Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций (1070924), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Ада АВ д(! (5.1 4) Аналогично, до 1 дВ в е, е,= — + — — и+ —. Вдр АВ да И~ ' (5.!5) Подставив А' в левую часть равенства (5.9), получим вектор касательной к деформированной а-линии $1 ~ 11+ (а11~ 61п), 1;=$,+а,$,— б,п (5.15) и, аналогично, $2 = 12+ аА — б,п. (6.17) Из формул (5.16) и (5.17) видно,,что величины в„б„а„б, представляют собой проекции н(! соответствующие осн малых углов поворота векторов 1, и 1, пр~ деформации оболочки. Вычислим соз 1~+. ° 1+1", а, + а, + Ф1б,. В этом выражении. вследствие малости перемещений зледует опустить нелинейное слагаемое 61бз.
Так как деформации малы, то величиной е, е, следует пренебречь по сравнению з единицей. Тогда . Так как в соответствии е равенством (5.7) )(' = —" — а„, то соз;(' = з(п уха = угя, поэтому деформация сдвига до ди 1 / дА дн в'+в' лв + ввВ лв ( вв "+ ~ ") ~В 1й ,или -=Ф вЂ” 'в (+)+Ф вЂ” '. ( —:) (5.19) ( ° )- А+ гг (1 + ет)г с:в 1 + 2еев в~ ( ° ) В+ хг (1 +в )г ~ 1 +2е 1 (г1г е(п 'уы ввл уггг придем и следующим зависимостям: 1 е, = е,+ — (е,'+аз, +61)1 2 е = ег + — (ег' + ез' ,+ Ж1 т1 =(1+ег) ш +(1+ее) г+()те В отличие от формул (5.14), (5.15) и (5.18) формулы (5.2О) справедливы при произвольных поворотах, но малых деформациях.
Перейдем теперь к определению изменения кривизны срединной поверхности оболочки. Вектор нормали к деформироваиной поверхности и+ — —.', (1', Х 1,'). аш Кв Принимая в связи.а малостью деформаций з(п )(+ = з1п ( —"— ~ 2 — утг) ~: 1, подставляя выражения (5.16) и (5.17) и выполняя умножение, получаем и' = и+ ()г1г+ ()г1я, где нелинейные слагаемые рпу(ценъь.- Если отбросить предположение о малости поворотов и сохранить лишь условия малости деформаций, т. е. ег ~ 1, е,((1, тгг ~ 1, то можно получить формулы, определягощие компоненты деформаций, возве.дением в квадрат левой н правой частей равенств (5.9) н (5.11), а также их почленным перемножением.
Полагая затем ! ! Для определения кривизны — „— — „,, Х. нужно пред- ! Уг+ варительио вычислить 1. = —, и . Удобнее, однако, воспользоваться несколько иной формулой. Так как векторы — = А+1 и и+ ортогональны, то — и =О, дг+ + + + дг' ди Дифференцируя по и это тождество, найдем дгг' дг+ дп дп+ — и+ — — — = — Л+à —. даз дсс да ' ди Тогда , дп 1+ ' К;+ А+ ' дгх Дифференпируя выражение (5.21) для п' по и, определим ' дп' и'и' гг о~ — — + Ап х п' А [( — -~- м,р, + тА — — и), да да (5.23) где' дд, ! дА х = — + — — ()' ,ЬЬ АВ да дд ! дА а = — ' — — — (т,.
1= Ад АВ дй — ( — -/- к,). ! А ! 1 (5.24) Т ак как —, = — 1 — а„то окончательно придем к сле- А ! А' !+пг дующей линейной формуле: ~'й И~ й~ + (5.25) 1' Ввиду ма1юсти деформаций слагаемое — ', как правило, несущественно по сравнению с х1, и можно считать, что кривизна нормального сечения, касательного к и-линии„увеличивается на величину х1. дп+ Подставляя в формулу (5.22) полученное значение — и значение 1+ по равенству (5.16), получим, отбрасывая. нелинейные слагаемые, Проводя точно такие же выкладки для определения кривизны сечения, касательного и р-линии, получим 1 1 ег — = — — — +Х Кг+ Яг где ддг 1 дд мг= — г+ — — б Вдр АВ да (5.27) Перейдем к определению величины 1 1 дг2' — = — — и+ К;, А'В' д дд Используя тождества — и = О и — и = О эту величину 'дг+ ., ВГ' .„ да д(1 можно представить в виде 1 1 дгг дп+ 1 + дп+ Д+ А+В+ др да А+ ' да (5.28) 12 или 1, 1 + дп+ В' ! дР (5.29) дп+ Подставляя в формулу (5.28) значения (~+ и — и отбрасывая нелинейные слагаемые, получим 1 — = — Я 1~~+ 12г 22 (5.30) 2222 = тг + .
