н,, — 6,, )дз. (5.93) Далее находим г Г/ в<пО сова ~ 1 О<<ц= — — — 6 С<+ ~ ! е«п — 6.. ).сЬ вЂ” — 6.' Это значение О!<и подставляем в первую из формул (5.92). Ч огда %<и — = е! <и соз Π— С! з!и О— Нв в!и 0 ° 0 ~ в1п 0 — енп О ~ ( е! <и — 6 ) с<<в + — 6', г г2 г отсюда с<<! = Св — С! ~ в1п О сЬ+ ~ е, <!! сов О <й— — ~ ~~(е! <и — ', — 6 —,) Ж~ з1аО<!з+ ~ — з1пОсЬ.
(5.94) Входящие в эти выражения постоянные интегрирования С, и С, представляют собой соответственно поворот и поступательное перемещение оболочки как жесткой. При числовом расчете ненелесообразно вычислять $ и ~ по фор. мулам (5.93) и (5.94). Удобнее расширить систему (5.88) двумя уравнениями о<.<<> сов 0 сов О в!и  — = — 1<1! — — 6 — (в — ~" + <<Б г !<в ! — !<' в!пв В з1пО сов О5! !ц — М! «1»+ 1 — !<в в1п О сов в 1 1<в в!пвВ О)~ Е!< пг ЕЬ игв <~<1! в1п О в!и О сов Π— = — — ~1<! + — 6 — р — Ч'+ <!в г г 1-и соз, . 1-! ! ВоО ьъ соз '<и и + — — Р+— 1 — !<в сов' О 1 — !<в в1п ОсовО Ей пг ЕЬ вгв В заключение отметим, что если расчет проводится путем разложения сложной нагрузки в ряд Фурье, то выделение членов, соответствующих й = О и й = 1, нецелесообразно.
Удобнее вести расчет для всех значений Ф по единым формулам, приведенным в табл. 5.1 или 5.2. Специальные формулы для случая й = 1 следует использовать только в том случае, если соответствующая (так называемая ветровая) нагрузка является единственной. Из приведенных в этом параграфе зависимостей легко получить формулы для расчета круглых произвольно нагруженных пластин переменной толщины. Лля этого следует лишь положить' угол О тождественно равным нулю. В результате система уравнений, приведенная в табл.
5.1, распадается на две независимые системы. В первую из них входят величины иин, о)д), Т! !д)г, 5!цг и нагрузки д! !ц, дг !ц.' ди, д) 1 )! Рг — '" = — Р— и)д) — Р— осц+ — Т! !д)г; Йг г г Еаг И»»<д> А 1 2(1+Р) „ — = — и(ц + — огц + Иг г т ЕЬг г!д)㻠— (Т! (д)г) = — исц+ — о!д)+ — Т! !д)г — д! 1д)г» (5.95) И Е)) АЕЬ Р Иг г г г еа , ед — (~ цг) = А — и!д) + 7)г — о ц+ Р— Т! цг— 1 — — Я!д)г — яг !цг.
Г Система уравнений (5.95) описывает растяжение пластины переменной толщины в своей плоскости. Вторая система уравнений включает )о!д), О! гц, ф !д,г, М),д)г и нормальную нагрузку оз !д). '~~4 ц — = — б! (д)» ~1г а»1»)ц ". Р .«» 1 лд — = — Р— ц»!д» вЂ” — б! !д)+ М! !д)р-, г 1 Ог — Ю (цг) = О(1 — Р) Йг(2+ (1+ Р) йг) !огц + + (3+ Р) (1 — Р) ~РО! !д) — ~, !д)', + (М! г) = (3+ Р) (1+ Р) дА'!о(д) + + П(1 — Р)(1+р+2йг)д! !д)+(К !д)г+ — "М! (,)г, НР где 0=,2,, ° 276 Уравнения (5.96) описывают неосеснмметричный изгиб круглой пластины переменной толщины, При небольших числах волн по окружности А краевые задачи для уравнений (5.95) и (5.96) можно решать методом начальных параметров. При больших 1 эти уравнения имеют быстро расту-' щие решения и следует применять для расяета методы прогонки или ортогопализации (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