мг (5.31) Если бы мы исходили из формулы (5.29), а не (5.28), то получили бы 2112=т2+ г О~ (5.32) дд, ! дВ где та = —.— — — б. Вд11 АВ да НЕтрудНО ПОКаЗатъ,. ИСПОЛЬЗуя ВЫражЕНИя 61г 62, а, И О2 через компоненты перемещений и учитывая соотношения Кодапци — Гаусса, .что значения к,2, определенные (5.31) и (5,32), совпадают тождественно' 1см. ниже последнюю из формул (5.33)1. Введенные выше величины я„х,, м!з называются параметрами изменения кривизны срединной поверхности. Приведем формулы, выражающие зависимость деформаций срединной поверхности и параметров изменения ее кривизны от компонентов перемещения: ', 1 ди 1 дА ир ° ° + ° Ст + ° А да АВ др й~ ' 1 до ! дв рр аз= ' + ' и+ В д(! АВ да В д (рр) А д (и) д' ~ Ъ рр '! ! ВВ Г Ъ Ж1р ~ Вд(! Я, / АВ' да ~ Ада йр )' ! Урр 1 дЯ дв ( В дадр А др да дВ Ъ) А В да Ф 1 А д й ! В д рр П В ар (А)+ н, а аа (В)' Шесть величин, определяющих деформации срединной поверхности оболочки и изменения ее кривизны (з,, з„'тр„, х1, х„х„), выражаются в помощью уравнений (5.33) через три компонента (и, и, нр) вектора перемещения.
Поэтому между упомянутыми шестью величинами имеются некоторые тождественные соотношения. Смысл этих соотношений — у ел он и й оо в м е отн ост и дефо р м ап и й — состоит в том, что элементы срединной поверхности, получившие деформации з1, з„т1,р и изменения кривизны и кручения х„х„х„! должны составлять единую непрерывную поверхность. Проще всего получить эти соотношения, потребовав, чтобы коэффициенты, характеризующие первую и вторую нванратнчные форм» Веформнрованнов повераноетв (А', В+, Ь т', — „, — „, —,), удовлетворяли уравнениям Кодацци — Гаусса.
1 1 Именно таким образом условия совместности деформации были получены А. Л. Гольденвейзером (291. Однако при выводе нельзя использова условия Кодацци †Гаус в форме (4.50), (4.51), так как они !аписаны ддя частного случая 'ортогональной коорди. натной сети линии же а, р на деформированной поверхности не ортогональ Приведем условия совместности деформаций без вывода! д 1 д В дВ.
1 дА — (х В) — — ° — (х А') — — х,+ — — у .+ да в А др 1и да ЙВ д]1 1' Г д дВ д + — ! — — (в,В)+ — в,+ — (7„А)]-0; К! ~ да да д[! д 1 д В дА 1 д — (х А) — — ° — (х Вч) — — хи+ — — у -[- да ! И да !В д!А й( да + — [ — —,(,А)+, в,+ — (е„В)] =О. (5:З() 1 Г' д дА д ° д!! Г дв ! д — — [ — [ — — (еВ)+ — е + — — () А )]]+ АВ да ![А ~ да В да ! 2А дй ! д ! 1 Г д дА 1 д + — — [ — [ — (,А)+ —.,+ — — (~„В )]]— АВ др !( В ~ др др, 2В да. х )(! — — =О 'е) е2 Так же, как и в других задачах теории упругости, условия совместности деформаций (5.34) используют только при решении задач в усилиях-деформациях.
При решении задач в перемещениях эти условия выполняются тождественно. В этом можно 4бедиться', подставив в уравнения (5.34) выражения деформаций и параметрои изменения кривизны согласно формулам (5.33). При преГ)бразованиях следует воспользоваться уравнениями Кодацци — Гаусса (4.50), (4.5!). 5 22. Деформации эквидистантиого слоя Рассмотрим в теле оболочки поверхность, отстбящую на по. Ь, 6~ стоянном расстоянии г~ — — ~ г и! — ) от срединной (эквиди- 2 2 ) стантную поверхность). Положение точки на этой поверхности будем характеризовать координатами а и ]), такими же, как для лежащей с ней на одной нормали точки срединной поверхности.
В соответствии с гипотезой Кирхгоффа точки, лежащие на' одной нормали к срединной поверхности, остаются после деформации на этой же нормали. Поэтому координаты я, [~ являются материальными и для эквидистантной поверхности. Уравнение эквидистантной поверхности в недеформированной оболочке можно записать в виде '. ГВ ((Ве Р) юа Г (Яе Р) + ИП. ' Величиям, относящиеся к вквидистантной поверхности, нмек)т индекс и. удлинение эквидистантного слоя Аналогично определяем в (1-направлении:, и', в в а 1. (е~+ «М 1+ — ' (5.39) Как видно из формул (5.38) и (5.39), деформации распределены по толщине стенки по гиперболическому закону.
Этот результат явился естественным следствием того, что при выводе учитывали различие начальных длин волокон (А и А„В н В,), находящихся на разном расстоянии г от срединной поверхности, Аналогичная ситуация имеет место н при изгибе кривого бруса. Но, как известно,' уже при -отношении толщины бруса к радиусу 1 его кривизны Ь/М ~ — распределение деформаций по толщине практически не отличается от линейного, и расчет бруса.малой кривизны можно вести по формулам изгиба прямого бруса. Для оболочек обычно отношение толщины к наименьшему ра- 1 диусу кривизны ЫР,а, < —, поэтому отношение г/Р не превышает 1%.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
